Cos’è un modello. Simulazioni Logo - Excel Modelli e simulazioni Cos’è un modello. Simulazioni Logo - Excel Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Modello Cos’è un modello fisico/matematico ? Che genere di strumento di lavoro è ? Che valore cognitivo ha ? Che ruolo ha nel processo di apprendimento ? Che ruolo ha nel processo di insegnamento? La risposta non è né semplice né univoca. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Riferimenti… Giorgio Israel, Modelli Matematici John von Neumann, citazioni… Conrad Waddington, Strumenti per pensare Richard P. Feynmann, sui modelli… Altri… Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Una citazione da John von Neuman Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello s’intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè, in relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Conrad Waddington ( Biologo ) Modello Matematico Se già molto è noto sul funzionamento del sistema in questione, oppure se è accettabile un modello molto semplificato di un sistema poco noto, è possibile escogitare un modello comprendente insiemi di equazioni che lo rappresentano […]. Una semplice equazione non può ovviamente descrivere con tutta precisione la complessità del sistema considerato […].I modelli matematici di sistemi sociali e tecnologici sono di solito adatti esclusivamente alla detrminazione di effetti massicci che comportano popolazioni molto vaste… Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Conrad Waddington – Modello Fisico …Per poter fare previsioni circa l’attività di un sistema reale è talvolta possibile costruire un modello fisico del sistema sottoponibile poi ad una varietà di condizioni…I modelli fisici si possono costruire solo in un numero limitato di condizioni… Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
E. Malinvaud Méthode Statistique de l’econometrie Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un fenomeno. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Richard P. Feynman …Sulla relazione tra matematica e Fisica… Un modello matematico è uno schema che consente di interpretare le leggi fisiche… (Interpretazione da “La legge Fisica”) Un “modello” puo anche essere un “modello di ragionamento”. Es. Ipotesi che la natura sia causale Legge di Newton. Ipotesi che la natura obbedisca a un principio di minimo Principio di Minima Azione. Ipotesi che la natura delle leggi fisiche sia locale Concetto di Campo. “…Una delle caratteristiche sorprendenti della natura è la varietà dei possibili schemi interpretativi, dovuta al fatto che le leggi sono così speciali e delicate.” Nel caso dei modelli “fisici”... “…In altre parole i matematici preparano un ragionamento astratto pronto per essere usato appena si ha una serie di assiomi sul mondo reale. Il fisico invece dà un significato a tutte le sue frasi…” Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Per i matematici… Questa è una cosa assai importante che molte persone che giungono alla fisica dalla matematica non apprezzano. La fisica non è matematica e la matematica non è fisica. Una aiuta l’altra, ma in fisica si deve capire la connessione tra le parole e il mondo reale.Alla fine è necessario tradurre, quello che si è dedotto, in italiano, cioè, nel mondo, nei blocchi di rale e di vetro con cui si faranno gli esperiementi: solo in questo modo potremo vedere se le conseguenze non sono giuste. Questo è un problema che in matematica non esiste affatto. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Sempre Feynman sui modelli…e sulla loro costruzione… Quando sapete quello di cui state parlando, che alcuni simboli rappresentano le masse, altri le forze, l’inerzia, e così via, allora potete usare abbondantemente il buon senso, e i ragionamenti terra-terra. Avete visto varie cose e sapete più o meno come il fenomeno si comporterà. Ma il povero matematico lo traduce in equazioni, e poiché i simboli non gli dicono niente, non ha nessuna guida nella deduzione se non la precisione del rigore matematico. Il fisico, invece, che sa più o meno quale risultato verrà fuori, può all’incirca tirare a indovinare per una parte, e così procedere abbastanza rapidamente. L’assoluta precisione del rigore matematico non è molto utile in fisica. Tuttavia non bisogna criticare i matematici per questo: non è necessario che solo perché una cosa sarebbe utile in fisica la debbano fare in qualche modo, essi fanno il loro mestiere, e se volete qualche altra cosa dovete farvela da soli. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Come indovinare una nuova legge fisica ? Problema: nella costruzione di un modello matematico di un sistema fisico si devono usare delle idee e delle convinzioni acquisite grazie alla cultura personale e alla cultura in cui lo scienziato è immerso. Quindi : per indovinare una nuova legge si devono usare preconcetti e principi filosofici, come per esempio “ non mipiace il principio di minimo”, “mi piace il principio di minimo”, o “ non mi piace l’azione a distanza”. Insomma : Fino a che punto servono i modelli ? Molto spesso i modelli aiutano e molti docenti di fisica, a livello universitario, cercano di insegnare ad usare i modelli, e ad avere un buon senso fisico per predire come le cose andranno a finire. “Ma succede sempre che le scoperte più grandi sono ottenute astraendo dal modello e che questo non serve mai a niente (???).” La scoperta di Maxwell dell’elettrodinamica fu fatta prima servendosi di molte ruote e ingranaggi immaginari nello spazio. Ma quando vi liberate da tutti gli ingranaggi e gli aggeggi nello spazio tutto va bene. Dirac scoprì le leggi giuste della meccanica quantistica relativistica semplicemente “indovinando” l’equazione. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
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Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri “…Il metodo di cercare di indovinare l’equazione sembra essere un modo piuttosto efficace di scoprire nuove leggi. Questo fa di nuovo vedere che la matematica è un modo profondo di esprimere la natura, mentre qualsiasi tentativo di esprimerla in principi filosofici o affermazioni vagamente meccanicistiche non è un mezzo efficace. “ RUOLO DELLA SIMULAZIONE La simulazione di un modello fisico consente di sperimentare il modello, metterlo alla prova cambiandone i parametri che lo caratterizzano. La simulazione di un modello consente quindi di “sperimentare le varie possibilità del modello oltre che i suoi limiti”, in un certo qual modo il modello fa da impalcatura per la sperimentazione e l’organizzazione delle nostre idee. Quando alla fine il modello funziona è possibile togliere l’impalcatura, magari si scopre che sta in piedi lo stesso, si scopre qualcosa di nuovo. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Trattare di modelli è difficile. Definire il concetto di modello è difficile ( Giorgio Israel). Un modello ha uno schema logico ma non è riducibile ad uno schema logico ( del tipo flow chart) Burkhardt, Learning to use mathematics, Bulletin of IMA, ottobre 1979. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Schema a flow chart Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Modello e ragionamento scientifico Ragionamento Scientifico ed Insegnamento della Scienza. La sola costruzione di un modello matematico non garantisce che si sia costruito anche un ragionamento scientifico. Il modello matematico di per sé potrebbe essere ricondotto all’applicazione meccanica di una serie di procedure. Talora ci si illude di poter ridurre la complessità di un fenomeno fisico ( e non solo ) ad una sequenza di operazioni elementari logicamente coerenti ed organizzate in una struttura algoritmica. ( Visione algoritmica ). L’operazione di simulazione prevede la messa in prova del modello e di chi lo controlla e/o l’ha costruito. Entrano in gioco altri criteri importanti : Il modello è stabile ? Si è tenuto conto di tutte le variabili rilevanti ? Quali sono le condizioni al contorno ? Quali sono le condizioni iniziali del modello ? Quali scelte determinanti e caratterizzanti ha fatto l’estensore del modello? Etc. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri L’orientamento logico razionale del modello e della sua strategia di costruzione sono importanti ma… Il ragionamento scientifico ha un livello di complessità maggiore. La definizione di Malinvaud è molto più prossima a questo livello di ragionamento. Questa definizione definisce in modo molto più appropriato cosa sia un modello matematico: a) Un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno. b) questa rappresentazione non è discorsiva o a parole ma formale ed usa il linguaggio matematico. c) Non esiste una via diretta cha va dalla realtà alla Matematica. Il fenomeno specifico studiato non detrmina la “sua” rappresentazione matematica. Vengono invece tradotti in formule idee e conoscenze relative al fenomeno. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri …il terzo punto L’ultimo punto è il più importante dei tre. Si fa riferimento alle idee e conoscenze grazie alle quali si rappresenta formalmente la realtà del fenomeno. Un modello fa riferimento alle conoscenze ed idee di chi formula il modello stesso ( vedi Feynman ), perché non il principio di Minima Azione piuttosto che le leggi di Newton? L’influenza delle proprie convinzioni, cultuta, stile, punti di vista, può essere cruciale. Come non esiste un modo univoco di affrontare e risolvere i problemi, così non esiste un modo univoco di costruire i modelli che descrivono il comportamento di un dato fenomeno. La descrizione matematica della realtà fatica nel tenere considerazioni degli infiniti, complessi, correlati aspetti che rappresentano un fenomeno fisico. Se già la difficoltà è notevole per un fenomeno fisico, sarà ancor più grande nel caso si tratti di un fenomeno biologico. La necessità di selezionare tra le variabili rilevanti e non rilevanti conduce alla discriminazione tra queste variabili. Questa scelta viene effettuata grazie alle idee, alla conoscenza, alla scuola da cui proviene chi lavora sul modello. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri LOGO Il Logo è un linguaggio di programmazione ideato con finalità didattiche dal matematico e informatico americano Seymour Papert. E' un linguaggio ormai diffuso nelle scuole di tutto il mondo. Papert, derivando alcune idee dalla teoria dell'apprendimento di Piaget ed altre dalla ricerca nel campo dell'Intelligenza Artificiale (settore nel quale è considerato uno dei massimi esperti), propone un ambiente di sperimentazione geometrica che coinvolge l'allievo, lo rende diretto costruttore di strutture, gli consente di apprendere operando. Una caratteristica importante del Logo è quella di favorire non solo l'apprendimento di una corretta tecnica di programmazione ma anche l'acquisizione di nozioni e concetti matematici profondi (in particolare geometrici, ma non solo: si pensi ad esempio al concetto di variabile). Operare in ambiente Logo significa programmare una piccola tartaruga che si muove sullo schermo del computer in risposta a dei nostri comandi. La tartaruga, come entità geometrica, è caratterizzata dalla posizione nel piano e dall'orientamento (ad esempio la tartaruga può trovarsi in un dato punto P ed essere orientata verso Nord). ( Da Paolo Lazzarini, Introduzione al LOGO) Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri MIT e LOGO Link : http://el.media.mit.edu/Logo-foundation/logo/index.html. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri MIT Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
