ANALISI FATTORIALE E PSICOLOGIA Nasce come metodo di spiegazione di dati di tipo psicologico XCHE’ Permette di studiare molte variabili contemporaneamente

ANALISI FATTORIALE: che cos’è Corpo di metodi statistici che aiutano il ricercatore a definire meglio le proprie variabili e a decidere quali dovrebbero essere studiate e messe in relazione Sviluppo Psicologia

Tecnica utilizzata per STUDIARE RIASSUMERE SEMPLIFICARE le relazioni in un insieme di variabili

SCOPO Ridurre l’informazione contenuta in un insieme di dati individuando uno o più FATTORI (dimensioni) latenti che raggruppano una serie di variabili

RISULTATO POCHI FATTORI partendo da MOLTE VARIABILI

ESEMPIO: - CULTURA GENERALE - COMPRENSIONE FATTORE - ANALOGIE - VOCABOLARIO FATTORE ABILITA’ VERBALE

FASI dell’AF PUNTO DI PARTENZA: trasformazione di una matrice “soggetti x variabili” in una matrice “variabili x variabili” (matrice di correlazione R ridotta)

Item 1 Item 2 Item 3 … Andrea 3 2 Anna 4 1 Paola 5 Matrice SOGGETTI X VARIABILI es. 100 X 10 Item 1 Item 2 Item 3 … Andrea 3 2 Anna 4 1 Paola 5

Item 1 Item 2 Item 3 … ? .34 .42 .52 Matrice VARIABILI X VARIABILI es. 10 X 10 Item 1 Item 2 Item 3 … ? .34 .42 .52 MATRICE DI CORRELAZIONE R RIDOTTA

PUNTO DI ARRIVO: matrice delle saturazioni A (relazioni fra variabili e fattori latenti)

Fattore 1 Fattore 2 Item 1 .60 .34 Item 2 .48 .23 Item 3 .56 .49 … Matrice VARIABILI X FATTORI es. 10 X 2 Fattore 1 Fattore 2 Item 1 .60 .34 Item 2 .48 .23 Item 3 .56 .49 … MATRICE DELLE SATURAZIONI A

Riassumendo Matrice SOGGETTI X VARIABILI Matrice VARIABILI X VARIABILI (R) Matrice VARIABILI X FATTORI (A)

Riassumendo Matrice 100 X 10 Matrice 10 X 10 Matrice 10X 2

Tipi di Analisi Fattoriale Analisi Fattoriale Esplorativa (AFE) è la situazione in cui il ricercatore non ha in mente nessuna ipotesi teorica (approccio data driven) Analisi Fattoriale Confermatoria (AFC) il ricercatore dispone di una precisa ipotesi a priori sulla struttura dei fattori

Modello teorico dell’AFE IPOTESI FONDAMENTALE La CORRELAZIONE tra le variabili è DETERMINATA da dimensioni non osservabili, i FATTORI, che in qualche modo causano o DETERMINANO i PUNTEGGI riscontrabili nelle VARIABILI osservate Esamina la VARIANZA che le variabili hanno in comune (VARIANZA COMUNE) per cercare di determinare i fattori sottostanti

VARIANZA: indicatore di variabilità che corrisponde alla media del quadrato degli scostamenti dalla media s2 =  (xi-x)2 n Non tutta la varianza degli item può essere spiegata dai fattori comuni FATTORE UNICO VARIANZA UNICA

FATTORE 1 FATTORE 2 VAR 1 VAR 2 Fattore unico 1 Fattore unico 2

Scomposizione della varianza Varianza totale= varianza comune+varianza unica (1= h2+u2) Comunalità = varianza totale – unicità (h2= 1 – u2) Unicità = varianza totale – comunalità (u2= 1 – h2)

COMUNALITA’: parte di varianza totale che viene spiegata dai fattori comuni UNICITA’: parte di varianza totale che viene spiegata dal fattore unico Varianza dovuta all’errore di misurazione Varianza attribuibile a processi che agiscono sistematicamente solo su una variabile (specificità)

