Codifica binaria dell’informazione Process synchronization Operating System Codifica binaria dell’informazione Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 11 Marzo 2014 © 2005 William Fornaciari

Un obiettivo per domarli tutti…

Uno dei problemi…

Obiettivi Rappresentazione dell’informazione Da decimale a binario Contiamo con i numeri binari Limiti della rappresentazione Complemento a due

Chi ha “inventato” il bit? Codifica binaria Chi ha “inventato” il bit? Claude Shannon nel 1948 nel paper: “A Mathematical Theory of Communication”

Codifica binaria Alfabeto binario: usiamo dispositivi con solo due stati Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito (e.g. studenti) Quanti oggetti posso codificare con k bit: 1 bit  2 stati (0, 1)  2 oggetti (e.g. Vero/Falso) 2 bit  4 stati (00, 01, 10, 11)  4 oggetti 3 bit  8 stati (000, 001, …, 111)  8 oggetti … k bit  2k stati  2k oggetti Quanti bit mi servono per codificare N oggetti: N ≤ 2k  k ≥ log2N  k = log2N (intero superiore) Attenzione: ipotesi implicita che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza

Esempio di codifica binaria DiP - Sistemi Informativi Esempio di codifica binaria 4/18/2017 Problema: assegnare un codice binario univoco a tutti i giorni della settimana Giorni della settimana: N = 7  k ≥ log27  k = 3 Con 3 bit possiamo ottenere 8 diverse configurazioni: Ne servono 7, quali utilizziamo? Quale configurazione associamo a quale giorno? Attenzione: ipotesi che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza La formalizzazione dell'informazione

I giorni della settimana in binario (1) DiP - Sistemi Informativi I giorni della settimana in binario (1) 4/18/2017 000 00 Lunedì Lunedì Lunedì Martedì 001 Lunedì Martedì Martedì Giovedì 010 Domenica Mercoledì Giovedì 01 Mercoledì Sabato Martedì Mercoledì 011 Giovedì 100 Venerdì Sabato Venerdì Sabato 10 Mercoledì Domenica Venerdì 101 1 Sabato Venerdì Giovedì 110 Domenica Domenica 11 111 1 bit 2 “gruppi” 2 bit 4 “gruppi” 3 bit 8 “gruppi” La formalizzazione dell'informazione

I giorni della settimana in binario (2) DiP - Sistemi Informativi I giorni della settimana in binario (2) 4/18/2017 000 00 Lunedì Giovedì 001 Giovedì Martedì Giovedì 010 Domenica Sabato 01 Sabato Martedì Sabato Martedì 011 Sabato Martedì 100 Venerdì Domenica Domenica Domenica 10 Mercoledì Mercoledì 101 1 Mercoledì Mercoledì Venerdì Giovedì 110 Venerdì Venerdì 11 Lunedì Lunedì 111 Lunedì 1 bit 2 “gruppi” 2 bit 4 “gruppi” 3 bit 8 “gruppi” La formalizzazione dell'informazione

Stampa dei caratteri

Quale è il codice ASCII di ‘a’? Ma quindi, quanto vale ‘a’? 97, 353, 609 Siamo sicuri? 97, 353=97+256, 609=353+256=97+256+256 97 = 97 + 256*0 353 = 97+256*1 609 = 97+256*2

97+256*i… quindi… Quanti caratteri ci sono? Con quanti bit rappresento 256 numeri? log2256 = log228 = 8

Codifica binaria dei caratteri DiP - Sistemi Informativi 4/18/2017 Quanti sono gli oggetti compresi nell’insieme? 26 lettere maiuscole + 26 minuscole  52 10 cifre Circa 30 segni d’interpunzione Circa 30 caratteri di controllo (EOF, CR, LF, …) circa 120 oggetti complessivi  k = log2120 = 7 Codice ASCII: utilizza 7 bit e quindi può rappresentare al massimo 27=128 caratteri Con 8 bit (= byte) rappresento 256 caratteri (ASCII esteso) Si stanno diffondendo codici più estesi (e.g. UNICODE) per rappresentare anche i caratteri delle lingue orientali La formalizzazione dell'informazione

DiP - Sistemi Informativi ASCII su 7 bit 4/18/2017 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 010 sp ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ? 100 @ A B C D E F G H I J K L M N O 101 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ 110 ` a b c d e f g h j k l m n o 111 p q r s t u v w x z { | } ~ canc La formalizzazione dell'informazione

bit, Byte, KiloByte, MegaByte, … DiP - Sistemi Informativi bit, Byte, KiloByte, MegaByte, … 4/18/2017 bit = solo due stati, “0” oppure “1”. Byte = 8 bit, quindi 28 = 256 stati KiloByte [KB] = 210 Byte = 1024 Byte ~ 103 Byte MegaByte [MB] = 220 Byte = 1'048'576 Byte ~ 106 Byte GigaByte [GB] = 230 Byte ~ 109 Byte TeraByte [TB] = 240 Byte ~ 1012 Byte PetaByte [PB] = 250 Byte ~ 1015 Byte ExaByte [EB] = 260 Byte ~ 1018 Byte La formalizzazione dell'informazione

Da Hobbit a Hobbyte

Da base 10 a base 2 Dato un numero K rappresentato in base dieci, la sua rappresentazione in base due sarà del tipo bn bn-1bn-2 … b1b0 bi: cifra binaria Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero K per due

