INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ E AI MODELLI DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ PER VARIABILI ALEATORIE Corso di STATISTICA I (prof. Pietro Mantovan) ARGOMENTI TRATTATI: LOGICA ED ALGEBRA DEGLI EVENTI ISOMORFISMO TRA L’ALGEBRA DEGLI EVENTI E L’ALGEBRA DEGLI INSIEMI PROBABILTÀ E CALCOLO DELLE PROBABILITÀ TEOREMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ TEOREMA DI BAYES VARIABILI ALEATORIE MODELLI DI FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE VALORI CARATTERISTICI ALGEGRA DELLE VARIABILI ALEATORIE VETTORI ALEATORI STRUTTURE DI DIPENDENZA

ESPERIMENTO CON ESITO ALEATORIO: Trattasi di un esperimento per il quale pur essendo fissate tutte le condizioni di contesto, le modalità specifiche e l’insieme dei possibili alternativi (esclusivi) esiti, vi è incertezza su quale esito specifico si verificherà. Esempio 1. Il lancio su un tavolo di un dado da gioco può dar luogo a 6 esiti costituiti dalle sei facce contraddistinte del dado. Vi è incertezza su quale delle sei facce, una volta fermatosi, il dado mostrerà sul suo lato superiore. Esempio 2. L’estrazione di una pallina da un’urna chiusa contenente palline dalle medesime caratteristiche fisiche ma contraddistinte da un numero (x: 1  x  N) e da un diverso colore (Verde, Bianco, Rosso) può dare luogo a (N×3) esiti. Vi è incertezza su numero e sul colore che la pallina estratta presenterà. Gli esiti dell’esperimento sono determinati dal prodotto combinatorio tra l’insieme dei numeri e l’insieme dei possibili colori che possono contraddistinguere una pallina. Ogni esperimento si può considerare unico, oppure ripetibile nelle “medesime condizioni”. Se l’esperimento è considerato unico fa storia a se. Se l’esperimento è considerato ripetibile (il lancio di un dado e ripetibile) il suo esito può essere rapportato nel modo che vedremo agli esiti di precedenti esperimenti condotti nelle medesime condizioni. Esperimenti aleatori ripetibili, anche se condotti nelle medesime condizioni, non danno luogo necessariamente al medesimo esito.

ESPERIMENTI ED ESITI NEI GIOCHI DI SORTE Esempio 1. Il lancio su un tavolo di un dado da gioco può dar luogo a 6 esiti costituiti dalle sei facce contraddistinte del dado. Vi è incertezza su quale delle sei facce, una volta fermatosi, il dado mostrerà sul suo lato superiore. Esempio 2. L’estrazione di una pallina da un’urna chiusa contenente palline dalle medesime caratteristiche fisiche ma contraddistinte da un numero (x: 1  x  N) e da un diverso colore (Verde, Bianco, Rosso) può dare luogo a (N×3) esiti. Vi è incertezza su numero e sul colore che la pallina estratta presenterà. Gli esiti dell’esperimento sono determinati dal prodotto combinatorio tra l’insieme dei numeri e l’insieme dei possibili colori che possono contraddistinguere una pallina. 1 5 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1

STATO DI INCERTEZZA Situazioni di incertezza (stato di incertezza) possono sussistere anche in mancanza di prefissate condizioni sperimentali. Si pensi all’incertezza sugli esiti inerenti l’evoluzione temporale o spaziale di processi complessi e in generale su eventi futuri. Così pure si pensi all’incertezza determinata da parziali o limitate conoscenze, dall’incapacità logica deduttiva, dall’ignoranza temporanea. Esempio 3. L’indice Mib (si faccia riferimento a uno dei principali indici della Borsa di Milano: Mibtel, Numtel, Comit, oppure a uno dei principali indici della Borsa di New York: Dow Jones, Nasdaq) nella giornata di domani potrà restare invariato, aumentare, oppure diminuire; in caso di variazione (arrotondata all’intero più vicino), essa potrà essere di 1,2,3,…, punti percentuali. Naturalmente vi è incertezza su quale sarà l’esito finale nella giornata di domani. Esempio 4. La decima cifra dopo la virgola del numero  (pi greco), non essendo immediata la sua determinazione, può essere considerata (anche se solo temporaneamente) incerta ( = 3.1415926535897). Sono di nostro interesse le situazioni di incertezza su un insieme ben definito di possibili esiti (o risultati) o eventi possibili connessi o con un ben definito esperimento con esiti aleatori, o con possibili evoluzioni di fenomeni osservabili, o più in generale con differenti stati di parziale informazione.

INCERTEZZA SU EVENTI FUTURI VARIAZIONI PERCENTUALI DI ALCUNI INDICI DELLA BORSA DI MILANO

SPAZIO CAMPIONARIO In connessione con una situazione di incertezza (per maggior semplicità essa può essere pensata riguardante gli esiti aleatori di un ben precisato e fissato esperimento) si ritiene che, in relazione ai propri interessi conoscitivi, sia distinto ciò che è possibile da ciò che non è possibile. Inoltre si suppone che “il possibile” sia distinto (o distinguibile) nelle finite o infinite alternative (esiti o eventi elementari) che si possono realizzare. Lo spazio campionario è definito dall’insieme degli esiti (o eventi elementari) di un esperimento con esiti aleatori e sarà di seguito indicato con . Esempio 5. Si consideri il punteggio somma che si può realizzare lanciando contemporaneamente su di un tavolo due distinti dadi da gioco (uno celeste e l’altro giallo). Gli esiti di interesse sono costituiti dai punteggi somma s= 2,3,…,12. Nell’esempio 5 può essere considerata una “partizione più fine”, cioè può essere di interesse distinguere le diverse alternative con le quali si può realizzare un determinato punteggio somma. Così, ad esempio, il punteggio somma 5 può essere realizzato con le coppie (1,4), (4,1), (2,3), (3,2).

LANCIO DI DUE DISTINTI DADI DA GIOCO: ESITI POSSIBILI 1 6 1 5 4 2

EVENTO VALORE DI VERITA’ RELAZIONE DI IMPLICAZIONE TRA EVENTI Esempio 6. Si consideri l’esperimento con esiti aleatori consistente nel lancio su un tavolo di due dadi da gioco e si distinguano i 36 esiti possibili, quelli della “partizione più fine”. Oltre ai 36 eventi elementari ottenuti dalla combinazione (prodotto combinatorio) delle sei alternative possibili per il dado bianco con le sei alternative del dado rosso (6x6=36), si possono considerare altri eventi non elementari quali, ad esempio, la realizzazione di un: punteggio somma uguale a 5, punteggio somma minore di 10, punteggio somma numero pari, facce contrassegnate dallo stesso numero”, punteggio somma “NON numero pari”. Ciascun evento (non elementare, di quelli sopra menzionati) è anche descrivibile come opportuna composizione degli eventi elementari che lo implicano. A esperimento concluso si assume sia sempre possibile affermare se un evento (elementare o non) si è verificato (evento VERO o valore di verità 1 (uno)) oppure no (evento FALSO o valore di verità 0 (zero)). E’ fondamentale considerare la relazione di implicazione tra eventi. Dati gli eventi E1 ed E2, diremo che l’evento E1 implica l’evento E2, se il verificarsi dell’evento E1 comporta anche il verificarsi dell’evento E2. Scriveremo brevemente: E1  E2. Diversamente, se l’evento E1 non implica l’evento E2, scriveremo: E1  E2.

IMPLICAZIONI TRA EVENTI NEGAZIONE DI EVENTO EVENTI EQUIVALENTI Si considerino gli eventi dell’esempio 6 precedente e precisamente gli eventi: E1 := “punteggio somma uguale a 5”; E2 := “punteggio somma minore di 10”; E3 := “punteggio somma numero pari”; E4 := “facce contrassegnate dallo stesso numero”; E5 := “punteggio somma NON numero pari”; E6 := “punteggio somma numero dispari”. L’evento E5 è definito come negazione dell’evento E3; scriveremo: E5 = non E3. L’evento E6 è equivalente all’evento E5; scriveremo: E6= E5. Valgono le seguenti relazioni di implicazione: E1  E2;,,,,.,, E1  E3; E1  E4; E1  E5; E4  E3. Si osservi che in questo caso si ha: E1  E3 ed E1  non E3; naturalmente ciò non è vero in generale.,

PROPRIETÀ DELLA RELAZIONE DI IMPLICAZIONE asimmetrica: E1  E2 comporta in generale E2  E1, in particolare si ha: (E1  E2 ed E2  E1) comportano E1 = E2; transitiva: (E1  E2 ed E2  E3) comportano E1  E3; riflessiva: E  E. Ad E1  E2 possono corrispondere in alternativa o E1  non E2, oppure E1  non E2. EVENTI INCOMPATIBILI Dati due eventi E1 ed E2, essi sono detti incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro. Si avrà pertanto che: sia E1  non E2, sia E2  non E1.

COMPOSIZIONE (LOGICA) DI EVENTI DISGIUNZIONE NON ESCLUSIVA DI EVENTI CONGIUNZIONE DI EVENTI Si considerano eventi connessi all’esperimento con esiti aleatori di cui all’esempio 6 consistente nel lancio su un tavolo di due dadi da gioco distinguendo i 36 esiti possibili. Si considerano alcuni eventi non elementari quali, ad esempio: E1 := “punteggio somma uguale a 5”; E2 := “punteggio somma minore di 10”; E3 := “punteggio somma numero pari”; E4 := “facce contrassegnate dallo stesso numero”; E5 := “punteggio somma NON numero pari”; E6 := “punteggio somma numero dispari”. Dati due eventi qualsiasi E1 ed E2, si considera l’evento (E1 o E2), disgiunzione non esclusiva o somma logica tra gli eventi E1 ed E2, definita precisando che l’evento (E1 o E2) si verifica se si verifica E1, oppure E2, oppure entrambi. L’evento (E1 o E2), scriveremo anche (E1 E2), è pertanto implicato sia da E1, sia da E2. Dati due eventi qualsiasi E1 ed E2, si considera l’evento (E1 e E2), congiunzione o prodotto logico tra gli eventi E1 ed E2, definita precisando che l’evento (E1 e E2) si verifica se si verificano (congiuntamente) sia E1, sia E2. L’evento (E1 e E2), scriveremo anche (E1  E2), pertanto implica sia E1, sia E2. Due eventi E1 ed E2 sono incompatibili se si ha: (E1  E2) = evento impossibile.

PROPRIETÀ DELLA SOMMA LOGICA E DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI La somma logica e il prodotto logico di eventi godono delle proprietà: commutativa: (E1  E2) = (E2  E1); (E1  E2) = (E2  E1); associativa: (E1  E2  E3) =(E1  E2)  E3 = E1  (E2  E3); (E1  E2  E3) =(E1  E2)  E3 = E1  (E2  E3); distributiva del prodotto rispetto alla somma: E1  (E2  E3) = (E1  E2)  (E1  E3); distributiva della somma rispetto al prodotto: E1  (E2  E3) = (E1  E2)  (E1  E3).

LOGICA DI EVENTI Si considerano eventi connessi all’esperimento con esiti aleatori di cui all’esempio 6 consistente nel lancio su un tavolo di due dadi da gioco distinguendo i 36 esiti possibili. Si considerano alcuni eventi non elementari quali, ad esempio: E1 := “punteggio somma uguale a 5”; E2 := “punteggio somma minore di 10”; E3 := “punteggio somma numero pari”; E4 := “facce contrassegnate dallo stesso numero”; E5 := “punteggio somma NON numero pari”; E6 := “punteggio somma numero dispari”. Risultano: E3 o E6 = evento certo =  ; E1 e E4 = evento impossibile =  ; E1 o E2 = E2 ; E1 e E2 = E1 ; E3 o E4 = E3 ; E3 e E4 = E4 ; E2 o E4 = ulteriore evento ; E2 e E4 = ulteriore evento.