ASSUNTO FONDAMENTALE AFE Il punteggio standardizzato di un soggetto in una variabile è uguale alla somma ponderata del punteggio ottenuto dallo stesso soggetto nei fattori comuni e nel fattore unico

Zik = Fi1ak1+ Fi2ak2+… Fimakm+uik Zik= punteggio standardizzato del soggetto i nella variabile k Fi1= punteggio standardizzato per il soggetto i nel fattore comune 1 ak1= saturazione fattoriale (factor loading) della variabile k nel fattore comune 1 uik = punteggio standardizzato per il soggetto i nel fattore unico associato alla variabile k

Espressione matriciale Z = F*A’+U Z matrice dei punteggi standardizzati F matrice dei punteggi nei fattori comuni A’ matrice (trasposta) delle saturazioni nei fattori comuni U matrice dei fattori unici per ogni soggetto in ogni variabile

EQUAZIONE FONDAMENTALE AF R = AA’ + U2 R matrice delle correlazioni tra le variabili A matrice delle saturazioni nei fattori comuni A’ matrice (trasposta) di A U2 matrice diagonale che contiene la varianza unica relativa ad ogni variabile

COMUNALITA’ Somme dei quadrati delle saturazioni riga x riga Rappresentano ciò che vi è in comune tra ogni variabile e tutti i fattori, cioè la PORZIONE DI VARIANZA DELLA VARIABILE SPIEGATA DAI FATTORI Quadrato saturazioni: porzione di varianza della singola variabile che è spiegata dal fattore

Matrice delle saturazioni fattoriali A Fattore 1 Fattore 2 h2 (comunalità) Item 1 .60 .34 .602 +. 342 Item 2 .48 .23 .482 +. 232 Item 3 .56 .49 .562 +. 492 …

Item 1 Item 2 Item 3 … ? .34 .42 .52 MATRICE DI CORRELAZIONE R RIDOTTA ? = STIMA DELLE COMUNALITA’

COSA ACCADREBBE SE SI METTESSE 1 SULLA DIAGONALE PRINCIPALE? La varianza di errore e specifica andrebbero a gonfiare la varianza estratta dai fattori distorcendo le stime dei parametri LA MATRICE DI CORRELAZIONE CON 1 SULLA DIAGONALE PRINCIPALE VIENE USATA NELL’ACP

5 PASSI FONDAMENTALI DELL’AFE SELEZIONE DELLE VARIABILI CALCOLO DELLA MATRICE DELLE CORRELAZIONI TRA LE VARIABILI (R) ESTRAZIONE DEI FATTORI (A) ROTAZIONE DEI FATTORI INTERPRETAZIONE DELLA MATRICE DEI FATTORI RUOTATI

Fattore 1 Fattore 2 Item 1 .60 .34 Item 2 .48 .23 Item 3 .56 .49 … MATRICE DELLE SATURAZIONI FATTORIALI A Fattore 1 Fattore 2 Item 1 .60 .34 Item 2 .48 .23 Item 3 .56 .49 …

RUOTARE I FATTORI = spostarne la posizione nello spazio In modo che: solo poche variabili presentino saturazioni elevate su ciascuno di essi Ogni singola variabile tenda a correlare solo con un fattore

MATRICE DELLE SATURAZIONI RUOTATA Fattore 1 Fattore 2 Item 1 .70 Item 3 .63 Item 4 .54 Item 10 .45 Item 2 .77 Item 5 .75 Item 6 .66 Item 7 .60 Item 8 Item 9 .51

INTERPRETAZIONE Ci si serve di tutte le conoscenze disponibili riguardo alle variabili così come di ogni altra informazione pertinente Si comincia analizzando le variabili che presentano saturazioni più elevate nei fattori ruotati

