MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com facebook

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Un operatore A presta ad un operatore B una somma C (ammontare del prestito) che B si impegna a restituire in n anni (durata) L’operatore B si impegna a pagare con modalità prestabilita gli interessi sulla somma C al tasso d’interesse i (tasso di remunerazione) La restituzione del prestito può avvenire in molti modi: C può essere restituito tutto dopo n anni C può essere restituito in rate uguali alla fine di ogni anno Più in generale con il pagamento di n rate diverse C1, C2, … Cn-1, Cn alla fine del primo, del secondo … dell’n–esimo anno

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI L’interesse viene pagato al tasso annuo i Generalmente l’interesse viene pagato con pagamenti periodici (a parte il caso in cui il rimborso viene effettuato tutto a scadenza) La quota d’interesse viene calcolato in base al capitale non ancora restituito (debito residuo) tenendo quindi conto dei rimborsi parziali. Insieme delle specifiche relative ai tempi di rimborso del capitale e dell’interesse prende nome di “piano di rimborso” o “piano di ammortamento”

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Generalmente viene presentato in forma di tabella con una struttura simile alla seguente: Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C1 C∙i Q1=C1+C∙i C(1)=C-C1 2 C2 C(1)∙i Q2=C2+C(1)∙i C(2)=C(1)-C2 3 C3 C(2)∙i Q3=C3+C(2)∙i C(3)=C(2)-C3 … n Cn C(n-1)∙i Qn=Cn+C(n-1)∙i C(n)=0

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI La quota capitale sta ad indicare quella parte di capitale che viene restituita ogni anno. L’abbiamo indicata con Ck. Vale la relazione: Notiamo che posso essere anche tutte nulle tranne l’ultima

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Abbiamo indicato con C(k) il debito ancora da restituire (debito residuo). Vale la relazione Ovviamente per poter restituire tutto il capitale alla fine dell’n-esimo anno la quota capitale Cn deve essere uguale al debito residuo C(n-1) e quindi il debito residuo alla fine dell’n-esimo anno deve essere nullo C(n) = 0

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il debito residuo è uguale alla somma delle quote capitali ancora da pagare => Se supponiamo i tasso annuo d’interesse e pagamenti dell’interesse alla fine di ogni anno la quota interesse sarà data dal debito residuo per il tasso d’interesse i => per il primo anno Ci, secondo anno C(1)∙i ……

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI La somma tra quota capitale e quota interessi si chiama annualità o rata L’ammortamento è detto immediato se decorre da subito, altrimenti viene detto differito Vediamo ora alcuni tipi di ammortamento

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Prestito di un capitale rimborsabile a scadenza È il caso più semplice => il capitale viene rimborsato tutto a scadenza dopo n anni Il piano di ammortamento ha questa forma: Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C∙i C 2 3 … n C∙i + C

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il caso più generale di quote capitali C1, C2 … Cn può essere visto come n prestiti elementari come quello appena visto di ammontare C1, C2 … Cn e scadenze dopo 1 anno, 2 anni … n anni => 1 anno C1 Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C1 C1∙i C1+ C1i

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI 2 anno, C2 …… n-esimo anno, Cn Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C2∙i C2 2 C2+ C2i Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 Cn∙i Cn 2 3 … n Cn∙i + Cn

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI E quindi se sommiamo tutti i piani abbiamo quello generale (C=C1+C2+…+Cn) Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C1 C∙i C1+C∙i C(1)=C2+…+Cn 2 C2 C(1)∙i C2+C(1)∙i C(2) =C3+…+Cn 3 C3 C(2)∙i C3+C(2)∙i C(3) =C4+…+Cn … n Cn C(n-1)∙i Cn+C(n-1)∙i

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il valore attuale, nell’istante iniziale del prestito, di tutte le annualità previste dal piano calcolato nel regime dell’interesse composto e in base al tasso annuo i coincide con il valore C del capitale prestato Nel caso di rimborso a scadenza

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Notiamo che se l’investitore riesce ad investire il capitale C preso in prestito al tasso i (quindi allo stesso tasso di remunerazione) allora l’operazione finanziaria è in pareggio. In qualunque istante, il montante (sempre al tasso i) del capitale ricevuto in prestito, meno quello delle rate già pagate, uguaglia il valore attuale delle rate ancora da pagare.

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento progressivo con rate costanti (ammortamento alla francese) Le rate sono tutte uguali e valgono R Il debitore deve pagare una rendita immediata annua posticipata costante t=0 t=n t=1 t=2 R

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese Se i è il tasso del prestito è facile trovare il valore della rata, infatti => Allo stesso modo il debito residuo alla fine dell’h-esimo anno sarà

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese Vediamo cosa succede all’n-esimo anno Quindi la quota capitale dell’n-esimo anno è uguale al valore della rata scontato

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese Poiché le rate sono costanti dobbiamo anche avere: E quindi, poiché il debito residuo al (k-1)-esimo anno è uguale al debito residuo al k-esimo anno più la quota capitale dello stesso anno, abbiamo

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese E quindi la quota capitale può essere scritta Riassumendo tutto in un piano di ammortamento Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 Rvn R(1-vn) R 2 Rvn-1 R(1-vn-1) 3 Rvn-2 R(1-vn-2) … n Rv R(1-v)

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con quote capitali costanti (italiano) In questo piano di ammortamento il prestito viene restituito con quote capitali costanti => C/n Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo 1 C/n Ci C/n+Ci=(1+ni)C/n C-C/n=(n-1)C/n 2 i(n-1)C/n (1+(n-1)i)C/n (n-2)C/n 3 i(n-2)C/n (1+(n-2)i)C/n (n-3)C/n … n iC/n (1+i)C/n

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) Gli interessi vengono corrisposti all’inizio di ogni periodo => non è un piano diverso ma una variante di quelli precedenti Si può usare sia per il rimborso a scadenza che per quello francese che per quello italiano

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) Vediamolo nel caso di rimborso a scadenza La prima rata sarà uguale al valore della rata nel caso posticipato ma anticipato di un periodo => Da cui segue facilmente il piano

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) Anno Quota capitale Quota interessi Rata Debito residuo C∙d C 1 2 n-1 n

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) L’ammortamento con interessi anticipati equivale a quello con interessi posticipati se si considera di ricevere in prestito in capitale C-Cd

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Estinzione anticipata Supponiamo che passati un numero di anni t, degli n previsti dal rimborso di un prestito, si voglia terminare il piano estinguendo il debito Se t non coincide con il pagamento di una rata il debitore dovrà pagare gli interessi sul debito residuo dall’ultima scadenza fino a t Per quanto riguarda la quota capitale non è detto che sia sufficiente restituire semplicemente il debito residuo: vediamo perchè

AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Estinzione anticipata Vanno distinti due casi in funzione del tasso d’interesse j valido al momento dell’estinzione che in generale sarà diverso dal tasso i di remunerazione. i<j la restituzione conviene al creditore e non al debitore i>j la restituzione conviene al debitore e non al creditore