RAPPRESENTAZIONE DEGLI EVENTI COME INSIEMI DIAGRAMMA DI VENN Ciascun evento può essere utilmente rappresentato come insiemi di punti, sottoinsieme di un rettangolo di riferimento. In questo caso ogni insieme-evento sarà un sottoinsieme dell’insieme-evento certo: lo spazio campionario, che sarà rappresentato da tutti i punti del rettangolo di riferimento. Indicheremo ancora con  lo spazio campionario (evento certo) ora inteso come insieme (universale) di punti (ogni punto :   , rappresenta un evento elementare) e con A, B, C,…, possibili sottoinsiemi di : A  , B  , C ,…, (possibili eventi), con  e  simboli rispettivamente di appartenenza e di inclusione propri dell’algebra degli insiemi. Diagramma di Venn  A

CLASSE COMPLETA DI EVENTI Un insieme (finito o no) di eventi a due a due incompatibili costituisce una classe completa di eventi se la loro somma logica fornisce l’evento certo. Utilizzando la rappresentazione degli eventi come sottoinsiemi dello spazio campionario , considerare una classe completa di eventi significa riferirsi ad una specificata partizione di . Data una partizione di , è possibile considerare una partizione più fine dove ciascuna parte della partizione di origine può essere ottenuta come unione degli elementi di un determinato insieme (finito o no) di parti della partizione più fine.

CORRISPONDENZA TRA LOGICA DEGLI EVENTI E ALGEBRA DEGLI INSIEMI certo impossibile implicazione negazione (contrario) somma logica prodotto logico incompatibilità classe completa INSIEMI universale vuoto inclusione complementare unione intersezione disgiunzione partizione

ESEMPLIFICAZIONI B A A C A   Complementare di A A  C B   A  B

Esempio introduttivo alla probabilita’: ESPERIMENTI CON ESITI ALEATORI EQUIPROBABILI Si consideri l’esperimento aleatorio consistente nel lancio di due dadi da gioco e i 36 esiti possibili. Assumiamo che, essendo i dadi non “truccati”, i 36 esiti possibili siano valutati equiprobabili. Sotto la condizione di equiprobabilità degli esiti possibili possiamo misurare la probabilità di un evento con il rapporto: numero dei casi (esiti) favorevoli al verificarsi dell’evento diviso il numero dei casi possibili. Dati gli eventi: A = punteggio somma minore-uguale a 4; B = i due dadi presentano la medesima faccia (faccia contrassegnata con il medesimo numero; Così si avranno le seguenti valutazioni di probabilità: P(A) = 6/36; P(B) = 6/36; P(AB) = 10/36  P(A)+P(B) = 12/36; P(AB) = 2/36  P(A)P(B) = 1/36. P(AB) = ? = f(P(A),P(B)); f = ? P(AB) = ? = h(P(A),P(B)); h = ?

PROBABILITÀ Definizione Dati i generici eventi A e B dello spazio campionario  (A , B ), la probabilità di un evento P(.) è una grandezza che soddisfa le seguenti proprietà: non negatività: P(A)  0 ; semplice additività: se AB=, allora P(AB) = P(A) + P(B) ; normalizzazione: P() = 1 .

RISULTATI OPERATIVI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI Dati gli eventi A1, A2,…, An, con n  2, se si ha Ai  Aj=,  i  j : i,j=1,2,…,n; allora segue: La dimostrazione segue osservando che per ogni n si ha: con e pertanto è applicabile ricorsivamente la proprietà di additività della probabilità passo su passo. La dimostrazione può essere condotta anche per induzione.

RISULTATI OPERATIVI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Seguono dalle proprietà fondamentali della nozione di probabilità: (1) P(A)  1; (2) P(non A) = 1-P(A); (3) P() = 0; (4) se A  B, allora P(A)  P(B); (5) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B).