ESTRAZIONE DEI FATTORI INTERPRETAZIONE DEI FATTORI MATRICE SOGGETTI x VARIABILI MATRICE DELLE CORRELAZIONI TRA LE VARIABILI R (MATRICE VARIABILI x VARIABILI) ESTRAZIONE DEI FATTORI MATRICE DELLE SATURAZIONI NON RUOTATE A ROTAZIONE DEI FATTORI MATRICE DELLE SATURAZIONI RUOTATE INTERPRETAZIONE DEI FATTORI

DECISIONI DA PRENDERE IN UN AFE Il ricercatore deve DECIDERE: QUALI VARIABILI E CAMPIONE UTILIZZARE SE L’AFE E’ LA PIU’ APPROPRIATA FORMA DI ANALISI PER RAGGIUNGERE GLI OBIETTIVI DELLA SUA RICERCA QUALE PROCEDURA UTILIZZARE PER ADATTARE IL MODELLO AI DATI QUANTI FATTORI INCLUDERE NELLO STUDIO COME RUOTARLI PER OTTENERE UNA SOLUZIONE FACILMENTE INTERPRETABILE

PROGETTO DI RICERCA: VARIABILI E CAMPIONE DEFINIRE PRELIMINARMENTE L’AREA CHE SI VUOLE STUDIARE; FARSI UN’IDEA DEI FATTORI CHE CI ASPETTA DI OTTENERE; SCEGLIERE LE VARIABILI SELEZIONARE UN CAMPIONE RAPPRESENTATIVO SU CUI RACCOGLIERE I DATI FARE LE ANALISI

VARIABILI: ogni fattore atteso deve essere sovradeterminato, cioè rappresentato da più variabili con un rapporto di almeno 1:4-1:5 Le variabili con bassa comunalità dovrebbero essere eliminate;

Il campione deve assicurare variabilità al fattore CONDIZIONI OTTIMALI CONDIZIONI MODERATE CONDIZIONI SCARSE Campioni anche piccoli Anche campioni grandi potrebbero non essere sufficienti! Campioni di medie dimensioni Il campione deve assicurare variabilità al fattore Attenzione alle condizioni di raccolta dati

Qual è l’obiettivo del mio progetto di ricerca? APPROPRIATEZZA AFE Qual è l’obiettivo del mio progetto di ricerca? PARSIMONIOSA RAPPRESENTAZIONE DELLE ASSOCIAZIONI TRA LE VARIABILI SEMPLIFICAZIONE DEI DATI AFE ACP

L’Analisi delle Componenti Principali (ACP) Tecnica di semplificazione dei dati diversa dall’AF e creata per raggiungere scopi diversi AF: cerca di spiegare più COVARIANZA possibile delle variabili (spiegare le correlazioni) ACP: cerca di spiegare più VARIANZA possibile delle variabili (trasformando linearmente le variabili originali)

L’ACP non fa distinzione fra varianza comune (comunalità) e varianza specifica delle variabili Nel processo di calcolo delle componenti principali è possibile individuare tante componenti quanto sono le variabili originali Non si possono ruotare le componenti Le componenti non sono latenti

TECNICA DI ESTRAZIONE DEI FATTORI METODO DEI FATTORI PRINCIPALI (AFP) METODO DEI MINIMI QUADRATI (MQ) METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA (ML)

AFP MQ ML Vantaggi: No assunzione di normalità multivariata; Raramente risultati distorti Limiti: -Necessaria stima delle comunalità elemento di indeterminatezza nella soluzione Vantaggi: Non necessaria stima delle comunalità; Limiti: -Spesso risultati diversi da AFP perché non analizza gli elementi sulla diagonale principale Vantaggi: Test per verificare la bontà dell’adattamento del modello ai dati; Non dipendente dalla scala di misura delle variabili Limiti: -Assunzione di normalità multivariata

SELEZIONE DEL NUMERO DI FATTORI DA ESTRARRE Non esiste un metodo certo per determinare l’esatto numero di fattori da estrarre! MEGLIO SBAGLIARE ESTRAENDO TROPPI FATTORI PIUTTOSTO CHE TROPPO POCHI

