Corso di Fisica Lezione 4 La dinamica

Lo scopo della dinamica La dinamica si occupa di studiare perché e come si muovono i corpi. Parlare di movimento di un corpo significa che il corpo stesso cambia la sua posizione nel tempo. Il primo problema è allora quello di capire come si esprime la posizione e la sua variabilità nel tempo, ovvero la velocità Corso di Fisica

Il sistema di riferimento Iniziamo col considerare un sistema di tre assi con le proprietà di essere cartesiani ed ortogonali Ricordiamo qui che ortogonali significa che i tre assi formano, tra di loro, sempre un angolo retto mentre cartesiani indica che sui tre assi si utilizza la stessa unità di misura. Corso di Fisica 3

La posizione di un punto Consideriamo un generico punto P nello spazio. La sua posizione può essere espressa grazie alle sue proiezioni sui tre assi. Scriveremo allora P = (xP , yP , zP) e chiameremo coordinate le tre grandezze xP, yP e zP. Possiamo osservare quindi che la posizione di un punto è un vettore le cui componenti sono appunto i tre valori xP , yP e zP. Corso di Fisica 4

Il punto materiale Quello che abbiamo fatto è determinare la posizione di un punto, che geometricamente sappiamo avere una dimensione nulla. Ma noi siamo interessati ad analizzare oggetti reali che, invece, hanno dimensioni non nulla. Per iniziare conviene avere a che fare con i sistemi più semplici possibili, ovvero quelli le cui dimensioni sono molto piccole, almeno rispetto alle altre distanze in gioco. Parleremo, in questo caso, di punti materiali Corso di Fisica 5

La misura della posizione La posizione di un corpo è, come tutte le grandezze fisiche, una grandezza misurabile di tipo lunghezza e pertanto per essa occorre definire una unità di misura. Nel sistema MKS l’unità di misura è il metro (m) definito inizialmente come un sottomultiplo della lunghezza di un meridiano terrestre, attualmente viene determinato come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto in un tempo di 1/299 792 458 di secondo. Corso di Fisica 6

Altre unità di misura della lunghezza Oltre l’unità di misura ufficiale del sistema MKS esistono altre unità di misura spesso usate. Qui di seguito ne indichiamo alcune con i relativi fattori di conversione inch (pollice) 1", in 1 in = 2.54 cm foot (piede) 1', ft 1 ft = 12 in = 0.3048 m yard (iarda) yd 1 yd = 3 ft = 0.9144 m miglio marino naut mi 1 naut mi = 1.853 km Miglio terrestre US mi 1 mi = 1.609 km ångström Å 1 Å = 10-10 m anno luce a.l. 1 a.l. ≈ 9.461×1012 m parsec pc 1 pc ≈ 3.0857×1016 m ≈ 3.2616 a.l Corso di Fisica 7

La posizione come vettore Per quanto detto precedentemente, preso un punto materiale ed un particolare sistema di riferimento, si può determinare la sua posizione, o per meglio dire, il suo vettore posizione Vediamo che di regola il vettore posizione è tridimensionale ma nel seguito, per semplificare la trattazione, faremo uso di casi particolari a minor numero di dimensioni, cioè a due od addirittura ad una sola dimensione. Ciò a semplificare la rappresentazione analitica e grafica. Corso di Fisica 8

La velocità media Prendiamo in considerazione un punto materiale ed osserviamo la sua variazione di posizione al variare del tempo (caso unidimensionale). Dall’esperienza comune sappiamo che misurando lo spazio percorso in un determinato intervallo di tempo si può calcolare la velocità Notiamo però che questa velocità rappresenta solo il suo valore medio durante lo specifico intervallo di tempo: Corso di Fisica 9

La velocità istantanea Possiamo ridurre l’intervallo di tempo entro cui misuriamo lo spazio percorso ma in ogni caso otteniamo sempre un valore della velocità media. Per determinare il valore della velocità istantanea dovremmo ridurre l’intervallo di tempo sino a farlo divenire nullo ma allora anche lo spazio percorso diverrebbe nullo e l’operazione di divisione non si potrebbe più fare assumendo esso un valore indefinito. Corso di Fisica 10