DETERMINAZIONE DELLA PROBABILITÀ DI EVENTI ESPERIMENTI CON ESITI ALEATORI EQUIPROBABILI Si consideri la partizione A1, A2, …, AN, N  2, dello spazio campionario . Si assuma che coerentemente con lo stato di informazione disponibile si valuti: P(Ai) = p,  i =1,2,…,N. Segue quindi p =1/N. In questo caso, se si considerano le parti come eventi elementari, tenendo presente il teorema delle probabilità totali, ed essendo ogni sottoinsieme B di  esprimibile come unione delle parti che lo compongono, denotando con n(B) il numero delle parti che compongono B delle N originariamente distinte, si avrà: P(B) = n(B)/N. È questo un modo usuale di valutare le probabilità degli eventi connessi ai cosiddetti giochi di sorte: la probabilità di un evento viene valutata pari al rapporto tra il numero degli esiti (casi) favorevoli al verificarsi dell’evento e il numero degli esiti (casi) possibili già valutati equiprobabili. Ad esempio: si valuti la probabilità che il punteggio somma nel lancio di due dadi da gioco risulti maggiore di 10; si valuti la probabilità che il punteggio somma nel lancio di tre dadi da gioco risulti maggiore di 10; si valuti la probabilità di colpire con un dardo un distinto settore circolare di 45 gradi di un bersaglio circolare, assumendo di colpire il bersaglio circolare.

LANCIO DI DUE DISTINTI DADI DA GIOCO: ESITI POSSIBILI (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

PROBABILITA’ DI COLPIRE UNA CORONA CIRCOLARE P(punteggio = 1) = {r2 - [r(2/3)]2} / [r2 ] = = 1- (2/3)2. P(punteggio = 2) = {[r(2/3)]2 - [r(1/3)]2} / [r2 ] = = (2/3)2 - (1/3)2. P(punteggio = 3) = {[r(1/3)]2} / [r2 ] = = (1/3)2. P(punteggio = i) = [(4-i)2 - (3-i)2] / 32, i = 1,2,3. r 3 2 1

ESTRAZIONI DA URNE OO OOOO OOOOO n(R) = numero palline Rosse URNA CHIUSA n(B) = numero palline Blu n(V) = numero palline Verdi N = n(R)+n(B)+n(V) = totale palline Si estrae una pallina probabilità pallina Rossa: p(R) = n(R)/N probabilità pallina Blu: p(B) = n(B)/N probabilità pallina Verde: p(V) = n(V)/N probabilità pallina Rossa o Blu: p(R o B) = n(R o B)/N = [n(R)+n(B)]/N= n(R)/N + n(B)/N = p(R) + p(B). Valgono inoltre: 0  p(R)  1; p(R o B o V) = 1. OO OOOO OOOOO

ESTRAZIONI DA URNE URNA n. 1 n(R) = numero palline Rosse n(B) = numero palline Blu n(V) = numero palline Verdi N = n(R)+n(B)+n(V) = totale palline Si estrae una pallina probabilità Rossa: p(R) = n(R)/N probabilità Blu: p(B) = n(B)/N probabilità Verde: p(V) = n(V)/N URNA n. 2 m(R) = numero palline Rosse m(B) = numero palline Blu m(V) = numero palline Verdi M = m(R)+m(B)+m(V) = totale palline Si estrae una pallina probabilità Rossa: q(R) = m(R)/N probabilità Blu: q(B) = m(B)/N probabilità Verde: q(V) = m(V)/N Si estrae una prima pallina dalla prima urna e una seconda pallina dalla seconda urna B1 = uscita di pallina Blu dalla prima urna B2 = uscita di pallina Blu dalla seconda urna p(B1 e B2) = [n(B)·m(B)]/(N·M) = [n(B)/N] · [m(B)/M] = p(B) · q(B)

ESTRAZIONI DA URNE n(R) = numero palline Rosse = R URNA CHIUSA n(B) = numero palline Blu n(V) = numero palline Verdi N = n(R)+n(B)+n(V) = totale palline Si estraggono n palline (n  min{R,(N-R)}) Eventi: A = x delle n palline estratte risultano rosse (x = 0,1,2,…,n) B = almeno x delle n palline estratte risultano rosse Probabilità: P(A) = P(B) = + +…+

ESTRAZIONI DA URNE 1 2 3 4 90 Evento: E = si realizza una terna giocando cinque numeri al lotto sulla ruota di Venezia P(E) = 1 2 3 4 90

