VARIABILI DOPPIE: UN ESEMPIO Con riferimento agli esiti del lancio di due dadi da gioco, si considerino le seguenti funzioni: Z1 = punteggio realizzabile con il primo dado: z1 = 1, 2, …, 6; Z2 = punteggio realizzabile con il secondo dado: z2 = 1, 2, …, 6; Y = punteggio somma: y := z1 + z2; y = 2, 3, …, 12; X = differenza tra i punteggi dei due dadi in valore assoluto: x :=|z1 - z2|; x = 0, 1, 2, ..., 5. Nella tabella seguente sono riportate all’interno delle celle i valori di probabilità per ciascuna coppia di valori (x,y) possibili riguardanti le due variabili (o numeri) aleatorie X e Y riportati rispettivamente nella prima colonna e prima riga.

PROBABILITA’ CONGIUNTA PROBABILITA’ MARGINALI .

VARIABILI DOPPIE: PROPRIETA’ Si considerino: la v.a doppia (X,Y) con: f.p. congiunta p(x,y), (x,y) S(X,Y) = SXSY; f.r. congiunta F(x,y), (x,y) 2; la v.a. marginale X con f.p. p1(x) e f.r. F1(x); la v.a. marginale Y con f.p. p2(y) e f.r. F2(y); le v.a. condizionate X|y, ySY, con f.p. p1|2(x|y) e f.r. F1|2(x|y); le v.a. condizionate Y|x, xSX, con f.p. p2|1(y|x) e f.r. F2|1(y|x). Per la v.a. X con f.r. marginale F1(x), valgono i seguenti risultati: (1) EF1(X) = EF2{EF1|2(X|Y)}; (2) VarF1(X) = EF2{VarF1|2(X|Y)} + VarF2{EF1|2(X|Y)}. Risultati analoghi si ottengono per la v.a. Y con f.r. marginale F2(y).

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: LA COVARIANZA Si definisce covarianza tra le v.a. X e Y, denotata con Cov(X,Y), il seguente valore medio: Cov(X,Y) := E{[x-E(X)][y-E(Y)]}. Valgono: (1) Cov(X,Y) = Cov(Y,X); (2) -  Cov(X,Y)  +; (3) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y); (4) XY  E(XY) = E(X)E(Y); (5) XY  Cov(X,Y) = 0; (6) Cov(X,Y) = 0 XY.

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Si definisce coefficiente di correlazione tra le v.a. X e Y, denotata con Corr(X,Y) o più brevemente con (X,Y), il seguente rapporto: Corr(X,Y) := Cov(X,Y)/[var(X)var(Y)]1/2. Valgono: (1) Corr(X,Y) = Corr(Y,X); (2) Corr{(a+bX),(c+dY)} = Corr(X,Y); (3) XY  (X,Y) = 0. (4) (X,Y) = 0  XY. Disuguaglianza di Schwarz: (5) [E(XY)]2  E(X2)E(Y2); segue: (6) -1  Corr(X,Y)  +1. Si pone: 2(X,Y) =[(X,Y)]2. Valgono inoltre: con b>0, Corr{(a+bX),X} = 1; con b<0, Corr{(a+bX),X} = -1.

MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL RAPPORTO DI CORRELAZIONE Tenendo presente la scomposizione della varianza della v.a. X: Var(X) = EF2{VarF1|2(X|Y)} + VarF2{EF1|2(X|Y)}; Si definisce rapporto di correlazione tra le v.a. X e Y, denotato con 2(X|Y), il seguente rapporto: 2(X|Y) := VarF2{EF1|2(X|Y)} / Var(X). Analogamente si ha: 2(Y|X) := VarF1{EF2|1(Y|X)} / Var(Y). Risultando in generale: 2(X|Y)  2(Y|X) Risultano: (1) 0  2(Y|X)  1; (2) 2(Y|X) = 0  EF2|1(Y|x) = EF2(Y), xSX; (3) 2(Y|X) = 1  VarF2|1(Y|x) = 0, xSX; (4) 2(X,Y)  min{2(Y|X), 2(X|Y) }; (5) XY  2(Y|X) = 2(X|Y) = 0. (6) [2(Y|X) = 2(X|Y) = 0] XY.

RISULTATI DELL’ESEMPIO CONSIDERATO Per le v.a. (X,Y) considerate nell’esempio introduttivo si ottengono i seguenti risultati: v.a. Y|x, x = 0,1,…,5. x 0 1 2 3 4 5 E(Y|x) 7 7 7 7 7 7 Var(Y|x) 70/6 8 5 8/3 1 0 v.a. Y: E(Y) = 2(3.5) = 7; Var(Y) = 2(35/12) = 35/6. Var{E(Y|X)} = 0; 2(Y|X) = 0. v.a. X|y, y = 2,3,…,12. y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 E(X|y) 0 1 4/3 2 2.4 3 2.4 2 4/3 1 0 Var(X|y) 0 0 8/9 1 2.24 8/3 2.24 1 8/9 0 0 v.a. X: E(X) = 35/18; Var(X) = 665/324; E{Var(X|Y)} = 38.8/27. 2(X|Y) = 1 - [(38.8/27)/(665/324)] = 0.29985. (X,Y) = 0.

DISTANZA TRA FUNZIONI DI RIPARTIZIONE Date le due funzioni di ripartizione F(x,y) e G(x,y)=F1(x)F2(y), si può considerare la seguente distanza di ordine p (p  0): dp(F,G): = [ |F(x,y)-G(x,y)|pdxdy]1/p. Si osservi che per le f.r. F, G e H, risultano: (1) F = G  dp(F,G) = 0; (2) dp(F,G) = dp(G,F); (3) dp(F,G)  dp(F,H) + dp(H,G),  f.r. H(x,y). Per v.a. positive, risulta: Cov(X,Y) = [F(x,y) - F1(x)F2(y)]dxdy.

ALCUNI RISULTATI OPERATIVI DI ALGEBRA DELLE V.A. Valgono i seguenti risultati: E(aX ± bY) = aE(X)  bE(Y); Var(aX ± bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) ± 2abCov(X,Y). Esempio. Media, varianza e correlazione nella scelta di un portafoglio: il criterio media-varianza. Dati due portafogli Alfa e Beta con rendimenti aleatori riferiti a un determinato periodo rispettivamente X e Y, diremo che il rendimento aleatorio X e preferibile al rendimento aleatorio Y, scriveremo X  Y, se: E(X)  E(Y); Var(X)  Var(Y).