Da base 10 a base 2 Esempio: il numero 610: 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 610 è 1102 Per una corretta verifica basta riconvertire il risultato alla base 10 Cioè, calcolare 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

Da base 10 a base 2 Perché 1102 = 610 ? 6/2 = 3 resto 0 0 x 20 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 1 x 21 + 1 x 20 con resto 0 2 1 x 21 + 1 x 20 = 1 x 20 con resto 1 1 x 20 = 0 con resto 1

Da base 10 a base 2 Esempio: il numero 34510: 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto Larappresentazione binaria del numero 34510 è 1010110012

Altre basi: ottale, esadecimale Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8 Esempio: 1038 = 1 x 82 + 0 x 81 + 3 x 80 = 67 Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16 Esempio: 10316 = 1 x 162 + 0 x 161 + 3 x 160 = 259 Esempio: AC416 = 10 x 162 + 12 x 161 + 4 x 160 = 2756

Operazioni su numeri binari Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1

Operazioni su numeri binari Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1 Esempi: 1 + 1 = 1 0 1 0 1 + 1 1 = 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 = 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 + 1 1 = 1 0 1 0

Codici a lunghezza fissa Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10: 9999 In base 2: 1111 (=1510) In base 16: FFFF (=6553510) In base 8: 7777 (=409510)

Il fattoriale Dato n, intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero. In formule Nota: 0! = 1 1! = 1 2! = 2, 3! = 6,…

Il fattoriale: codice

Proviamo ad eseguirlo… WAT

Codici a lunghezza fissa Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre In base 10: 9999 + 1 = 1000010 In base 2: 1111 + 1 = 100002 (=1610) In base 16: FFFF + 1 = 1000016 (=6553610) In base 8: 7777 + 1 = 100008 (=409610)

Codici a lunghezza fissa In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come bN – 1 Esempio: N=4 In base 10: 9999 = 104 - 1 In base 2: 1111 = 24 - 1 In base 16: FFFF = 164 - 1 In base 8: 7777 = 84 - 1

Codici a lunghezza fissa Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: 5 + 4 = 9 (in sistema decimale) abbiamo usato solo una cifra decimale per il risultato Ricordiamo: 510 = 1012, 410 = 1002 1 0 1 + 1 0 0 = 1 0 0 1 Errore: overflow (non può essere codificato 910 = 10012 con tre bit) (in sistema binario)

Rappresentazione dei numeri Possiamo rappresentare i numeri usando un numero variabile di cifre (che dipende dal valore che si vuole rappresentare) Come? Introduciamo un simbolo speciale che indica dove termina la rappresentazione di un numero e inizia quella del numero successivo Esempio: 1001#11#1 (codice a lunghezza variabile, # separatore) Esistono anche “codici di espansione”, che permettono di definire dei codici a lunghezza variabile senza far uso del carattere di separazione

Rappresentazione dei numeri In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio “complemento a due” per rappresentare i numeri negativi

Numeri negativi Si può pensare di usare un bit per il segno “0” identifica “+” “1” identifica “-” Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero [-22+1, 22-1] [0, 23-1] -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

Numeri negativi - problemi Con 3 bit avremo: Problemi: Il numero 0 ha due rappresentazioni Per l’operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -0 101 -1 110 -2 111 -3 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 = (-3) 1 1 0 1 (-5 ERRATO)

Il fattoriale: codice

Proviamo ad eseguirlo… int sono interi con segno

Il fattoriale: unsigned int

Proviamo ad eseguirlo… Ora solo overflow

Numeri negativi: Complemento a due Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (01,10) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente

Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione): La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero –5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5

Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo

Complemento a due Esempio: 1011 Si esclude il primo bit Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5 Il risultato è quindi -5

Complemento a due Con 3 bit avremo: Esempi di addizione: 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 = (-5) 1 1 0 1 (-3) 0 1 1 1 + (+7) 0 0 1 0 (+2) Nel secondo esempio, l’overflow è ignorato 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -4 101 -3 110 -2 111 -1

Exe 1: Codifica dell’informazione Quanti bit si devono utilizzare per rappresentare 300 informazioni distinte? Quanti byte occupa la parola “psicologia” se la si codifica utilizzando il codice ASCII? Dati 12 bit per la codifica, quante informazioni distinte si possono rappresentare?

Exe 2: Codifica dei suoni Quanto spazio occupa un suono della durata di 30 secondi campionato a 100 Hz (100 campioni al secondo), in cui ogni campione occupa 4 byte?

Exe 3: Codifica dei numeri Codificare il numero 17510 nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: 10510 , 128 , 1001100002 , 1001110 Codificare il numero negativo –1510 nella rappresentazione in complemento a due

Exe 4: Codifica delle immagini Quanti bit occupa un’immagine di 100 x 100 pixel in bianco e nero? Quanti byte occupa un’immagine di 100 x 100 pixel a 256 colori? Se un’immagine a 16777216 di colori occupa 2400 byte, da quanti pixel sarà composta?

Fonti per lo studio + Credits Informatica arte e mestiere, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, McGrawHill Capitolo 11 Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 The Art & Craft of Computing, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, Addison-Wesley Capitolo 13 Credits P. Spoletini J. Sproston