Difficoltà di apprendimento e Problemi didattici ALGEBRA Difficoltà di apprendimento e Problemi didattici

Esempi di difficoltà Non si applicano le conoscenze computazionali algebriche (anche buone…) al problem solving Spesso le formule hanno per gli allievi significati "inventati", anche pseudo-coerenti… Non sanno usare l'algebra come strumento per comprendere, individuare e comunicare correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma solo come uno strumento di "calcolo" In ogni caso lo studente non si sente "padrone" del procedimento

Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali. (Lagrange)

TRE Assi concettuali Linguaggio naturale  Struttura simbolica Semantica  Sintassi Aspetto relazionale  Aspetto procedurale

Linguaggio naturale  Struttura simbolica Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio a guidare il pensiero: “Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto costano 3 etti?” : 3,50 [:1] x 3 = 10,50. 2x+3=7  x= 2 . Oltre un certo livello non funziona più: “Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”: 3,50 : (2/3) x (4/7) = 3. 2x+3=5x-6  x= 3 .

Sintassi  Semantica Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte le altre materie scolastiche…) il controllo semantico è essenziale e viene naturale. In algebra è spesso la sintassi a guidare, la semantica segue ! Es. Il gioco dell’indovino La sintassi invece è importnate, a volte permette “scoperte” che la semantica non consente Es. Il quadrato magico

INDOVINARE UN NUMERO Pensate un numero 6 Moltiplicate per 5 30 Sommate 3 33 Moltiplicate per 4 132 Aggiungete 12 144 Moltiplicate per 5 720 Ora ditemi il risultato ed io indovinerò il numero che avete pensato 720  6 x  5x  5x + 3  4(5x+3) = 20x+12   20x + 12 + 12 = 20x + 24   5(20x+24)=100x+120

QUADRATO MAGICO 5 4 2 Somma = 15

QUADRATO MAGICO 8 1 6 3 5 7 4 9 2

Somma =S , ma a,b,c, S qualsiasi ? QUADRATO MAGICO Somma =S , ma a,b,c, S qualsiasi ? b a c

S = (b+c-a) + b + (a+b-c) = 3b QUADRATO MAGICO 3 S-b-c 2 S-a-b 4 S-(S-b-c)-a= b+c-a b 5 S-(S-a-b)-c= a+b-c a 1 S-a-c c S = (b+c-a) + b + (a+b-c) = 3b

Aspetto relazionale  Aspetto procedurale Variabile Costante Incognita Parametro... E’ collegato alla classica differenziazione analisi  sintesi Es. Dimostrazione geometrica o algebrica che (a+b)2= a2+b2+2ab Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.

Formalismo algebrico Funzione stenografica tremila più quattromila fa settemila  3000+4000=7000 la velocità di un corpo a un dato istante t0 è pari al limite del rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, quando tale intervallo di tempo tende a 0 in prossimità di t0  v(t0) = s'(t0)

Formalismo algebrico Funzione di sintesi e generalizzazione criteri di divisibilità, per ogni numero dispari (n2-1) è divisibile per 8, polinomio di Taylor d una generica funzione

Formalismo algebrico Funzione di trasformazione partendo dalla formula Cn= Cn-1 +i Cn-1 , si ricava agevolmente per induzione che Cn=(i+1)n C0 , da cui è facile ricavare un dato in funzione dell'altro… (C0 e Cn rappresentano il capitale iniziale e quello al tempo n, dato l'interesse unitario i) formule di derivazione

Esempi di errori Deviazioni nell'uso o nella verbalizzazione del formalismo (uso del segno = : per es. 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x tendente a… , sommatoria "di" x che va da… a … di…) Errori formali (es. di segno in equazioni, prodotto, parentesi,…) Difficoltà di direzione del lavoro risolvere x(x2+3x-5)+3(x2+3x-5)x2=0

