grafi nel mondo reale: reti stradali internet incontri sportivi nodi = incroci, archi = strade internet nodi = pagine, archi = links incontri sportivi nodi = squadre, archi = incontri reti elettriche nodi = connessioni, archi = elementi facebook nodi = persone, archi = amicizie giochi nodi = posizioni, archi = mosse

ognuno amico di tutti gli altri GRAFO COMPLETO

nessuno amico di nessuno

sottografo completo -> cricca (clique)

un’ altra cricca

c’è almeno una persona con un numero pari di amici ?

grado di un nodo = numero nodi adiacenti somma dei gradi per ogni nodo = 2 volte numero degli archi numero nodi con grado dispari è pari come dimostrare per induzione ?

A: ho 4 amici in (A,B,C,D,E) B: ho 3 amici in (A,B,C,D,E) C: ho 3 amici in (A,B,C,D,E) D: ho 2 amici in (A,B,C,D,E) E: ho 2 amici in (A,B,C,D,E) 5 persone dicono è possibile ?

A B C D E 4 3 3 2 2 A B C E D

B C D E 2 2 1 1 C B E A D

B C D E 2 2 1 1 C B E A D

C D E 1 0 1 C B E A D

C D E 1 0 1 C B E A D la soluzione è unica ? A B C E D

C B A B C E D E A D sono diversi, ma se non si tiene conto dei nomi, sono uguali hanno la stessa forma -> isomorfi

non isomorfi

A B C D E 4 4 4 2 2 A B C E D

B C D E 3 3 1 1 C B E A D

B C D E 3 3 1 1 C B E A D

C D E 2 0 0 C B E A D

3 brocche: capacità 8, 5, 3 litri come ottenere 4 litri ? nodi=particolare distribuzione dei litri archi=mosse=versamenti ammissibili

siccome la somma totale è costante basta indicare il contenuto delle brocche piccole (0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); hmm… servono proprio tutti ?

possibile che nessuna brocca sia piena oppure vuota? (0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); possibile che nessuna brocca sia piena oppure vuota? NO

(0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); da escludere i casi in cui nessuna brocca è piena oppure vuota

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(0,1) (0,2) (0,0) (0,3) (1,0) (1,3) (2,0) (2,3) (3,0) (3,3) (4,0) (4,3) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,0,4) (3,5,0) (3,0,5) (2,6,0) (2,0,6) (1,0,7) (1,7,0) (0,0,8) (0,8,0)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

(8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

7 versamenti (8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

6 versamenti (8,0,0) (7,1,0) (7,0,1) (6,2,0) (6,0,2) (5,0,3) (5,3,0) (4,4,0) (4,1,3) (3,5,0) (3,2,3) (2,5,1) (2,3,3) (1,5,2) (1,4,3) (0,5,3)

qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ? ma non sempre si può provare, anzi ….

colorare i nodi in modo che nodi adiacenti abbiano colori diversi minimo numero di colori ?

ma non sempre si può provare, anzi ….

trovare un esempio (semplice) dove max cricca < numero cromatico max ind set > decomposizione in cricche

mappa geografica minimo numero di colori ?

mappa geografica minimo numero di colori ?

grafo planare ! Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti Congettura dal 1850

grafo planare ! Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti Congettura dal 1850

quattro colori sono necessari cricca da 4 nodi

1 2 3 7 5 6 4 7 nodi

1 3 4 2 7 6 5 7 nodi 7 regioni

7 nodi 7 regioni n + r = a + 2 12 archi formula di Eulero 1 2 6 7 11 3 4 10 5 12 9 8 7 nodi 7 regioni n + r = a + 2 12 archi formula di Eulero

n + r = a + 2 dimostrazione per induzione vera per n =1 a=0 r = 1 vera per n-1 si aggiunge un nodo si aggiungono a archi si aggiungono a-1 regioni

cammino più corto ? 3

cammino più corto ? 2

cammino più corto ? 4 il più lungo fra i cammini più corti ? diametro del grafo congettura: il diametro del grafo delle conoscenze (nel mondo) = 7

è possibile disegnare il grafo senza staccare la penna ?

è possibile disegnare il grafo senza staccare la penna ?

è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondo in modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ?

è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondo in modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ? problema del circuito hamiltoniano (molto difficile)

? solo circuiti pari ma i nodi sono dispari !

e adesso ?

è possibile far sedere a due a due le persone in modo da far sedere vicini solo amici ?

è possibile far sedere a due a due le persone in modo da far sedere vicini solo amici ?

come costruire un torneo in cui ogni squadra incontra ogni altra squadra ?

!

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A A A B B B C C C D D D

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A A A B B B C C C D D D

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A A A B B B C C C D D D

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A A A B B B C C C D D D

come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A A A colorare i nodi con due colori in modo da avere il massimo numero di archi con due colori e gli archi grossi obbligati con due colori B B B C C C D D D

n nodi n-1 archi m nodi n-m nodi m-1 archi n-m-1 archi (m-1)+1+(n-m-1)=n-1 almeno due nodi di grado 1 2(n-1) somma dei gradi uguale a

alberi di supporto quanti ?

forse ? tutti gli archi archi dell’albero NO ERRATO ! perché?

se il grafo è completo

se il grafo non è completo -1 Laplaciano del grafo det = 8

1

11

111

1110

11101

111010

1110100

11101001

11101001101000 quante sono le stringhe di 0 e 1 tali che in ogni prefisso gli 0 sono meno degli 1 ? numeri di Catalan

per n=2 =1 1100

per n=3 = 2 111000 110100

per n=4 = 5 11110000 11101000 11100100 11011000 11010100 isomorfi

I numeri di Catalan rappresentano una limitazione superiore al numero di alberi isomorficamente diversi