Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it STATISTICA A – K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it

Esempi Lancio di una moneta 3 volte Spazio degli eventi? Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Probabilità degli eventi: A=“Croce nel primo lancio” B=“Almeno due volte testa” C=“Croce nel primo lancio o almeno due volte testa”

Probabilità dell’evento A=“Croce nel primo lancio” Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(A) = 4/8=0,5

Probabilità dell’evento B=“Almeno due volte testa” Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(B) = 4/8=0,5

Probabilità dell’evento C=“A Croce nel primo lancio o B almeno due volte testa” Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A)=0.5 P(B)=0.5 P(A ∩ B)=1/8 P(C)=7/8

Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 Prob. degli eventi P(M ∩ N)? P(M U N)

Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 P(M ∩ N)=0,4

Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M ∩ N)= 0,6+0,7-0,4=0,9

Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A=“Il primo boero contiene il buono” B=“Il secondo boero contiene il buono” P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il buono”

Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A=“Il primo boero contiene il buono” B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato che il primo buono è già stato estratto” P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023

Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14?

Esempio Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1 X 2). Qual è la prob. di fare 14? Ei= indovino il segno della partita i=1, 2, …, 14 P(Ei)= 1/3 Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)= P(E1) ∩ P(E2) ∩ P(E3) ∩ … ∩ P(E14)=(1/3)14= 2,09075E-07 =1/4.782.969

Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6?

Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Ei= indovino il numero i-esimo della combinazione P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/88 … (6 5 4 3 2 1 ) (1/90 1/89 1/88 1/87 1/86 1/85) = 1 / 622.614.630

Richiami di matematica: coefficiente binomiale Combinazioni Il numero di combinazioni di n oggetti di classe s, cioè il numero di modi in cui si possono selezionare s oggetti da un campione di n, è dato da: dove è detto n fattoriale e 0! = 1.

Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Casi favorevoli =1 Casi possibili = Combinazioni di 90 elementi di classe 6 = C90,6 C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)= C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630

Esercizi Dati i tre insiemi A={x: 0≤x ≤4} B={x: 3≤x ≤10} C={x: -1≤x ≤3} Si determinino gli eventi A U B U C A ∩ B ∩ C A ∩ B ∩ Cc

Soluzione

Esercizio Dati due eventi incompatibili A e B tali che P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le seguenti probabilità P(Ac) P(A ∩ B ) P(A U B) P(Ac U Bc) P(Ac ∩ Bc)

Soluzione

Esercizio Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A ∩ B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue A Ac B Bc E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )

Esercizio Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Calcolare Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima estrazione (evento A)? Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione (evento B) dato che nella prima estrazione è stata estratta una pallina bianca (evento A)? Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una pallina bianca

Soluzione

Esercizio Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado.

Soluzione

Esercizio Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l’esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame

Soluzione

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori?

Soluzione

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa?

Soluzione

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re?

Soluzione

Esercizio Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel bancone di un supermercato, 10 scadono fra una settimana, 50 fra due settimane e le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni scelte a caso due scadano tra una settimana, due scadano fra due settimane e una fra tre settimane

Soluzione

Esercizio Da un mazzo di 52 carte da poker se ne estraggono a sorte 5. Si determini la probabilità che delle 5 carte 3 siano assi

Soluzione

Esercizio Si calcoli la probabilità che estraendo a sorte due carte da un mazzo di 40 appaiano 2 assi. Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda

Soluzione

Esercizio Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli La probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 La probabilità che l’esito del secondo lancio sia un numero doppio dell’esito del primo lancio

Soluzione

Esercizio Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l’evento complementare di B (Bc) sono indipendenti

Soluzione