Uso di una stessa lettera per indicare variabili diverse nel linguaggio naturale :"Un trapezio è equivalente alla metà di un rettangolo tale che…" o (peggio ancora) "Il numero dei divisori del numero 60 è il massimo numero di divisori fra tutti i sistemi di divisori di ogni numero minore di 100, e questa può essere stata la ragione della scelta del numero 60 come base di un sistema di numerazione…"

Estensione indebita di proprietà (a+b)2= a2+b2 in analogia con 2(a+b)=2a+2b, oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h) Mancanza di collegamento fra una data formula o simbolo algebrico e l'oggetto rappresentato (anche nelle applicazioni alla scienza o alla fisica) Mancanza di consapevolezza e controllo sui meccanismi di trasformazione (da qui l'incapacità di capire che due formule diverse esprimono la stessa quantità o la disponibilità a passaggi acritici e semplificazioni…)

Abilità algebriche “auspicabili” (1) analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica e grafica saper eseguire confronti (argomentati…) degli ordini di grandezza per funzioni con regole del tipo k, k2,k3,…

Abilità algebriche “auspicabili” (2) saper analizzare una tabella di valori o il grafico di una funzione per - interpretare condizioni enunciate verbalmente - identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che corrisponda a tale tabella o tale grafico

Abilità algebriche “auspicabili” (3) analizzare le operazioni da eseguire e predire la probabile forma del risultato (o viceversa, analizzare il risultato per individuarne la correttezza…) determinare quale fra le diverse forme potrebbe essere la più adatta per rispondere a una certa domanda.

E le abilità "più basse", quelle computazionali di base?

Senso dell'algebra   calcolo algebrico Non è "dimostrato" alcun rapporto diretto causa-effetto fra i due: non si se uno provochi l'altro e quale…. E' però certo il fallimento di una pratica di non integrazione fra i due, trascurando la costruzione del senso dei simboli matematici, cioè del nesso fra segni e concetti, provocando un approccio squilibrato alla matematica.

Senso dell'algebra   calcolo algebrico Puntare sul "senso", sui concetti significa sperare [troppo ?] in un adeguamento automatico del linguaggio simbolico ai concetti. Puntare sulla prassi di calcolo significa sperare [vanamente ?] che dall'uso continuo delle competenze segniche nasca (da sé ?) un'acquisizione dei concetti retrostanti.

L'algebra è un codice convenzionale, ma non arbitrario, in quanto è un prodotto culturale e condiviso. La comprensione del codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi corrispondenti ai "meccanismi di comprensione delle regole del gioco". In generale si apprende un codice convenzionale solo a livello di mediazione sociale: afferro una regola in quanto interiorizzo le funzioni di un sistema notazionale socialmente condiviso. apprendimento di un linguaggio di programmazione o di un software bottega d'arte rinascimentale…

Spunti per una “bottega algebrica” Situazioni ricche e stimolanti usando anche una calcolatrice o un software (dato un grafico o una tabella, costruire una formula…) Invitare a discutere la sequenza di passaggi, il loro senso,… Provocare discussioni Ristrutturare il "contratto didattico": non solo costruire "identità" ma "identità false", passaggi "sbagliati",…

Problema 1 Si consideri un rettangolo. Come cambia la sua area se si aumenta un lato del 10% e si diminuisce l'altro del 10% ?

Problema 2 È noto [in generale agli studenti…] cosa rappresenti l'equazione y=mx+n e cosa si ottenga se pongo m=2 ed n=3: la retta y=2x+3 …. Ma cosa succede se in y=mx+n pongo y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta 2=m3+n ?

Problema 3 Dimostrare che dato un numero di quattro cifre, facendo la differenza fra esso e il suo "trasposto" (quello con le stesse cifre scritte in ordine inverso), si ottiene sempre un numero divisibile per 11. [Più in generale, dimostrare un qualunque criterio di divisibilità]

Problema 4 Decidere la tariffa più conveniente per il proprio telefonino