PRINCIPALI TECNICHE PER DECIDERE QUANTI FATTORI ESTRARRE CRITERIO DEGLI AUTOVALORI > 1 SCREE TEST ANALISI PARALLELA INDICI DI BONTA’ DELL’ADATTAMENTO DEL MODELLO AI DATI Fare riferimento alla letteratura e a precedenti ricerche; Utilizzare più indicatori possibili; Se ci sono, controllare i valori di almeno un indice di bontà dell’adattamento del modello ai dati; Testare la scelta effettuate su più gruppi di dati

ROTAZIONE DEI FATTORI CRITERIO DELLA STRUTTURA SEMPLICE (THURSTONE) Ogni fattore deve saturare una minoranza di variabili e ogni variabile deve essere spiegata possibilmente da un solo fattore

MATRICE DI CORRELAZIONE DI 6 VARIABILI ARTIFICIALI   X1 X2 X3 X4 X5 X6 .75 .83 .70 .32 .25 .39 .28 .31 .79 .36 .33 .82 .76

ANALISI DEI FATTORI PRINCIPALI (AFP)   Fattore 1 Fattore 2 h2 X1 .77 .55 .89 X2 .66 .44 .63 X3 .74 .49 .78 X4 –.49 .85 X5 .71 –.48 .73 X6 –.45 .79

Soluzione originale AFP (i fattori coincidono con gli assi cartesiani) 1 X5 .5 .25 .75 X2 X1 X3 X6 X4 FATTORE II FATTORE I

ROTAZIONI ORTOGONALI: durante la rotazione i fattori mantengono il vincolo dell’ortogonalità ROTAZIONI OBLIQUE: durante la rotazione i fattori divengono correlati

ROTAZIONE ORTOGONALE 45° 1 X5 .5 .25 .75 X2 X1 X3 X6 X4 FATTORE I FATTORE II

ROTAZIONE OBLIQUA (ANGOLI DIVERSI) 1 X5 .5 .25 .75 X2 X1 X3 X6 X4 FATTORE I FATTORE II

● Più semplici da effettuare LIMITI E VANTAGGI DELLE ROTAZIONI ORTOGONALI OBLIQUE ● Più semplici da effettuare ● Inadeguate per molti costrutti esaminati in psicologia poiché costituiti da fattori correlati ● Individuano strutture semplici più povere di quelle reali quando i fattori sono correlati ● Conducono a gravi distorsioni se si utilizzano con fattori correlati ● Più complesse ● Adeguate per la maggior parte dei costrutti psicologici ● Non individuano strutture fattoriali più povere quando i fattori non sono correlati ● Non comportano distorsioni se si utilizzano su fattori non correlati ● Stimando le correlazioni tra i fattori permettono una comprensione più approfondita dei dati

ROTAZIONI OBLIQUE PIU’ COMPLESSE PERCHE’: NO SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO; COMUNALITA’ PIU’ DIFFICILI DA CALCOLARE; SOLUZIONE SU TRE MATRICI (PATTERN, STRUCTURE E DI CORRELAZIONE FATTORIALE)

MATRICE PATTERN (P): contiene i coefficienti relativi all’impatto diretto di ciascun fattore sulle variabili, al netto dell’impatto degli altri fattori EFFETTO DIRETTO DEL FATTORE SULLA VARIABILE MATRICE STRUCTURE (S): contiene le correlazioni tra le variabili e i fattori, che saranno tanto maggiori rispetto ai coefficienti della matrice Pattern quanto più è elevata la correlazione tra i fattori CORRELAZIONI TRA VARIABILI E FATTORI

Pattern Structure Structure Pattern FATTORI PIU’ CORRELATI / ROTAZIONE PIU’ OBLIQUA FATTORI MENO CORRELATI / ROTAZIONE MENO OBLIQUA F A T O R E II F A T O R E II Pattern Structure Structure Pattern FATTORE I FATTORE I Più la soluzione è obliqua più la S e la P saranno differenti, più diminuisce il grado di obliquità più le due matrici si avvicineranno sino ad arrivare a coincidere quando i due fattori diventano ortogonali

