ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA (ultima modifica 01/10/2012) Prima di definire le grandezze di base e le costanti universali del modello elettromagnetico per poter sviluppare i vari temi dell’elettromagnetismo, si intende richiamare le regole fondamentali delle operazioni dell’algebra e calcolo vettoriale. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Alcune grandezze elettromagnetiche sono: scalari: cariche, corrente e energia, altre sono vettoriali: come l’intensità del campo elettrico e magnetico. Entrambe possono essere funzioni del tempo e della posizione spaziale (o punto). Per un tempo e un punto dati: una grandezza scalare è completamente definita dalla sua ampiezza, espressa da un numero positivo o negativo nella unità di misura relativa. una grandezza vettoriale richiede la definizione della sua ampiezza , direzione , verso e punto di applicazione o di definizione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Per specificare la direzione di un vettore nello spazio tridimensionale sono necessari tre valori numerici che dipendono dalla scelta del sistema di coordinate : sistema di coordinate cartesiane sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche. La scelta del sistema di coordinate è legato alle caratteristiche geometriche del problema che si sta esaminando. Le espressioni generali delle leggi e teoremi riguardanti l’elettromagnetismo sono indipendenti dal sistema di coordinate adottato. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Algebra vettoriale Una grandezza vettoriale può essere scritta come: dove è il vettore di dimensioni unitarie avente la stessa direzione e verso di e è l’ampiezza o modulo di Graficamente: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Somma di due vettori e : Può essere ottenuta: con la regola del parallelogramma (parallelogram rule) con la regola del testa-coda (head-to-tail rule) Per la somma valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà assocciativa: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA La differenza di due vettori può essere definita come la somma del primo vettore più il vettore opposto del secondo: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Prodotto di Vettori Prodotto di un vettore per uno scalare positivo: L’ampiezza di cambia di k volte, mentre la direzione e il verso rimangono invariate. Il prodotto tra due vettori può essere di due tipi: prodotto scalare o prodotto vettoriale. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Il prodotto scalare ( scalar or dot product) tra due vettori: è uno scalare pari al prodotto delle ampiezze di e di per il coseno dell’angolo più piccolo tra e che risulta minore di 180°. Esso è positivo per < 90° negativo per > 90° nullo per = 90° (vettori perpendicolari) ed è uguale al prodotto della ampiezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore nella direzione del primo. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Evidentemente si ha che: Per il prodotto valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà distributiva: Inoltre risulta non definibile il prodotto scalare: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Il prodotto vettoriale ( vector or cross product) tra due vettori: è un vettore perpendicolare al piano contente i vettori e la cui ampiezza è pari a numericamente uguale all’area del parallelogramma formato dai vettori e Il verso e la direzione sono deducibili con la regola della mano destra M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Per il prodotto vettoriale non è valida la proprietà commutativa: vale la proprietà distributiva: non è valida la proprietà associativa: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori: Prodotto triplo scalare: Prodotto triplo vettoriale: ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA M. Usai

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Sistemi di coordinate Nello spazio bidimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di due linee. Nello spazio tridimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di tre piani. Quando le tre superfici sono perpendicolari tra di loro il sistema è chiamato sistema a coordinate ortogonali e i vettori unitari nelle tre direzioni delle coordinate sono chiamati vettori base. Tra i diversi sistemi di coordinate ortogonali, i più comuni sono: sistema di coordinate cartesiane o rettangolari sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

Sistema di coordinate cartesiane o rettangolari Un punto P(x1, y1, z1) in coordinate cartesiane è l’intersezione di tre piani specificati da: x = x1 , y = y1 e z = z1, I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: z x y x1 y1 z1 P(x, y, z) az ay ax M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Un vettore in coordinate cartesiane può essere scritto come: Il prodotto scalare di due vettori e è: Il prodotto vettoriale di due vettori e è: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA In coordinate cartesiane una lunghezza differenziale è espressa da: una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA M. Usai

Sistema di coordinate cilindriche In coordinate cilindriche un punto P(r1, 1, z1) è l’intersezione di una superficie cilindrica r = r1 con un semipiano contenente l’asse z, che forma un angolo  = 1 con il piano xz e un piano parallelo al piano xy per z = z1. P(r1, 1, z1) 1 r1 z1 z y x az a ar M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: Un vettore in coordinate cilindriche può essere scritto come In coordinate cilindriche una lunghezza differenziale è espressa da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA In coordinate cilindriche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Le relazioni tra le componenti di un vettore in coordinate cilindriche a coordinate cartesiane: Le formule di conversione dalle coordinate cilindriche alle coordinate cartesiane e inverse sono: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

Sistema di coordinate sferiche In cord. c. un punto P(R1, 1, 1) è definito dalla intersezione di: una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R = R1 con un cono circolare con il vertice nell’origine degli assi e l’asse coincidente con l’asse z e un semiangolo pari a =1, e un semipiano contenente l’asse z con un semipiano contenente l’asse z, che forma con il piano xz un angolo  = 1. 1 R1 1 P(R1, 1, 1) aR a a x z y M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: Un vettore in coordinate sferiche può essere scritto come In coordinate sferiche una lunghezza differenziale è espressa da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA In coordinate sferiche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA Le formule di conversione dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane e inverse sono: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

Integrali contenenti funzioni vettoriali Nell’elettromagnetismo sono utilizzati integrali che contengono funzioni vettoriali del tipo: integrale volumetrico di un vettore che si risolve scomponendo da prima la grandezza vettoriale nelle sue tre componenti relative al sistema di coordinate adottato e facendo la somma dei tre integrali scalari. integrale lineare di una grandezza scalare dove V è una funzione scalare e è un incremento differenziale di lunghezza e C è il percorso di integrazione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA In coordinate cartesiane: è un integrale lineare di un vettore nel quale l’integrando rappresenta la componente del vettore nella direzione del percorso di integrazione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA