Filosofia della matematica Riassunti tratti principalmente da: “la filosofia della matematica del ‘900” di Ettore Casari

Rinascita del rigore matematico nell’800 Oltre alla novità di alcuni oggetti e contenuti dell’indagine matematica, cambiano le modalità di quest’ultima: l’affermarsi di un atteggiamento rigoristico che si manifesta attraverso l’emergere progressivo di un’esigenza profonda di chiarezza e determinazione dei propri concetti e dei propri metodi e poi, via via, di fondazione delle varie discipline e di tutta la matematica.

Riduzionismo ottocentesco Wessel, Argand e Gauss: interpretazione geometrica dei complessi Riconduzione teoria dei numeri complessi ↓ teoria dei numeri reali Cauchy: Reimpianto teoria funzioni di variabile complessa 1843 Hamilton: moderna definizione dei complessi Determinazione logicamente soddisfacente dei fondamentali concetti dell’analisi Cauchy, Weierstrass, Abel, Bolzano: Limite, convergenza, continuità, derivata, integrale, … Inizia con Weierstrass e culmina con Kronecker: Vuole eliminare dalla matematica concetti come “funzione” o “insieme” Aritmetizzazione dell’analisi 1872 Cantor, Dedekind: “classiche” fondazioni del sistema dei reali Frege: Riporta il concetto di “numero naturale” ad una combinazione di concetti puramente logici Logicizzazione dell’aritmetica Teoria dei numeri transfiniti Cantor

Caratteri fondamentali Il processo di riduzione fu concepito come un processo di analisi contenutisticamente determinato. Espulsione graduale dell’intuizione dalla matematica, in quanto la si riteneva incapace di cogliere l’intero contenuto razionale dei concetti. Il processo riduttivo non mise mai in dubbio la validità della logica che sovrintendeva ad esso; se si eccettua la fase più schiettamente logicista, tale logica era considerata talmente piana e pacifica che non si sentiva nemmeno il bisogno di esplicitarla.

Programma logicista di Russell All’inizio del ‘900 il filone “riduzionista” assume, attraverso le idee ed il lavoro del filosofo e matematico Bertrand Russell, caratteri di globalità e di onnicomprensività Russell, al contrario di Frege, conosce bene l’opera di Cantor L’incontro con Peano al Congresso di Parigi del 1900 lo mette in contatto con le grandi possibilità contenute nel patrimonio logico elaborato dalla scuola torinese Russell affronta quindi in tutta generalità il problema della riduzione della matematica alla logica

Programma logicista di Russell contraddittorio E’ in questo contesto che egli fa nel 1902 una memorabile scoperta destinata ad influenzare profondamente la problematica e la tematica della logica e della filosofia della matematica del nostro secolo. Lavorando su una delle grandi intuizioni cantoriane, Russell scope che il sistema generale di logica proposto da Frege quale base della riduzione è in realtà contraddittorio Russell, convinto com’è della sensatezza di fondo della prospettiva logicista, intraprende uno studio intenso e approfondito alla ricerca delle radici più riposte della sua antinomia e delle analoghe contraddizioni che nel frattempo emergono da ogni parte

e le definizioni impredicative Russell Involgendosi nelle difficoltà delle soluzioni al problema delle antinomie che egli vagheggia, fa emergere la possibilità di costruzioni logico-matematiche alternative, legate a scelte e posizioni filosofiche diverse circa la natura degli enti matematici. Russell si avvede del fatto che in ognuna di queste antinomie è usato un procedimento definitorio (che verrà poi detto “impredicativo”) che consiste nel definire un ente facendo anche riferimento a delle totalità alle quali l’ente da definire appartiene. Gli insiemi devono quindi essere costituiti a loro volta dalle nostre definizioni. Ma come faccio a costituire una proprietà se, nel farlo, uso una totalità che già la presuppone?

Russell e le definizioni impredicative Le vie d’uscita sembrano essere solo due: Concezione costitutiva Concezione descrittiva (platonismo) Patrimonio matematico sottoposto a mutilazioni e restrizioni Mondo di Idealità oggettive a noi esterno, di cui siamo pazienti scopritori Persevero nella mia idea che le proprietà dei numeri sono il risultato di un atto costitutivo della mia attività razionale; quindi devo abbandonare quel tipo di definizione perché in realtà esso è vuoto Rinuncio a questa mia convinzione e mi rassegno all’idea che le proprietà dei numeri sono in qualche modo date indipendentemente dalla mia attività razionale e allora (trovata altrove la “vera” radice delle antinomie) posso senz’altro usare quelle definizioni Russell tenta di soddisfare entrambe le esigenze attraverso l’aggiunta dell’ “assioma di riducibilità” alla “teoria ramificata dei tipi”. Gli studiosi successivi hanno aspramente criticato questo tentativo impossibile di mediazione tra due posizioni inconciliabili