La velocità media graficamente Per risolvere il problema osserviamolo graficamente. Su un sistema di due assi ortogonali indichiamo il tempo e lo spazio. Calcolare la velocità media significa determinare la pendenza della retta secante alla curva: Corso di Fisica 11

La velocità istantanea graficamente Quando facciamo tendere i due punti di intersezione della secante ad uno solo la secante stessa si trasforma, per definizione, nella tangente. Di conseguenza possiamo scrivere che Con linguaggio matematico diremo di aver determinato la derivata della posizione rispetto al tempo. Corso di Fisica 12

La velocità di un corpo Possiamo ora affermare che La velocità di un punto materiale è definita come la derivata prima della posizione rispetto al tempo Per calcolare questa velocità possiamo far uso delle proprietà matematiche dell’operatore derivata oppure, nei casi più semplici, possiamo utilizzare l’interpretazione geometrica e pertanto determinare la pendenza del grafico orario, ovvero della curva che rappresenta la variazione della posizione al variare del tempo. Corso di Fisica 13

Calcolo della velocità di un corpo fermo Consideriamo un corpo fermo, ovvero tale che la sua posizione non varia al variare del tempo: In questo caso il grafico orario è rappresentato da una retta orizzontale e la tangente in qualunque suo punto è la curva stessa, inclinata di un angolo 0 rispetto all’asse del tempo. Di conseguenza Corso di Fisica 14

Moto a velocità costante Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in maniera costante al variare del tempo: In questo caso il grafico orario è rappresentato da una retta inclinata e la tangente in qualunque suo punto è la curva stessa, con pendenza k rispetto all’asse del tempo. Di conseguenza Corso di Fisica 15

Moto rettilineo uniforme Osserviamo ora alcune proprietà del moto appena considerato. L’equazione del moto tridimensionale è Cambiamo ora il sistema di riferimento facendo in modo che il vettore velocità del corpo coincida con uno dei tre assi. Risulterà allora L’equazione oraria diviene allora e di conseguenza il moto avviene solo lungo l’asse x. Si dice che il corpo di muove di moto rettilineo uniforme Corso di Fisica 16

Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in maniera costantemente crescente al variare del tempo: In questo caso il grafico orario è rappresentato da una curva (una parabola) e determinare graficamente la tangente non è semplice: si deve obbligatoriamente far uso delle regole matematiche per la determinazione della derivata. Si ottiene: Corso di Fisica 17

Accelerazione Così come dalla posizione di un corpo abbiamo determinato la sua velocità, possiamo ricavare, a partire dalla velocità, una nuova grandezza chiamata accelerazione Che risulta quindi essere definita come la derivata della velocità rispetto al tempo od anche come la derivata seconda della posizione rispetto al tempo Corso di Fisica 18

Causa del moto Iniziamo col considerare un corpo poggiato su un piano orizzontale in movimento con una determinata velocità iniziale. Possiamo notare che lasciato a se stesso il corpo più o meno lentamente rallenta, sino a fermarsi. Se però levighiamo sia il piano che il corpo osserviamo che il rallentamento diminuisce ed addirittura, se usiamo un piano di ghiaccio secco (anidride carbonica ghiacciata) ed un corpo abbastanza leggero, il rallentamento del corpo diviene estremamente lento sino a poter apparire addirittura trascurabile. Corso di Fisica 19

L’enunciato di Newton Possiamo allora dedurre che il rallentamento non sia una proprietà del moto ma piuttosto dell’interazione tra il corpo ed il piano su cui esso è poggiato. Se eliminassimo del tutto questa interazione accadrebbe allora che Un corpo su cui non agisce alcuna azione esterna o sta fermo o si muove a velocità costante Questo risultato costituisce il contenuto del primo principio della dinamica o principio d’inerzia, come enunciato da Newton. Corso di Fisica 20

