Ottavio Serra Cosenza, giugno 2006 Curva ricorsiva di Von Kock
A partire da un triangolo equilatero (lato = 1), si divide ogni lato in tre parti uguali, si toglie la parte centrale e su di essa si costruisce un triangolo equilatero. Si itera il procedimento n volte. Al limite, per n -> infinito, il bordo del triangolo diventa la curva (frattale) di Von Kock.
Si parte dal triangolo equilatero
Prima Iterazione
Seconda Iterazione
Terza Iterazione
Quarta Iterazione
N-ma Iterazione
Al limite, per n -> Infinito, L’area della parte di piano racchiusa dalla curva è finita, mentre la sua lunghezza è infinita.
Dimensione frattale, posta uguale ad 1 la misura della figura, se lo spigolo della figura è ridotta ad 1/n e la figura è decomposta in m parti, si abbia: Si chiama dimensione di Haussdorf di una figura il numero d tale che, posta uguale ad 1 la misura della figura, se lo spigolo della figura è ridotta ad 1/n e la figura è decomposta in m parti, si abbia:
Figure usuali Per esse la dimensione di Haussdorf è quella solita. a) Segmento. Diviso il segmento in n parti (uguali), m = n, perciò d = 1. b) Quadrato. Diviso il lato in 2 parti, il quadrato è diviso in 4 (n, m = n^2), perciò d = 2. c) Cubo. d =3.
Curva di Von Kock Se il lato del triangolo è diviso in tre parti, esso viene sostituito da quattro parti, esso viene sostituito da quattro segmenti ognuno pari a 1/3, perciò: segmenti ognuno pari a 1/3, perciò: In questo senso la curva di Von Kock è frattale.