L’infinità dei risultati è solo potenziale, mai attuale. Più radicale la posizione degli intuizionisti, eredi diretti di coloro che nell’Ottocento rappresentavano il punto di vista costitutivo nel contesto del problema delle entità matematiche (Kronecker il più significativo). Per gli intuizionisti (fra cui domina Brouwer) il processo e le sue possibilità sono l’unica cosa che c’è. L’infinità dei risultati è solo potenziale, mai attuale. Esistenza di un ente non può significare sua eventuale possibilità ma solo sua avvenuta costituzione. Dimostrazioni indirette (per assurdo) non sono quindi valide. La stessa logica proposizionale è da rivedere: non può essere accettata la legge del terzo escluso. Concezione costitutiva Predicativismo Intuizionismo Per il concettualismo predicativista è accettabile la considerazione della totalità degli enti costituibili attraverso un determinato processo. Da qui l’accettazione della totalità attualmente infinita e in sé completa dei numeri naturali, in quanto totalità degli enti che si possono generare a partire dallo zero attraverso il procedimento di passaggio al successivo

La questione degli universali e la matematica Le tre grandi prospettive emerse da alcuni tratti presenti negli atteggiamenti riduzionisti dell’ottocento non risultano essere soltanto delle possibilità alternative offerte alla riflessione filosofica in generale, ma si traducono presto in proposte alternative sul piano stesso della riflessione matematica. La matematica compatibile con una concezione circa la natura degli enti astratti non è in generale compatibile con un’altra. La nuova “disputa degli universali” ha messo in luce implicazioni scientifiche e teoretiche che non potevano certo venire immaginate in una situazione culturale nella quale l’infinito matematico non aveva particolare rilevanza.

Rivoluzione assiomatica Geometria Algebra Teoria equazioni algebriche Orizzonte tematiche algebriche

Sistema assiomatico materiale Preambolo Fin dal tempo dei pitagorici (430 a.C.) i matematici si sono abituati a seguire la logica e a non fidarsi dell’intuizione. Questo non vuol dire che essa sia bandita dalla matematica; al contrario, gli asserti fondamentali su cui ogni ramo della matematica si sviluppa (gli assiomi) sono accettati senza dimostrazione sostanzialmente per il loro contenuto intuitivo. L’intuizione ha un ruolo importante anche nella scoperta dei teoremi. Ma non si accetta l’evidenza intuitiva come conclusiva. Gli Elementi di Euclide rappresentano l’archetipo del trattato scientifico e sono l’esempio più antico di quello che oggi viene chiamato Sistema assiomatico materiale Si introducono i termini tecnici fondamentali del discorso (termini primitivi) e se ne chiarisce il significato. Viene fornito un elenco di enunciati primari (assiomi) che riguardano i termini primitivi. Affinché il sistema non sia vuoto di senso per il lettore, egli dovrà trovare questi enunciati accettabili, in quanto veri, in base alle spiegazioni fornite in 1. Tutti gli altri termini tecnici (termini definiti) sono definiti sulla base di termini già introdotti. Tutti gli altri enunciati del discorso (enunciati derivati o teoremi) sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati Ippaso di Metaponto

Euclides ab omni naevo vindicatus Pietro Antonio Cataldi (1603) Il problema ora è: Siamo sicuri che tutti quelli che abbiamo accettato come enunciati indimostrabili, siano effettivamente tali? Lo status di assioma del V° postulato di Euclide non solo era matematicamente poco elegante (l’enunciato inverso è un teorema), ma anche filosoficamente discutibile (non è autoevidente). Euclide (300 a.C.) Posidonio di Rodi (135 a.C.) Proclo (V° secolo) Nasir al-Din (XIII° secolo) Cristoforo Clavio (1574) Euclides ab omni naevo vindicatus Pietro Antonio Cataldi (1603) J. Wallis (1663) G. Saccheri (1733) G. Vitale (1680) J. Playfair (XVIII° secolo) J. H. Lambert (1766) J. F. Lorenz (1791) K. F. Gauss (1799) L. N. M. Carnot (1803) B. F. Thibaut (1809) A. M. Legendre (1824) F. Bolyai (XIX secolo)

La nascita delle geometrie non euclidee 1763 Klügel, studente, avanza l’ipotesi che il V° postulato non è dimostrabile. E’ quindi logicamente possibile una geometria alternativa a quella di Euclide. 1813 Gauss (e indipendentemente Schweikart nel 1818) ha una chiara visione di una geometria coerente in cui il V° postulato è sostituito dalla sua negazione. 1830 Nicolaj Ivanovič Lobačevskij pubblica un articolo sulla geometria non euclidea 1832 János Bolyai pubblica un trattato sulla geometria non euclidea. 1854 Riemann scrive che sostituire il V° postulato con la sua negazione non è l’unico modo per modificare la geometria euclidea.

