due parole sull’interpolazione Daniele Marini

Due problemi trovare una funzione incognita a partire da dati campione –che assuma nei punti campione il valore dato: interpolazione –che assuma nei punti campione un valore “vicino”: approssimazione in questo caso si richiedono anche proprietà di smoothing o smussatura/lisciatura

Interpolazione di dati dati n punti distinti (x i,y i ) determinare una funzione f(x) tale che f(x i )=y i si possono imporre ulteriori vincoli, ad esempio sulla derivabilità della funzione ai vari ordini e sul valore delle derivate in tutti i punti o nei punti estremi se la funzione f è un polinomio di grado k si parla di interpolazione polinomiale; se k=1 si parla di interpolazione lineare

Interpolazione polinomiale se il numero di punti è elevato per garantire l’interpolazione bisogna ricorrere a un polinomio di grado elevato (>3) e la funzione interpolante può avere oscillazioni indesiderate in questo caso si ricorre a interpolazione a tratti ad esempio con spline cubiche o di terzo grado

Interpolazione a spline cubiche dati n punti si scelgono k funzioni c j polinomiali di terzo grado imponendo: –la funzione c 0 passa per i punti p 0,p 1, p 2, p 3 –la funzione c 1 passa per i punti p 4,p 5,p 6,p 7 –... – si impongono condizioni di continuità in p 3 =p 4, p 7 =p 8,... –si impongono condizioni di continuità sulle derivate prime e seconde nei punti comuni –si impongono condizioni agli estremi (es. c’ 0 =c’ k =0)

Interpolazione lineare dati due punti (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) si ricava l’equazione della retta passante per essi: dati n punti si ricorre all’interpolazione lineare a tratti: ogni coppia di punti è interpolata da un segmento di retta, la funzione interpolante non è continua alle derivate (è una spezzata)

Approssimazione si richiede che la funzione incognita passi vicino ai punti campione occorre rendere minima una qualche distanza (norma) –si definisce un residuo: r i =(y i -f(x i )) –si definisce una norma, ad esempio quadratica:

Approssimazione -minimi quadrati supponendo che la funzione approssimante sia un polinomio di grado n-1: occorre rendere minima la norma:

Approssimazione - spline curve di Bezier costruite con funzioni di Bernstein cubiche altri metodi: B-spline, interpolazione di Hermite,...