La matematica di base per insegnanti di sostegno Carlo Felice Manara

Insegnare matematica… Insegnare la matematica non è un compito facile. Molte problematiche: carattere peculiare di questa dottrina; necessità che questo insegnamento segua le vie più adatte della psicologia dell’apprendimento.

Scopo Presentare i concetti fondamentali della matematica e le sue caratteristiche principali Riattaccare l’insegnamento della matematica all’esperienza elementare dei soggetti Porre attenzione alla problematica dell’espressione dei concetti che nasce da una difficoltà linguistica Far sì che la matematica nasca dalla necessità di razionalizzazione del comportamento quotidiano Guardare alle convenzioni come stretto contatto con le strutture della concettualizzazione abituale

Aspetti del pensiero matematico Procedimento matematico: Percezione sensoriale Osservazione della realtà materiale Elaborazione fantastica delle immagini Costruzione di concetti astratti Simbolizzazione tramite strumenti linguistici Istituzione di procedure, vero e proprio linguaggio  deduzioni

Aspetti del pensiero matematico Un uomo primitivo ha un recinto con molte pecore. Alla mattina le pecore escono dal recinto e alla sera rientrano. Come fa l’uomo a sapere se sono rientrate tutte?

Aspetti del pensiero matematico La soluzione dell’uomo primitivo viene definita in matematica CORRISPONDENZA BIUNIVOCA, è l’inizio del processo di DEDUZIONE.

Aspetti del pensiero matematico Un indigeno fa una pesca abbondante. È solito contare tramite le dita delle mani e dei piedi, ma il numero dei pesci supera quello delle dita che ha a disposizione. Come farà?

Aspetti del pensiero matematico La “ventina” fa parte del concetto di SISTEMA DECIMALE, è l’inizio delle REGOLE DI SINTASSI del linguaggio matematico. Ci si pone il problema della RAPPRESENTAZIONE.

Aspetti del pensiero matematico Un romano vuole contare e segnare i passi che fa durante le esercitazioni militari. Sceglie un sistema molto semplice: ad ogni passo una stanghetta: I II III IIII Se continuasse così arriverebbe ad un numero infinito di stanghette

Aspetti del pensiero matematico Ecco allora l’invenzione di altri simboli: I, V, X, L, C, D, M… Parliamo di SISTEMA DI NUMERAZIONE ADDITIVO Eppure il sistema che utilizziamo noi è ben diverso, e viene definito SISTEMA DI NUMERAZIONE POSIZIONALE Per un bambino è meglio vedere il numero tre rappresentato in cifre romane III o arabe 3?

Aspetti del pensiero matematico LA CONVENZIONALITÀ DELLE CONVENZIONI Non sempre le convenzioni adottate sembrano le più naturali, ma esse seguono il concetto di ECONOMIA. I numeri arabi risultano essere più rapidi e sicuri di quelli romani.

Aspetti del pensiero matematico In conclusione: se si capiscono le strutture portanti del pensiero matematico possiamo meglio comprendere le origini delle difficoltà degli allievi.

Le strutture fondamentali dell’aritmetica I NUMERI CARDINALI

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Gli oggetti considerati hanno la stessa QUANTITÀ DI ELEMENTI. La corrispondenza biunivoca stabilisce tra due insiemi una RELAZIONE DI EQUIVALENZA: A≡B

Le strutture fondamentali dell’aritmetica I NUMERI ORDINALI

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Il conteggio degli elementi di un insieme introduce un nuovo concetto: infatti avviene nel tempo e di fatto richiede che tra gli elementi dell’insieme considerato sia stabilito un ordinamento.

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Una studiosa vuole contare dei granelli di sabbia. Si rende conto che ogni volta il numero aumenta. Esiste un numero più grande di tutti gli altri?

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Una volta che li ha contati tutti, come può rappresentare il loro numero? Saranno moltissimi.

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Può formare dei gruppi di oggetti, poi i gruppi di gruppi e così via… L’operazione mentale consiste nel considerare questi gruppi come un tutto unico. Nasce così il concetto astratto di INSIEME

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Un contadino ha 8 fasci di lattuga e 8 carote. Come possiamo aiutarlo a contare il risultato del suo raccolto?