Sistema assiomatico materiale Sistema assiomatico formale Vengono introdotti i termini primitivi e si chiarisce il loro significato. Viene fornito un elenco di assiomi accettabili in quanto veri in base alle spiegazioni fornite in a. Vengono introdotti i termini tecnici fondamentali del discorso (termini primitivi), non definiti. Viene fornito ed accettato un elenco di assiomi privi di giustificazione. I termini definiti sono definiti sulla base di termini già introdotti. I teoremi sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati I termini definiti sono definiti sulla base di termini già introdotti. I teoremi sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati Significato e realtà sono scomparsi, lasciando solo lo scheletro logico. La geometria iperbolica sfugge ad ogni tentativo di rappresentazione intuitiva “La matematica è quella disciplina in cui non si sa mai di che cosa si stia parlando, né se ciò che si dice sia vero” Russell

Vantaggi dei sistemi assiomatici formali Avendo a che fare con termini non interpretati, è meno facile farsi trarre in inganno da dimostrazioni fasulle: meno materiale la nostra immaginazione ha a disposizione, meno è probabile che accetti accidentalmente qualcosa che non sia logicamente certo. Tali sistemi sono suscettibili di più interpretazioni.

Va maturando una distinzione fra una geometria matematica, la cui significatività specifica è sempre meno rilevante, ed una geometria fisica, che descrive e organizza razionalmente un ambito dell’esperienza sensibile -quello spaziale. Similmente si sdoppia il problema della verità delle proposizioni geometriche: la “verità matematica” è identificata con l’essere conseguenza logica degli assiomi; il problema della “verità empirica” confluisce nel più generale problema epistemologico del rapporto fra il mondo dell’esperienza sensibile e le proposizioni che pretendono di descriverlo.

Algebra (I) Sistemazione e organizzazione praticamente definitiva della teoria delle equazioni algebriche, che aveva costituito per secoli il tema precipuo (per non dire esclusivo) dell’indagine algebrica Sviluppando alcune idee di Lagrange, di Abel e di Ruffini, Galois associò ad ogni equazione algebrica un sistema di permutazioni (il “gruppo di Galois dell’equazione”) il quale è legato all’equazione in modo tale che questa è risolubile mediante radicali se e solo se quello soddisfa una certa condizione strutturale. Ambiente culturale essenzialmente francese Protagonista è Evariste Galois, morto nel 1832. Le sue geniali intuizioni furono conosciute dopo il 1846, ma faticarono a farsi apprezzare. Solo alla fine degli anni sessanta, per merito di Jordan, l’acquisizione dell’eredità di Galois è completa. Per rispondere al problema di risolubilità delle equazioni, Galois era ricorso a punti di vista strutturali che, per la loro generalità, cominceranno presto a essere coltivati e studiati a prescindere dal particolare caso nel quale essi erano sorti e per il quale essi sono stati elaborati.

Parentesi: Teoria di Galois La nascita della teoria di Galois è stata motivata originariamente dal teorema di Abel-Ruffini: Non esiste alcuna formula per esprimere le radici di un polinomio razionale f di quinto grado (o superiore) in funzione dei coefficienti del polinomio, usando solo le normali operazioni algebriche e l'applicazione di radicali" La teoria di Galois rende chiaro ed evidente il perché sia possibile risolvere le equazioni di grado quattro o inferiore, specificando un criterio generale affinché una particolare equazione polinomiale di un qualsiasi grado abbia le soluzioni esprimibili mediante operazioni algebriche e radicali.

Algebra (II) Peacock: Algebra aritmetica Peacock: Algebra simbolica Isola proprietà strutturali fondamentali delle operazioni aritmetiche e le colloca alla base di uno sviluppo essenzialmente algoritmico-deduttivo. Peacock: Attraverso un “principio di permanenza delle forme equivalenti” estende le leggi dell’algebra aritmetica all’algebra simbolica, che viene concepita come un’algebra delle grandezze in generale Algebra simbolica ! Quaternioni ! Hamilton Scoperta di certi enti che, pur avendo ragionevoli titoli per essere considerati delle grandezze, non si comportano sempre come vorrebbe l’algebra simbolica Algebre Grassmann, Cayley e altri: Graduale emancipazione del concetto di “algebra di un sistema di grandezze” dall’idea unitaria teorizzata da Peacock Algebra della logica Boole: Trattazione algebrica anche di enti che non sono “grandezze” (proposizioni, classi, trasformazioni in un insieme, …)