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Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri MSW LOGO Link: http://www.softronix.com/logo.html http://users.libero.it/prof.lazzarini/voce03.htm Manuale :www.mswlogo.org/introduzioneMSWLogo.pdf Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Calcolo Ricorrente 1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di calcolo molto efficace con l’uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto senza usare le relative formule per le grandezze s, v ed a, ma utilizzando solo le loro definizioni elementari. Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto rettilineo uniforme, di quello uniformemente accelerato e forse di qualche altro tipo (moto circolare uniforme, moto armonico...). Si è dunque in grado di utilizzare le formule di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma tali formule sono valide solo per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso generale di moti vari. Potenza del metodo Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all’uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento di parecchi calcoli ripetuti. Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le quattro operazioni aritmetiche). Limiti del metodo È necessario però conoscere anche i limiti di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di calcolo approssimato, con gli inevitabili errori che ciò comporta. Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne l’entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Idee 1.2) IL CALCOLO RICORRENTE Nel moto accelerato, la velocità di un corpo varia nel tempo; la conoscenza di tale grandezza è legata a quella dell’accelerazione. Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo spostamento) è legato sia alla velocità iniziale che alla accelerazione. Come è noto, non è possibile calcolare la velocità istantanea di un oggetto conoscendo solo lo spazio percorso; non si può usare la relazione , valida solo per il moto rettilineo uniforme. In conclusione, spostamento e velocità nel moto accelerato sono legati all’andamento dell’accelerazione del corpo. Rivediamo ora alcune definizioni delle grandezze fisiche della cinematica. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Definizione di accelerazione Sappiamo che l’accelerazione media di un corpo nell’intervallo di tempo Δt è data da: (1) dove v(t) indica la velocità all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) e v(t + Δt) quella all’istante finale. Sappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo Δt, tanto più questo valore si avvicina all’accelerazione istantanea. Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente accelerato. In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’accelerazione istantanea del corpo, che coincide con quella media. Dalla (1) possiamo ottenere: (2) La quantità a Δt rappresenta la variazione di velocità. Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è esatta (cioè non dà luogo ad approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo: la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la sua variazione intervenuta nell’intervallo di tempo Δt. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Calcolo ricorrente della velocità Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la tecnica del calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo. Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s2, la velocità iniziale v(0) = 0 e l’intervallo di tempo Δt = 1 s. Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi dopo la partenza): v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza usare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco. In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa approssimazione. Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri Definizione di velocità La definizione di velocità media di un corpo nell’intervallo di tempo Δt è la seguente: (3) dove al solito s(t) indica lo spostamento all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) ed s(t + Δt) quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene: (4) La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più esatta, come la (2), ma solo approssimata, poiché la velocità non è costante nel tempo. Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente utilizzando il foglio elettronico. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri 2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue. ABCDEFG1MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO23tvss esattoa =2m/s24Dt =0,1s5000=0,5*a*A5^26=A5+Dt=B5+a*Dt=C5+B5*Dt=0,5*a*A6^2 Posizionatevi sulla cella F3; nel menù Inserisci selezionate Nome Definisci. Nella finestra di dialogo che appare, inserite a nella finestra Nomi nella cartella di lavoro:, assicurandovi che la finestra Riferito a: contenga l’indirizzo della cella F3; cliccate infine su OK. Nella Casella Nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome a, anziché l’indirizzo di cella F3. D’ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome. In modo analogo assegnate alla cella F4 il nome Dt. Inserite poi le formule indicate in tabella (nelle celle relative, naturalmente, comparirà il risultato della formula stessa). Copiate le celle 6A:6D per 50 righe sotto. Costruite ora il grafico della velocità, dello spostamento approssimato e di quello esatto (calcolato con la formula del moto uniformemente accelerato ) in funzione del tempo. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
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Calcolo Ricorrente della Velocità Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la tecnica del calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo. Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s2, la velocità iniziale v(0) = 0 e l’intervallo di tempo Δt = 1 s. Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi dopo la partenza): v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza usare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco. In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa approssimazione. Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo. Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri
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