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Abbiamo due metodi: contare un elemento alla volta + + + + … lavorare sul concetto di numero, quindi in pochissimo tempo arrivare alla soluzione: 8 + 8 = 16

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Nel primo metodo abbiamo svolto una RIUNIONE tra insiemi Nel secondo invece abbiamo utilizzato un’operazione sui concetti (i numeri) che rappresentano questi insiemi, chiamata ADDIZIONE. Il suo risultato è definito SOMMA.

Le strutture fondamentali dell’aritmetica “Addizione è l’operazione che permette di RIUNIRE due numeri per formarne un terzo” Questa frase raccapricciante trovata su un sussidiario confonde le due operazioni creando un gran minestrone!!

Le strutture fondamentali dell’aritmetica La somma per i Romani è come per gli insiemi: una semplice riunione I + II = III Per gli Arabi è diversa: 1 + 2 = 3 Sembra più difficile ma è più economica

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Da dove nasce il simbolo dell’addizione? Il + proviene da una deformazione della lettera corsiva “p” che a sua volta indica la parola latina “plus”

Le strutture fondamentali dell’aritmetica La cifra 0 Le convenzioni universalmente adottate utilizzano dieci simboli, chiamati cifre arabe. La decima cifra è chiamata “zero”. È il numero degli elementi di un insieme che non ha elementi. È un passaggio difficile per i bambini, quasi un salto nel vuoto!

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Il suo utilizzo è fondamentale per la costruzione dei numeri: si può contare così per decine, centinaia, migliaia… Ecco un’altra peculiarità dello 0: CCCII = 302

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Il valore posizionale delle cifre Ogni cifra indica un numero che dipende dalla posizione che la cifra stessa ha nella scrittura. Per questo l’addizione 2+3+7 non dà come somma 237 ma 12.

Le strutture fondamentali dell’aritmetica La MOLTIPLICAZIONE È un’addizione ripetuta 5x3 = 5+5+5 Prendo 3 caramelle per 5 volte Ogni caramella la ripeto per 5 volte

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Il risultato della moltiplicazione si chiama PRODOTTO e i numeri coinvolti FATTORI La moltiplicazione possiede le medesime proprietà dell’addizione e inoltre La proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: a x (b x c) = a x b + a x c

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Attenzione alla simbolizzazione: 5 x 3 5 * 3 5 · 3 Può generare confusione!

Le strutture fondamentali dell’aritmetica LA SOTTRAZIONE È l’operazione inversa dell’addizione Il risultato viene chiamato DIFFERENZA, la prima cifra MINUENDO e la seconda SOTTRAENDO

Le strutture fondamentali dell’aritmetica a – b = c B è il sottoinsieme dell’insieme A Il risultato C è un insieme Se questa operazione viene presentata con la domanda: Quanti elementi mancano all’insieme B per averne quanti ne ha l’insieme A? può risultare di difficile comprensione agli alunni

Le strutture fondamentali dell’aritmetica LA DIVISIONE È l’operazione inversa della moltiplicazione Il risultato viene chiamato QUOTO, La prima cifra DIVIDENDO E la seconda DIVISORE Si chiama RESTO “l’avanzo”

Le strutture fondamentali dell’aritmetica In un gruppo di tirocinio ci sono 21 ragazze. Il supervisore chiede di formare dei gruppi da 3. Quanti gruppi avremo? Concetto di MODELLO: Quanti gruppi come quello formato da Ilaria, Marta ed Emanuela avremo?

Le strutture fondamentali dell’aritmetica c : b = a Il numero c è multiplo di b (altrimenti la divisione avrà il resto) B è il modello che si ripete A volte all’interno di C

Le strutture fondamentali dell’aritmetica Attenzione alla simbolizzazione: 1 : 2 1 ÷ 2 1 / 2 ½ Può generare confusione!

Le strutture fondamentali dell’aritmetica In conclusione: Emergono difficoltà concettuali che si presentano in certi soggetti in relazione alle strutture fondamentali dell’aritmetica Ulteriori difficoltà sono offerte dalle convenzioni di rappresentazione dei numeri e delle operazioni Possono nascere alcune complicazioni dalle tecniche abitualmente insegnate per eseguire le operazioni.

