Algebra binaria Luglio 2002 Luglio 2002 Algebra binaria

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE Nel calcolo manuale le grandezze numeriche vengono rappresentate con simboli grafici per la rappresentazione delle varie cifre. Nel calcolo automatico esse saranno costituite da “enti” riconoscibili e riproducibili dalle apparecchiature impegnate (esempio le diverse tensioni in un circuito, presenza di diverse configurazioni di fori in aree preassegnate in una certa zona di una superficie di carta) Luglio 2002 Algebra binaria

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE (Cont.1) Nei sistemi fisici utilizzati per la rappresentazione convenzionale di numeri, si impiegano dispositivi che possono trovarsi solo in 2 diverse configurazioni (per motivi di semplicità e sicurezza). Dobbiamo quindi definire un sistema di numerazione binario e un’algebra binaria. Luglio 2002 Algebra binaria

I NUMERI NATURALI Sequenze delle 10 cifre (0,1…9) Indo - Arabici (furono introdotti in Europa dagli Arabi nel Medio Evo) In base 10 Posizionali (non addittivi) Luglio 2002 Algebra binaria

NUMERI NATURALI (Cont.1) 1728 = 8 * 100 + 2 * 101 + 7 * 102 + 1 * 103 In generale un numero naturale XD di m+1 cifre può essere rappresentato dalla sequenza Xm Xm-1 ……… X1 X0 Ed è dato dalla seguente formula m Xd=x0 * 100 + x1 * 101 + ……+ xm-1 * 10 m-1 + xm * 10m =  x i * 10i i =o Luglio 2002 Algebra binaria

ESEMPI DI CONVERSIONE A BASE DECIMALE Nel sistema binario le cifre sono 0 e 1 (La numerazione binaria, già nota agli antichi cinesi, è stata oggetto di studi di Nepero [“Aritmetica Locale”] di F. Bacone e specialmente di Leibniz, che introdusse le notazioni tuttora in uso) 1011012 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = = 1 + 4 + 8 + 32 = 4510 Nel sistema ottale le cifre sono 01234567 2578 = 7*80 + 5*81 + 2*82 = 7 + 40 + 128 = 17510 Nel sistema esadecimale (base 16) le cifre sono 0123456789ABCDEF A4F16 = 15*160 + 4*161 + 10*162 = 15 + 64 + 2560 = 263910 Luglio 2002 Algebra binaria

Conversione da decimale a base diversa 169 : 2= 84 con resto di 1 84 : 2= 42 con resto di 0 42 : 2= 21 con resto di 0 21 : 2= 10 con resto di 1 10 : 2= 5 con resto di 0 5 : 2= 2 con resto di 1 2 : 2= 1 con resto di 0 1 : 2= 0 con resto di 1 16910 = 101010012 Verifica: 1*20 + 1*23 + 1*25 + 1*27 = 1+8+32+128 = 169 Conversione da binario a ottale ed esadecimale 10101001 2 = 010101001 2 Corrisponde a A916 2518 Luglio 2002 Algebra binaria

SISTEMA DI NUMERAZIONE I PRIMI 16 NUMERI IN BASE 10,2,8,16 SISTEMA DI NUMERAZIONE decimale binario ottale esadecimale 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F Luglio 2002 Algebra binaria

I NUMERI NEGATIVI Sign Magnitude One’s Complement Two’s Complement 000 = +0 000 = +0 000 = +0 001 = +1 001 = +1 001 = +1 010 = +2 010 = +2 010 = +2 011 = +3 011 = +3 011 = +3 100 = -0 100 = -3 100 = -4 101 = -1 101 = -2 101 = -3 110 = -2 110 = -1 110 = -2 111 = -3 111 = -0 111 = -1 da – (2m – 1 – 1) a (2m - 1 – 1) da – (2m - 1) a (2m-1 –1) in base 2 con numeri di m cifre Luglio 2002 Algebra binaria

Con 32 bits: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00002 = 010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00012 = + 110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00102 = +210 … 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11102 = +2.147.483.64610 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11112 = +2.147.483.64710 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00002 = -2.147.483.64810 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00012 = -2.147.483.64710 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00102 = -2.147.483.64610 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11012 = -310 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11102 = -210 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11112 = -110 Luglio 2002 Algebra binaria

CAMBIAMENTO DEL SEGNO Fare il complemento a uno (cioè cambiare gli 1 in 0 e viceversa) Sommare 1 nella posizione meno significativa Esempio: opposto di 410 cioè 0000…….0000 0100 1111…….1111 1011 1 1111……1111 1100  -410 ora verifichiamo calcolando nuovamente l’opposto 0000……0000 0011 0000……0000 0100  410 Luglio 2002 Algebra binaria

