MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com facebook

Rendite certe Operazioni finanziarie con una data periodicità: affitti, pensioni, compravendite a rate, cedole di obbligazioni etc. etc. Si chiama rendita una successione di capitali da riscuoter (o da pagare) a scadenze determinate Rate della rendita sono i singoli capitali esigibili (o da pagare) alle diverse scadenze La rendita si dice periodica se l’intervallo tra rate successive è costante

Rendite certe Nel caso periodico l’intervallo tra due rate successive è detto periodo Il pagamento delle rate può avvenire all’inizio o alla fine di ciascun periodo: rendite anticipate o posticipate Numero di rate finito => rendita temporanea Numero di rate infinito => rendita perpetua Rendita costante => tutte le rate sono uguali Rendita variabile => rate diverse Rendita unitaria => rate di valore unitario

Rendite certe t=0 t=n t=1 t=2 R1 R2 Rn

Rendite certe Valore di una rendita Dato un istante t quale è il valore della rendita in quell’istante Tutte le rate vanno riportate all’istante t attraverso fattori di attualizzazione e/o capitalizzazione È necessario stabilire un regime finanziario ed una legge finanziaria (tasso i) Il valore della rendita non ha un carattere oggettivo

Rendite certe Valore di una rendita Tempo: scelte standard nell’istante iniziale (t0) o in quello finale (tn) Rendita anticipata => in t0 si paga la prima rata Rendita posticipata => in tn si paga l’ultima rata Si chiama Montante della rendita il valore nell’istante tn Si chiama valore attuale della rendita il valore nell’istante t0

Rendite certe Valore di una rendita Si parla di rendita differita quanto il tempo di valutazione t è antecedente t0 => differita di t0-t Rendita immediata se t0=t Una rendita posticipata immediata è equivalente ad una rendita anticipata differita di un periodo

Rendite certe Valore attuale di una rendita immediata posticipata t=0 t=n t=1 t=2 R1 R2 Rn v(1) v(2) v(n) Montante di una rendita immediata posticipata t=0 t=n t=1 t=2 R1 R2 Rn r(n-1) r(n-2)

Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) Regime dell’interesse composto Ci riferiamo a rendite unitarie (nel caso di rate costanti) Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata, di durata n anni Basta sommare i valori attuali delle singole rate

Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) La prima rata viene pagata dopo un anno esatto quindi va attualizzata per un periodo La seconda rata va attualizzata per 2 anni L’ultima rata va attualizzata per n anni

Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) => il valore attuale della rendita sarà la somma di tutti i valori attuali delle singole rate

Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) Se sostituiamo

Rendite certe Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) Si vede facilmente che è funzione crescente di n e decrescente di i Ovviamente se la rendita è costante ma le rate non sono uguali a 1 ma ad R qualunque il valore attuale sarà

Rendite certe Rendite costanti temporanee Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata, di durata n anni e differita di t anni Che equivale a calcolare il valore attuale nell’istante di inizio della rendita e anticiparlo di t anni

Rendite certe Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni Poiché calcoliamo il montante dobbiamo capitalizzare invece che anticipare La prima rata va capitalizzata per n-1 anni, la seconda n-2 ….. l’ultima per 0 anni t=0 t=n t=1 t=2 R1 R2 Rn r(n-1) r(n-2)

Rendite certe Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni In formule:

Rendite certe Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n anni In formule: t=0 t=n R1 t=1 t=2 R2 R3 Rn

Rendite certe Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata, di durata n anni e differita di t anni In formule:

Rendite certe Rendite frazionate Valore attuale di n annualità unitarie, ciascuna frazionata in m rate uguali posticipare t=0 t=n t=1/m t=2/m 1/m

Rendite certe Rendite frazionate Possiamo valutarla considerando il tasso d’interesse i1/m e il fattore di sconto associato v1/m. Bisogna tenere conto che ora ci sono n*m rate di valore 1/m:

Rendite certe Rendite perpetue Possiamo considerare un a rendita perpetua come limite di una rendita temporanea Non possiamo valutare il montante (non è definito l’istante finale) Vediamo il valore attuale di una rendita perpetua posticipata immediata unitaria annua

Rendite certe Rendite continue Valore attuale di una rendita continua costante unitaria annua immediata di durata n anni È il caso limite della rendita frazionata al tendere di m all’infinito. La consideriamo unitaria nel senso che la somma delle rate in un anno vale 1

Rendite certe Rendite continue Da cui si ottiene Avendo usato le seguenti relazioni

Rendite certe Rendite variabili Nel caso di rendite variabili (con rate non costanti) la sommatoria non si può fare senza sapere il valore specifico di ogni rata =>

Rendite certe Determinazione della durata Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà Supponiamo di conoscere tutto tranne la durata => possiamo invertire la formula per trovare n

Rendite certe Determinazione della durata

Rendite certe Determinazione del tasso Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà Supponiamo di conoscere tutto tranne il tasso d’interesse praticato => è meglio ragionare con l’equazione scritta in questo modo:

Rendite certe Determinazione del tasso Per trovare il tasso i di valutazione bisogno trovare gli zeri di un polinomio di grado n nell’incognita v e poi trovare i dalla relazione v=(1+i)-1 In generale non si trova una soluzione in modo analitico ma si cerca numericamente => metodo delle approssimazioni successive