ESTRAZIONI DA UN’URNA (SENZA REINSERIMENTO) Si consideri un’urna contenente: 4 palline Bianche e 6 palline Verdi. Si prefiguri la successiva estrazione di tre palline. PROBABILITÀ DEGLI ESITI p(BBB) = = (4/10)(3/9)(2/8) = 1/30 p(BBV) = (1/3) = (4/10)(3/9)(6/8) = 3/30 p(BVB) = (1/3) = (4/10)(6/9)(3/8) = 3/30 p(BVV) = (1/3) = (4/10)(6/9)(5/8) = 5/30 p(VBB) = (1/3) = (6/10)(4/9)(3/8) = 3/30 p(VBV) = (1/3) = (6/10)(4/9)(5/8) = 5/30 p(VVB) = (1/3) = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30 p(VVV) = = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30

IL PASSA DIECI 1 6 3 4 2 1 Esperimento con esiti aleatori: Si lanciano contemporaneamente su un tavolo tre dadi da gioco. Numero dagli esiti valutati equiprobabili: 63 = 216 Evento considerato: E = il punteggio somma s (s = 3, 4,…,18) che risulta è maggiore di dieci. Siano: x = punteggio del primo dado y = punteggio del secondo dado z = punteggio del terzo dado s = punteggio somma Numero degli esiti “favorevoli” = = Numero delle terne (x,y,z) : x+y+z = 10 + + Numero delle terne (x,y,z) : x+y+z = 11 + + ……………………………………………. + + Numero delle terne (x,y,z) : x+y+z = 18 = 108 Si noti che vale: [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = s] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 18+3-s] 1 6 3 4 2 1

ESITI POSSIBILI Combinaz. Somma Permutaz. Tot. Parz. Tot. Comul. 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 4 3 3 4 3 1 1 5 3 2 2 1 5 3 6 10 4 1 1 6 3 3 2 1 6 6 2 2 2 6 1 10 20 5 1 1 7 3 4 2 1 7 6 3 3 1 7 3 3 2 2 7 3 15 35 Combinaz. Somma Permutaz. Tot. Parz. Tot. Comul. 6 1 1 8 3 5 2 1 8 6 4 3 2 8 6 4 2 2 8 3 3 3 2 8 3 21 56 6 2 1 9 6 5 3 1 9 6 5 2 2 9 3 4 4 1 9 3 4 3 2 9 6 3 3 3 9 1 25 81 6 3 1 10 6 6 2 2 10 3 5 4 1 10 6 5 3 2 10 6 4 4 2 10 3 4 3 3 10 3 27 108

PASSA DIECI Si noti che vale: [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 3] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 18] = 1 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 4] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 17] = 3 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 5] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 16] = 6 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 6] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 15] = 10 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 7] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 14] = 15 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 8] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 13] = 21 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 9] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 12] = 25 [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 10] = [Numero terne (x,y,z) : x+y+z = 11] = 27 _____ Totale 108

ESITI POSSIBILI Utilizzando la proprietà associativa della somma possiamo scrivere: (x+y+z) = (x+y)+z Segue:

NUMERO DELLE ECCEDENZE Si prefigurano n (n  1) lanci successivi di una moneta e si considera il numero aleatorio: x = numero delle Teste (x = 0,1,2,…,n); eccedenza: y := [numero Teste - numero Croci | n] = x - (n - x) = 2x - n; segue: x = (n+y)/2. Si consideri il caso n = 2k (k1) EVENTI DI INTERESSE: Il numero delle traiettorie che terminano nel punto (0,2k) (y=0) (r. : ) quante delle traiettorie che realizzano y=0: passano per il punto di coordinate (m,h) (1  m  n, -n  h  n) (r. : ); in un qualche numero di prove m (1  m  n), realizzano una eccedenza maggiore-uguale ad c (-k  c  k) (r. : ? ); realizzano una eccedenza pari ad +1 nella (n -1)-esima prova (r. : ); realizzano una eccedenza pari ad -1 nella (n -1)-esima prova (r. : );