OPERAZIONI ARITMETICHE SU NUMERI BINARI Le operazioni aritmetiche su numeri binari si eseguono con le usuali regole, tenendo presenti le seguenti tavole di addizione e di moltiplicazione: 0 1 0 1 0 0 1 addizione 0 0 0 moltiplicazione 1 10 1 0 1 1001,11+ 111,10 - 111,1 x 100011:101=111 1100,01= 10,01= 10,01= 101 10110,00 101,01 1111 111 1111 101 10000,111 101 101 - Luglio 2002 Algebra binaria

CIRCUITI DI COMMUTAZIONE Le informazioni sulle quali il calcolatore è chiamato ad operare sono contenute in organi elementari che possono assumere soltanto due stati. x1 Circuito di x2 y=f (x1,x2,…,xn) commutazione xn Il progetto di un calcolatore e la descrizione del suo funzionamento sarebbero compiti ardui, se si facesse costante riferimento alla costituzione fisica dei circuiti. Significativi vantaggi si possono ottenere dai diagrammi a blocchi. Luglio 2002 Algebra binaria

L’ALGEBRA E I CIRCUITI DI COMMUTAZIONE L’applicazione dell’algebra della logica alla schematizzazione di circuiti elettrici di commutazione operanti su segnali binari fu proposta per la prima volta da Shannon in un suo articolo del 1938. I circuiti sono allora schematizzabili per mezzo di formule o per mezzo di diagrammi “logici”. Se un dato circuito fisico adempiente date funzioni è realizzato in modo che i segnali in entrata ed in uscita soddisfano alle condizioni di variazioni discrete fra due soli valori, si potranno fare considerazioni sul comportamento del circuito stesso riferendosi solo al suo modello logico (algebrico e grafico) e prescindendo dalla realizzazione fisica effettiva. Luglio 2002 Algebra binaria

L’ALGEBRA DI BOOLE PER LO STUDIO DEI CIRCUITI DI COMMUTAZIONE Per la schematizzazione dei circuiti di commutazione e per l’algebrizzazione delle dipendenze fra i segnali relativi si adopera la formulazione dell’algebra della logica, proposta da G. Boole nella sua opera del 1854: “An investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities” Caratteristiche: Semplicità Identità con l’algebra usuale Tutte e sole le operazioni definite da Boole sono applicabili alla schematizzazione dei circuiti di commutazione Luglio 2002 Algebra binaria

DEFINIZIONI FONDAMENTALI DELL’ALGEBRA DI BOOLE Costante booleana: grandezza capace di possedere e conservare il suo valore (0 o 1); es. tubazione in flusso continuo o interrotto Variabile booleana: grandezza capace di assumere solo due valori (0 o 1); es. interruttore Prodotto logico di n variabili booleani A1… An è la funzione X = A1 * Ax * …. An AND assume il valore 1 se e solo se tutte le variabili valgono 1 Somma logica di A1… An è la funzione X = A1+ Ax+ …. An OR assume il valore 0 se e solo se tutte le variabili valgono 0 Inversione della variabile booleana Y, la funzione X = Y NOT assume il valore 0 se Y vale 1, assume valore 1 se Y vale 0 Di conseguenza X*X = 0 X+X=1 Non equivalenza la funzione f(x,y): assume valore 1 se le variabili sono diverse OR ESCLUSIVO NOR = OR NAND = AND Luglio 2002 Algebra binaria

SOMMA A 32 BITS Nell’Unità Aritmetica la somma viene eseguita bit per bit prelevandoli dai registri. Ad ogni bit corrisponde una circuiteria “ad hoc” Si procede da destra a sinistra prestando grande attenzione ai riporti: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 01112 = 710 + 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 01102 = 610 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 11012 = 1310 … (0) (0) (1) (1) (0) (riporti) … 0 0 0 1 1 1 … 0 0 0 1 1 0 … (0)0 (0)0 (0)1 (1)1 (1)0 (0)1 Luglio 2002 Algebra binaria

In pratica si somma al minuendo l’opposto del sottraendo Teoricamente la sottrazione si potrebbe ottenere con appositi circuiti che operano pure bit per bit. con il “prestito” 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 01112 = 710 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 01102 = 610 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00012 = 110 In pratica si somma al minuendo l’opposto del sottraendo - 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10102 = - 610 Il risultato può essere troppo grande rispetto ai 32 bit 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11112 = 214748364710 + 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00102 = 210 = 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00012 =-21474836710 Ci vorrebbero 33 bits! Complemento a 2 Overflow! (traboccamento) Luglio 2002 Algebra binaria

A B C A AND NOT (B OR C) A OR (B AND (NOT C)) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 Luglio 2002 Algebra binaria

OPERATORI LOGICI (o porte logiche) Reti logiche: circuiti che realizzano una funzione logica Luglio 2002 Algebra binaria

Luglio 2002 Algebra binaria

R = OR (AND (NOT (B1), B2), AND (B1, NOT (B2))) c = AND (B1,B2) R = OR (AND (NOT (B1), B2), AND (B1, NOT (B2))) Luglio 2002 Algebra binaria