Il primo principio della dinamica Nell’enunciato di Newton manca del tutto il sistema di riferimento rispetto cui sono misurate le grandezze per cui oggi si considera un enunciato leggermente più complesso: Primo principio della dinamica: Il sistema di riferimento nel quale un corpo non soggetto ad azioni esterne o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme viene detto sistema di riferimento inerziale Corso di Fisica 21

Il sistema di riferimento inerziale Come abbiamo visto il primo principio della dinamica viene utilizzato per definire un particolare sistema di riferimento detto inerziale. Il riferimento inerziale per eccellenza viene rappresentato dal cosiddetto sistema delle stelle fisse. Per costruirlo consideriamo tre stelle nel cielo, tra quelle che appaiono fisse nelle loro posizioni stellari e attraverso esse facciamo passare tre assi tra di loro perpendicolari. Il sistema così costituito è un sistema di riferimento inerziale. Corso di Fisica 22

Altri sistemi di riferimento inerziale Per gli usi più comuni il sistema delle stelle fisse è scomodo da usare e pertanto diviene interessante vedere se ne esistono altri. Consideriamo un sistema di riferimento (che indicheremo con le lettere greche Wxhz) che sia fermo o si muova di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema delle stelle fisse. Per passare da un riferimento all’altro abbiamo: Corso di Fisica 23

Trasformazioni galileane Per gli usi più comuni il sistema delle stelle fisse è scomodo da usare e pertanto diviene interessante vedere se ne esistono altri. Consideriamo un sistema di riferimento (che indicheremo con le lettere greche Wxhz) che sia fermo o si muova di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema delle stelle fisse. Per passare da un riferimento all’altro abbiamo: dette Trasformazioni galileane Corso di Fisica 24

Moto di un punto in un altro riferimento Consideriamo ora un corpo P che, non essendo sottoposto a forze, o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema latino (inerziale) e quindi rispetto al sistema greco Corso di Fisica 25

Moto di un punto in un altro riferimento Quest’ultima formula si può scrivere come E di conseguenza il punto P sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme anche rispetto al sistema greco che, in base alla definizione, è pertanto anch’esso un sistema di riferimento inerziale. Possiamo allora dire che: Un riferimento che sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un riferimento inerziale è anch’esso un sistema di riferimento inerziale. Corso di Fisica 26

Il sistema di riferimento del laboratorio Il sistema di riferimento più semplice da utilizzare e quindi quello che comunemente si utilizza è il cosiddetto Sistema di riferimento del laboratorio Questo sistema di riferimento è costruito utilizzando tre assi solidali con il locale nel quale si sviluppa l’esperimento. Per costruzione questo riferimento è solidale con la Terra e pertanto ruota rispetto a quello delle stelle fisse non essendo pertanto un riferimento inerziale. Se però si tratta di fenomeni che durano al massimo qualche minuto è possibile trascurare la rotazione della Terra e quindi il sistema del laboratorio diviene approssimativamente inerziale. Corso di Fisica 27

La definizione di forza Il problema che ora di dobbiamo porre è quello di capire cosa accade quando sul corpo viene esercitata una azione esterna. Dapprima iniziamo col capire cosa intendiamo per azione esterna. Consideriamo un corpo tenuto fermo da un vincolo ed esercitiamo su di esso una azione. Possiamo osservare che in questo caso il corpo inizia a deformarsi e possiamo allora definire una nuova grandezza fisica: La forza è l’ente fisico che deforma i corpi Il vantaggio di questa definizione, oltre a chiarire in maniera univoca cosa sia una forza, è che essa fornisce direttamente uno strumento per misurare l’intensità della forza Corso di Fisica 28