La geometria e la relazione con l’ambiente Siamo in rapporto con il mondo esterno sin dalla nascita attraverso: vista, tatto e sensazioni muscolari Siamo immersi nel campo gravitazionale terrestre che da subito ci fornisce un riferimento naturale fondando le nozioni di “alto” e “basso”. Le prime sensazioni ci conducono al concetto di CORPO RIGIDO

La geometria e la relazione con l’ambiente La geometria può essere considerata come IL PRIMO CAPITOLO DELLA FISICA Si ravvisa in essa il tentativo dell’uomo di porre se stesso in modo razionale nel complesso degli oggetti che lo circondano.

La geometria e la relazione con l’ambiente Le facoltà mentali alla base della geometria: Osservazione degli oggetti Elaborazione fantastica Ragionamenti Previsioni Deduzioni

La geometria e la relazione con l’ambiente La signora Piera ormai un po’ avanti con l’età vorrebbe spostare alcuni mobili nella sua stanza. Si chiede: “Se sposto l’armadio sul lato opposto della stanza, la sua dimensione cambia?”

La geometria e la relazione con l’ambiente Ovvio che no! Perché il concetto di relazione di uguaglianza è la proprietà invariante della geometria euclidea. nel caso del trasporto rigido di segmenti la proprietà invariante è la lunghezza nel caso del piano è l’ampiezza

La geometria e la relazione con l’ambiente Gino e Tino sono due tipi molto competitivi e vogliono capire chi tra loro ha il giardino più grande. Ovviamente non sono molto oggettivi e continuano a litigare: “è più GRANDE il mio!” “no, il tuo è più PICCOLO!” Come possono arrivare a una soluzione? Attribuendo alle due aree dei numeri ben precisi.

La geometria e la relazione con l’ambiente È evidente come anche in geometria sia necessario l’utilizzo dei numeri. A differenza dell’aritmetica , i numeri in geometria rappresentano non degli insiemi ma delle GRANDEZZE. Es: 10 m

Grandezze e misure Campo di Gino Campo di Tino Il campo di Gino, a ben guardare, è più grande di quello di Tino! Anzi, è 2 volte quello dell’avversario!! A (campo di Gino) = 2 x B (campo di Tino) A = 2 B Campo di Tino

Grandezze e misure Pierino guarda il suo papà e gli chiede: “Quanto sei alto più di me?” “Sono due volte te e un pezzettino” Quindi A (H papà) = n volte B (H Pierino) Con “n” non ∈ numeri naturali

Grandezze e misure Per questo gli uomini hanno inventato un nuovo insieme: Q NUMERI RAZIONALI Razionale deriva da “ratio”, il rapporto tra due grandezze.

Grandezze e misure Quindi le comuni FRAZIONI m/n Con m, n ∈ N

Grandezze e misure Gli insiemi dei numeri che rappresentano le grandezze non finiscono qui… Il più grosso è quello dei NUMERI REALI Come nasce?

Grandezze e misure Un matematico alle prese con il teorema di Pitagora si trova di fronte a un problema non da poco: calcolare la misura della diagonale del quadrato di lato 1. l d

Grandezze e misure Secondo il teorema di Pitagora ______ __ ______ __ d = √12+ 12 = √2 che è un numero IRRAZIONALE perchè non si può scrivere come rapporto tra due numeri naturali. Non esistono due numeri m, n ∈ N tali che m/n = √2

Grandezze e misure Quindi R, ovvero l’insieme di tutti i numeri, è formato da: Insieme dei numeri razionali (di cui fanno parte anche i naturali) Q Insieme dei numeri irrazionali I

In conclusione… Perché Manara ci fa fare tutto questo percorso? Perché da tutto ciò noi possiamo cogliere che la matematica davvero nasce come desiderio di rappresentare la realtà, come dice Galileo: “Il grande libro dell’Universo è scritto in caratteri matematici e in questo libro potrà leggere soltanto chi conoscerà questi caratteri.”