Parentesi: i quaternioni I quaternioni sono “scoperti” da Hamilton nel 1843; egli era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali Un quaternione è rappresentato da una quaterna di numeri reali Q = (a,b,c,d) e si può esprimere tramite matrici 2x2 di numeri complessi; oppure matrici 4x4 di numeri reali; oppure come Q = a + b·i + c·j + d·k con o · 1 i j k -1 -j -k -i Possiamo facilmente verificare che non soddisfano la proprietà commutativa della moltiplicazione: Tabella moltiplicativa per le unità dei quaternioni

Rappresentazione matriciale dei quaternioni Le unità u, i, j, k, nella forma 2x2 e 4x4 sono: Il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato quindi da Oppure da

Caratteri fondamentali L’algebra astratta, che sta imparando a trattare unitariamente sistemi eterogenei di enti, fa gradualmente intravedere la possibilità di concepire le operazioni logiche del definire e del dimostrare come quelle operazioni capaci di generare i costrutti concettuali possibili e le proposizioni vere in ogni possibile sistema di enti che si trovi a verificare gli assiomi E’ dissolta la funzione fondante dell’intuizione La garanzia della legittimità razionale del sistema deve essere cercata in una non-contraddittorietà degli assiomi Che cosa trasmettano le definizioni e le dimostrazioni non è più ben chiaro Se prima assiomi e concetti primitivi erano solo il residuo ultimo di un lavoro definitorio e dimostrativo che veniva concepito come un lavoro riduttivo, adesso assiomi e relativi concetti, a significato largamente indeterminato, diventano sempre più il vero punto di partenza, non soltanto logico ma anche epistemologico, del lavoro del matematico. La funzione creativa dell’organizzazione assiomatica viene sempre più esaltata.

Sviluppi nel Novecento La scoperta delle antinomie mostra la necessità di garantirsi anche dalle contraddizioni che possono venire introdotte dallo stesso apparato logico-deduttivo. Ciò spinge verso una formalizzazione completa delle teorie matematiche: Simbolizzazione Esplicitazione del bagaglio linguistico ammesso (simboli) Esplicitazione delle possibili regole di combinazione e manipolazione di questo bagaglio linguistico La non-contraddittorietà di una teoria viene ora identificata con l’impossibilità di ottenere una dimostrazione che termina con una proposizione congiunta con la sua negazione

Hilbert e l’intuizione finitaria Hilbert e l’intuizione infinitaria Le teorie matematiche che ammettono modelli finiti possono venire dimostrate non-contraddittorie ostensivamente, cioè manovrando direttamente opportuni enti materiali (simboli). Il pensiero che si esprime nella costruzione e nella manipolazione di tali oggetti finiti è chiamato finitario. La sua giustificazione è di tipo kantiano, a priori. I veri problemi della intuizione e della evidenza si collocano in rapporto alle teorie che hanno solo modelli infiniti. Secondo Hilbert la proprietà di essere non-contraddittorio è una proprietà di certi sistemi simbolici. I simboli, le formule, le dimostrazioni delle teorie formalizzate sono oggetti concreti, finiti; le regole di manipolazione dei simboli sono prescrizioni di tipo finitario. Dunque sarà impegnata la sola intuizione finitaria nella dimostrazione del fatto che applicando quelle regole non si riesce a generare una configurazione simbolica rappresentante una contraddizione.

Programma hilbertiano Queste idee si concretizzano nel “programma hilbertiano” per la autofondazione della matematica. Tutte le teorie della matematica classica devono essere formalizzate. La “Matematica” è il complesso di questi sistemi formali. Giustificare la matematica vuol dire dimostrare la non-contraddittorietà della “Matematica” e… …essa viene dimostrata nella metamatematica, la quale dispone di quegli strumenti logici e deduttivi che sono ammessi nella matematica finitista (cioè che poggia sull’intuizione finitaria) Il carattere di autofondazione (fondazione della matematica all'interno della matematica) distingue il programma hilbertiano da altre fondazioni, per esempio da quella di Frege e Russell che si proponeva di fondare la matematica sulla logica.

Gödel Nel 1928 Hilbert aveva sollevato la questione circa la completezza della teoria dei numeri. Gödel dimostrò che non solo non era completa ma che era anche, in un senso ben definito, incompletabile Il teorema di Gödel non portò al tramonto bensì alla riformulazione del programma hilbertiano (oggi continuato col nome di proof theory).

Bibliografia “La filosofia della matematica del ‘900” di E. Casari “Filosofia della matematica” di G. Lolli “I principi della matematica” di B. Russell “La scienza e l’ipotesi” di J.-H. Poincaré “Le geometrie non euclidee” di E. Agazzi e Palladino “La rivoluzione non euclidea” di R. Trudeau