ECCEDENZA MAGGIORE-UGUALE A UNA DETERMINATA SOGLIA. quante delle traiettorie che realizzano y=0: in un qualche numero di prove m (1  m  n), realizzano una eccedenza maggiore-uguale ad c (-k  c  k) (r. : ? ); Si osservi che data una traiettoria che in un determinato passo realizza una eccedenza pari a c (-k  c  k) e che termina successivamente, alla 2k-esima prova, nel punto (2k,0), ad essa corrisponde biunivocamente la traiettoria con percorso comune fino al passo nel quale realizza l’eccedenza c e da quel punto in poi simmetrica, rispetto l’asse di simmetria y = c, alla traiettoria data, e quindi terminante nel punto di coordinate (2k,2c). Quindi il numero delle traiettorie che realizzano in un qualche passo l’eccedenza c (-k  c  k) è uguale al numero delle traiettorie che terminano nel punto (2k,2c) e cioè pari a:

APPROSSIMAZIONE DELLA PROBABILITÀ DI UN EVENDO RICORRENDO A UNA PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO IN PARTI EQUIPROBABILI Si consideri la partizione A1, A2, …, AN, N  2, dello spazio campionario . Si assuma che coerentemente con lo stato di informazione disponibile si valuti: P(Ai) = p, i=1,2,…,N. In questo caso, per ogni sottoinsieme B di  sono determinabili due sottoinsiemi di  rispettivamente Binf e Bsup, ordinabili nella relazione di implicazione e per i quali si avrà: Binf  B  Bsup; Binf sarà definito come unione di un determinato numero n-(Binf) di parti; Bsup sarà definito come unione delle medesime parti più ulteriori parti aggiuntive in modo tale che valga la relazione di inclusione suddetta. Tenendo presente il teorema delle probabilità totali e le proprietà fondamentali della probabilità e che le parti considerate sono equiprobabili, si avrà pertanto: [n(Binf)/N] = P(Binf)  P(B)  P(Bsup) = [n(Bsup)/N].

PROLUNGAMENTO DELLA VALUTAZIONE DI PROBABILITA La proprietà di additività della probabilità è una condizione di coerenza nella valutazione di probabilità ed è vista come proprietà operativa che permette di ottenere la probabilità dell’unione di due eventi incompatibili a partire dalle loro singole valutazioni di probabilità. La proprietà di additività della probabilità è una condizione di coerenza nella valutazione di probabilità quando si pensa di realizzare una partizione più fine. Le valutazioni di probabilità delle parti della partizione più fine dovranno essere coerenti con quelle delle parti della originaria partizione dello spazio campionario. Più in generale può partire dalla valutazione delle probabilità di un determinato numero n di eventi A1, A2, …, An, di diretto interesse e determinare a partire da essi gli s, (s  2n), costituenti ci, i=1,2,…,s, considerabili come eventi elementari. Gli eventi costituenti sono definiti considerando tutti gli 2n prodotti logici degli n eventi originariamente considerati potendo i singoli eventi essere affermati o negati, si avrà pertanto: ci = A*1 A*2  …  A*n; con A*jpari ad Aj, oppure al complemento di Aj, j=1,2,…,n. Naturalmente più di uno degli 2n prodotti logici degli n eventi originariamente valutati può fornire l’evento impossibile.

PROLUNGAMENTO DELLA VALUTAZIONE DI PROBABILITÀ (CONTINUAZIONE) La valutazione di probabilità degli originari n eventi sarà ammissibile se e solo se esiste almeno una soluzione p1, p2, …, ps, con: pj  0, j =1,2,…,s coerente con le valutazioni originariamente date. Poichè ogni evento Ai originariamente considerato potrà essere costituito come unione di un determinato numero n(Ai) di costituenti, posto P(ci,t)=pi,t; la probabilità del costituente t-esimo dell’evento i-esimo Ai, per ogni evento originale Ai, dovrà risultare: La somma è estesa a tutte e sole valutazioni di probabilità degli costituenti dell’evento Ai considerato, i=1,2,…,n.

