MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com

Problemi base della matematica finanziaria Fattore tempo: una somma a disposizione oggi è diversa dalla stessa somma a disposizione tra 1 anno Avere a disposizione una somma oggi può essere fonte di ricchezza I parte del corso: somme certe disponibili in tempi diversi Confrontare tra loro somme diversi disponibili in tempi diversi II parte del corso: considereremo l’incertezza

Interesse e Montante Operazioni d’investimento Si rinuncia all’istante t0 ad avere a disposizione la somma C (capitale) per recuperare in un tempo t1 una somma M (montante) in generale diversa da C La differenza tra montante prodotto M e capitale impiegato C prende il nome di interesse I → I = M – C (1) In generale I può essere positivo, negativo o nullo

Interesse e Montante Dalla equazione (1) segue banalmente M=C+I (2) Il rapporto tra interesse generato I e capitale impiegato C è detto tasso di interesse o anche tasso di rendimento L’interesse I è proporzionale al capitale impiegato C

Interesse e Montante Il rapporto tra montante M e capitale C prende il nome di fattore di capitalizzazione r Il prodotto tra capitale C e fattore di capitalizzazione r relativo ad una operazione che duri tra t0 e t1 prende il nome di “capitalizzazione di C” tra t0 e t1

Interesse e Montante Preso C>0 N.B. il tasso di interesse i viene espresso in percentuale, ad esempio 5.25% = 0.0525

SCONTO E VALORE ATTUALE Operazione di sconto – anticipazione – attualizzazione  problema inverso: valore attuale (in t0) di una somma disponibile al tempo t1 Sconto D è la differenza tra capitale a scadenza t1 K e la somma P disponibile in t0 D = K – P P = valore attuale (o anticipato o scontato) del capitale K P = K – D Indichiamo con d (tasso di sconto) il rapporto tra sconto e capitale a scadenza

SCONTO E VALORE ATTUALE Il rapporto tra valore attuale P e capitale a scadenza K è detto “fattore di anticipazione” (o attualizzazione o sconto) Il prodotto tra capitale K e fattore di anticipazione ν corrisponde ad una operazione di sconto tra i tempi t1 e t0 P = K – Kd = K(1-d) => ν = 1 – d

SCONTO E VALORE ATTUALE Preso K>0

Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se attraverso un investimento si può trasformare tra t0 e t1 il capitale C nel montante M => avere C in t0 è la stessa cosa che avere M in t1 => C è il valore attuale di M => C ed M sono equivalenti Un credito di K euro esigibile tra un anno può essere scambiato con P euro subito  K in t1 e P in t0 sono equivalenti => K può essere considerato come il montante di P Un’operazione finanziaria determina una relazione di equivalenza tra due somme disponibili in epoche diverse

Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se M è il montante di C allora C è il valore attuale di M ν fattore di anticipazione, r fattore di capitalizzazione

Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se P è il valore attuale di K => K sarà il montante di P I fattori r e ν e i tassi i e d determinati da una medesima operazione si dicono mutuamente corrispondenti, o associati νr=1

Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali ν i= r-1 d/(1-d) (1-ν)/ν r= 1+i 1/(1-d) 1/ν d= i/(1+i) (r-1)/r 1-ν ν= 1/(1+i) 1/r 1-d E’ importante notare la relazione tra tasso d’interesse i e tasso di sconto d = i /(1+i) Questa implica che il tasso di sconto è sempre minore del tasso d’interesse (quando i diverso da zero e i>-1).

Interesse anticipato Operazione elementare di prestito: Operatore “a” presta in t0 a “b” una somma C in cambio della somma M al tempo t1. Visto da “a” si tratta di un normale investimento. “a” presta a “b” la somma M in t0 e “b” paga in t0 (anticipatamente) l’interesse I (=> riceve M-I=C) La stessa operazione può essere vista come prestito di C in t0 con pagamento di I in t1 e restituzione di C in t1 => C + I = M O anche come prestito di M in t0 con pagamento anticipato di I e quindi M-I=C e restituzione quindi di M in t1

Interesse anticipato Quello che cambia è la definizione di tasso d’interesse, uno anticipato e uno posticipato tasso d’interesse anticipato tasso d’interesse posticipato

Interesse anticipato Il tasso d’interesse posticipato è quello definito in precedenza Mentre: È il tasso di sconto se si interpreta C come valore attuale di M iC = r (dC) => l’interesse posticipato è lo sconto capitalizzato dC = ν (iC) => lo sconto è il valore attuale dell’interesse

t0 t1 C M M = r C Operazione di capitalizzazione t0 t1 C M C = ν M Operazione di attualizzazione

Leggi finanziarie ad una e due variabili In generale le grandezze considerato fino ad ora dipenderanno dalla durata t dell’operazione finanziaria: I(t), M(t), D(t), P(t), i(t), d(t), r(t), v(t) Più in generale la dipendenza sarà funzione di due variabili: data di inizio x e data di fine y dell’operazione finanziaria in esame: I(x,y), M(x,y), D(x,y), P(x,y), i(x,y), d(x,y), r(x,y), v(x,y) Devono valere le seguenti condizioni: per una variabile i(0)=d(0)=0; r(0)=v(0)=1; I(0)=D(0)=0; M(0)=C; P(0)=K per due variabili i(x,x)=d(x,x)=0; r(x,x)=v(x,x)=1, I(x,x)=D(x,x)=0; M(x,x)=C; P(x,x)=K Le relazioni tra le grandezze fondamentali continuano a valere e devono essere verificate per ogni t o (x,y)

Leggi finanziarie ad una e due variabili La conoscenza di una qualunque delle 4 funzioni i, r, v, d determina una legge finanziaria Attraverso una legge finanziaria restano determinate le grandezze equivalenti Va notato che l’equivalenza tra grandezze finanziarie non è assoluta ma dipende appunto dalla particolare legge in uso: operatori diversi possono utilizzare leggi diverse

Leggi finanziarie ad una e due variabili Le leggi ad una variabili possono essere ricondotte a leggi a due variabile. In particolare se poniamo t=y-x In casi particolari anche il viceversa è possibile => leggi a due variabili possono essere ricondotte a leggi ad una variabile ponendo y=x+t e se risulta r(x1,x1+t) = r(x2,x2+t)

Leggi finanziarie ad una e due variabili Se r(x,y) è un legge di capitalizzazione derivabile rispetto ad x e y la condizione che permette di scriverla come legge ad una variabile, posto t=y-x, è la seguente: Valgono anche le seguenti proprietà