La misura della forza Consideriamo un corpo ed applichiamo su di esso una forza misurando la deformazione da esso subita. Risulta che F = F(x) dove x è la deformazione ed F la forza deformante. Possiamo allora prendere un corpo e stabilire su di esso una scala di misura della deformazione da cui deduciamo la misura della forza. Nel sistema MKS l’unità di misura della forza è il newton (N) Nel sistema tecnico, invece, l’unità di misura della forza è il kilogrammo (kg) Corso di Fisica 29

La causa della variazione di stato di moto Consideriamo un corpo tenuto fermo da un vincolo ed esercitiamo su di esso una forza. Sappiamo che, per definizione di forza, il corpo si deforma Possiamo però notare che se eliminiamo il vincolo il corpo inizia a muoversi, ovvero varia il suo stato di moto, e che ciò accade qualunque sia il tipo di azione esercitato, purchè appartenente alla categoria delle grandezze fisiche che deformano un corpo. Accade inoltre che l’applicazione di una forza su un corpo non vincolato è l’unico modo di mettere in moto il corpo stesso. Possiamo concludere affermando che la forza è la causa della variazione di stato di moto del corpo Corso di Fisica 30

Il secondo principio della dinamica Possiamo ora enunciare il Secondo principio della dinamica: In un sistema di riferimento inerziale un corpo soggetto ad una forza si muoverà con un’accelerazione proporzionale alla forza stessa. Il coefficiente di proporzionalità prende il nome di massa: F = m a Corso di Fisica 31

Il terzo principio della dinamica Enunciamo infine il Terzo principio della dinamica: Se un corpo A esercita una forza su un corpo B allora questo corpo B eserciterà sul corpo A una forza di uguale intensità e direzione ma verso opposto FAB = - FBA Questo principio viene anche detto di azione e reazione Corso di Fisica 32

Il problema fondamentale della dinamica   Corso di Fisica 33

La soluzione generale della dinamica   Corso di Fisica 34

La forza peso Una delle forze più comuni con le quali si ha a che fare è la forza peso, ovvero la forza che agisce su ogni corpo dotato di massa a causa della sua interazione con la Terra. In formula si scrive F = m g dove con g si indica una costante del valore di g = 9.81 m/s2 e che prende il nome di accelerazione di gravità. La direzione di questa forza è, per definizione, la verticale ed è sempre diretta verso il basso. Corso di Fisica 35

La variabilità della forza peso Se si considera un corpo particolare e si va a misurare la forza peso agente su di esso in vari punti della Terra si osserva che essa non è costante ma varia leggermente, ad esempio diminuisce leggermente quando si sale di quota. Ciò accade perché l’accelerazione di gravità non è una costante ma cambia da punto a punto a causa della struttura irregolare della Terra, sia in forma che in composizione. Vedremo successivamente che la forza peso non è altro che un caso particolare della forza di attrazione gravitazionale, nell’approssimazione detta terrestre, ovvero in cui ci si limita ad analizzare un piccolo volume intorno alla nostra posizione. Nella stessa approssimazione la superfice della terra può essere considerata piana. Corso di Fisica 36

Moto di un corpo soggetto a forza costante Iniziamo col considerare un moto abbastanza semplice. Supponiamo di avere un corpo soggetto ad una forza costante, ad esempio la forza peso. Per analizzare il fenomeno consideriamo un sistema di assi tale che i due vettori velocità iniziale e forza giacciano nel piano xy. Il terzo asse del sistema di riferimento diviene allora inutile poiché il moto si svolge solo nel piano xy e può pertanto essere rappresentato in due sole dimensioni. Corso di Fisica 37

Velocità per corpi soggetti a forza costante Definiamo pertanto i vettori   Avendo determinato le accelerazioni iniziamo col ricavare le velocità:   Corso di Fisica 38

Posizione per corpi soggetti a forza costante E di conseguenza le equazioni orarie sono   Possiamo concludere che un corpo su cui agisce una forza costante si muove, rispetto ad un riferimento inerziale, di un moto la cui traiettoria è costituita da una parabola. Si parla in questo caso di un moto uniformemente accelerato. Corso di Fisica 39