COSTITUENTI B E A C1 = A  B  E C2 = A  B  E C3 = A  B  E

ESTENSIONE COERENTE DELLA VALUTAZIONE DI PROBABILITÀ: EVENTI COSTITUENTI Si considerino tre lanci successivi di una moneta EVENTI CON PROBABILITÀ ASSEGNATE: NEGAZIONI: T1 = esce Testa al primo lancio C1 = esce Croce al primo lancio T2 = esce Testa al secondo lancio C2 = esce Croce al secondo lancio T3 = esce Testa al terzo lancio C3 = esce Croce al terzo lancio COSTITUENTI CON PROBABILITÀ DA DETERMINARE 1 = T1 T2 T3 2 = T1 C2 T3 3 = T1 T2 C3 4 = T1 C2 C3 5 = C1 T2 T3 6 = C1 C2 T3 7 = C1 T2 C3 8 = C1 C2 C3

COSTITUENTI Si considerino tre lanci successivi di un dado da gioco EVENTI: NEGAZIONI: S1 = esce il Sei al primo lancio N1 = Non esce il sei al primo lancio S2 = esce il Sei al secondo lancio N2 = Non esce il sei al secondo lancio S3 = esce il Sei al terzo lancio N3 = Non esce il sei al terzo lancio COSTITUENTI 1 = S1 S2 S3 2 = S1 N2 S3 3 = S1 S2 N3 4 = S1 N2 N3 5 = N1 S2 S3 6 = N1 N2 S3 7 = N1 S2 N3 8 = N1 N2 N3 S1 = {1, 2 , 3 , 4 }; S2 = {1, 3 , 5 , 7 }; S3 = {1, 2 , 5 , 6 }; pi = p(i), i=1,2,…,8; (pi  0, i=1,2,…,8) p(S1) = p1+ p2 + p3 + p4; p(S2) = p1+ p3 + p5 + p7; p(S3) = p1+ p2 + p5 + p6; p1+ p2 + p3 + p4 + p5+ p6 + p7 + p8 = 1.

COSTITUENTI Si considerino tre lanci successivi di una moneta EVENTI: NEGAZIONI: T1 = esce Testa al primo lancio C1 = esce Croce al primo lancio T2 = esce Testa al secondo lancio C2 = esce Croce al secondo lancio T3 = esce Testa al terzo lancio C3 = esce Croce al terzo lancio Probabilità assegnate: P(T1)= 1/2, P(T2)= 1/2, P(T2)= 1/2. Costituenti 1a soluz. 2a soluzione H(5,5) 3a soluzione P(1,1) 1 = T1 T2 T3 p1 =1/8 p1 = 5·4·3/(10·9·8) = 3/36 p1 = 1·2·3/(2·3·4) =3/12 2 = T1 C2 T3 p2 =1/8 p2 = 5·5·4/(10·9·8) = 5/36 p2 = 1·1·2/(2·3·4) =1/12 3 = T1 T2 C3 p3 =1/8 p3 = 5·4·5/(10·9·8) = 5/36 p3 = 1·2·1/(2·3·4) =1/12 4 = T1 C2 C3 p4 =1/8 p4 = 5·5·4/(10·9·8) = 5/36 p4 = 1·1·2/(2·3·4) =1/12 5 = C1 T2 T3 p5 =1/8 p5 = 5·5·4/(10·9·8) = 5/36 p5 = 1·1·2/(2·3·4) =1/12 6 = C1 C2 T3 p6 =1/8 p6 = 5·4·5/(10·9·8) = 5/36 p6 = 1·2·1/(2·3·4) =1/12 7 = C1 T2 C3 p7 =1/8 p7 = 5·5·4/(10·9·8) = 5/36 p7 = 1·1·2/(2·3·4) =1/12 8 = C1 C2 C3 p8 =1/8 p8 = 5·4·3/(10·9·8) = 3/36 p8 = 1·2·3/(2·3·4) =3/12 P(T1)=p1+p2+p3+p4 = 4/8 18/36 6/12 P(T2)=p1+p3+p5+p7 = 4/8 18/36 6/12 P(T3)=p1+p2+p5+p6 = 4/8 18/36 6/12