DECISIONI DA PRENDERE IN UN’ANALISI FATTORIALE ESPLORATIVA 5 TEMI PRINCIPALI: Variabili Campione Progetto di ricerca Appropriatezza dell’AFE AFE o ACP? Analisi dei Fattori Principali Minimi Quadrati Massima Verosimiglianza Tecniche di estrazione dei fattori Autovalori > 1 Scree test Analisi parallela Indici di goodness of fit Numero di fattori da estrarre Ortogonali Oblique Rotazione dei fattori

ESEMPIO PRATICO DI AFE SCALA DIMENSIONI DEL SELF-CONSTRUAL (13 ITEM con Likert a 7 punti) Scala inserita nell’European Opinion Survey (EOS), questionario costruito per una ricerca cross-culturale relativa al senso di identità nazionale in alcuni Paesi Europei

PUNTI FONDAMENTALI AFE: 1) PROGETTO DI RICERCA VARIABILI: ? CAMPIONE: medie dimensioni (300 soggetti) in quanto i fattori, stando alla letteratura, dovrebbero essere sovradeterminati, ma non si hanno dati sulle comunalità delle variabili

2) APPROPRIATEZZA AFE SCOPO ANALISI: scoprire se esistono e dunque individuare i fattori latenti AFE ANALISI DELLA DISTIBUZIONE DEI DATI (minimo-massimo, range, distribuzione di frequenza, media, deviazione standard etc)

3) SCELTA TECNICA ESTRAZIONE FATTORI Poiché la distribuzione è NORMALE MULTIVARIATA, conoscendo i vantaggi e gli svantaggi delle varie tecniche, si sceglie di utilizzare il metodo della Massima Verosimiglianza ML

4) SELEZIONE DEL NUMERO DEI FATTORI DA ESTRARRE Non esistendo un unico criterio certo si sceglie di utilizzare: AUTOVALORI > 1 SCREE TEST ANALISI PARALLELA

… AUTOVALORI Fattori Autovalori iniziali Totale % di varianza   Fattori Autovalori iniziali Totale % di varianza % cumulative 1 3.88 29.84 2 2.66 20.51 50.36 3 1.02 7.88 58.24 4 .84 6.48 64.73 5 .78 6.00 70.73 6 .70 5.40 76.14 …

SCREE PLOT

ANALISI PARALLELA Number of variables: 13 Number of subjects: 300 Number of replications: 1000 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Random Eigenvalue DS 1 1.3585 .0481 2 1.2733 .0311 3 1.2056 .0305 4 1.1396 .0286 5 1.0860 .0232 6 1.0369 .0210

INDICE DI GOODNESS OF FIT χ2 gl p 26.94 53 .26 Valore del χ2 non significativo  il modello trovato ha un buon fit con i dati (se fosse stato significativo il modello a due fattori sarebbe stato “lontano” dai dati ottenuti con la somministrazione)

5) ROTAZIONE DEI FATTORI FATTORI NON CORRELATI RUOTAZIONE ORTOGONALE VARIMAX

MATRICE RUOTATA VARIMAX   Fattori Item 1 2 INT4 .74 INT7 INT3 .69 INT6 .64 INT1 .63 INT2 .62 INT5 .54 IND4 IND6 IND2 .61 IND5 .60 IND3 .56 IND1 .55   Fattori Item 1 2 INT4 .74 INT7 INT3 .69 INT6 .64 INT1 .63 INT2 .62 INT5 .54 IND4 IND6 IND2 .61 IND5 .60 IND3 .56 IND1 .55 MATRICE RUOTATA VARIMAX   Fattori Item 1 2 INT4 .73   INT7 .72   INT3 .70   INT6 .64   INT2 .63   INT1 .63   INT5 .55   IND4   .64 IND6   .63 IND2   .62 IND5   .60 IND1   .56 IND3   .55