PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le matrici Bruna Consolini

DEFINIZIONE DI MATRICE Una matrice A(m,n) è una tabella finita di elementi ai,j  I posti su righe e colonne i = 1, 2 … m - j =1, 2 … n

ESEMPI

MATRICI PARTICOLARI MATRICE SIMMETRICA MATRICE NULLA MATRICE IDENTITA’ MATRICE TRIANGOLARE

TIPI DI MATRICI Matrice rettangolare mxn con m  n Matrice quadrata se m = n Matrici hanno la stessa dimensione se hanno lo stesso numero di righe e di colonne Matrici sono uguali se hanno la stessa dimensione e se sono uguali gli elementi della stessa posizione Matrice trasposta M’ di M se si scambiano le righe con le colonne

SOMMA DI MATRICI Si definisce matrice somma di due matrici A(m,n) e B(m,n) la matrice che ha come elementi la somma delle coppie di elementi che occupano la stessa posizione. A(m,n)=(ai,j) B(m,n)=(bi,j) S(m,n) = (si,j) si,j = ai,j + bi,j A e B devono avere la stessa dimensione … S ha ancora la stessa dimensione

ESEMPIO SOMMA La somma può essere calcolata per matrici quadrate o rettangolari… La matrice nulla funge da elemento neutro Per ogni matrice A esiste la matrice opposta -A

DEFINIZIONE DI GRUPPO L’insieme R(mxn) delle matrici di dimensioni mxn dotato dell’operazione somma è un gruppo commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico G4) – proprietà commutativa

PRODOTTO DI MATRICI Si definisce matrice prodotto di due matrici A(m,n) e B(n,p) la matrice P(m,p) i cui elementi sono la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B A(m,n) =(ai,j) B(n,p)=(bj,k) P(m,p) = (pi,k) pi,k = ai,1b1k + ai,2b2,k+….ai,nbn,k A deve avere il numero delle colonne uguale al numero delle righe di B P ha il numero di righe di A e il numero di colonne di B

ESEMPIO PRODOTTO

PRODOTTO… PROP. ASSOCIATIVA E DISTRIBUTIVA

PRODOTTO… PROP. ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO SOLO PER MATRICI QUADRATE

PRODOTTO… PROP. ESISTENZA MATRICE INVERSA PRIMO CASO SECONDO CASO SOLO PER MATRICI QUADRATE

PRODOTTO … PROP. COMMUTATIVA Date 2 matrici A e B per cui si può calcolare P1=A*B, Non sempre si può calcolare P2=B*A Esempio A(2,3) B(3,4) Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere dimensioni diverse Esempio A(2,3) B(3,2)  P1(2,2) P2(3,3) Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere stessa dimensione ma valori differenti Esempio ……………….

ESEMPIO PRIMO CASO SECONDO CASO

PRODOTTO… LEGGE DELL’ANNULLAMENTO Date due matrici non nulle è possibile che A*B=O Dati due numeri vale sempre n*m=0  n=0  m=0

PRODOTTO… LEGGE DELLA CANCELLAZIONE Date tre matrici è possibile che A*B=A*C anche se BC Dati due numeri vale sempre n*m=n*p  m=p

DEFINIZIONE DI MONOIDE L’insieme R(nxn) delle matrici quadrate di dimensioni nxn dotato dell’operazione prodotto è un monoide non commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro

L’ANELLO DELLE MATRICI QUDRATE La struttura (R(nxn) ,+, * ) delle matrici quadrate di dimensioni nxn dotata delle operazioni somma e prodotto è un anello unitario non commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – (R(nxn) ,+) è un gruppo commutativo G2) – (R(nxn) ,* ) è un monoide non commutativo G3) – il prodotto è distributivo rispetto alla somma

PER DIVENTARE UN CORPO… MATRICI MATRICI SINGOLARI SOLO MATRICI QUADRATE NON SINGOLARI

DETERMINANTE Si definisce determinante di una matrice quadrata A(n,n) avente come elementi dei numeri reali un numero reale indicato con det(A) Per le matrici det(A)=a1,1 *a2,1 – a1,2 *a2,1 Per le matrici A(n,n) esiste la regola di Laplace

COMPLEMENTO ALGEBRICO Si definisce complemento algebrico di un elemento ar,s di una matrice quadrata A(n,n) il determinante della matrice ottenuta sopprimendo alla matrice A la r-sima riga e la s-sima colonna preceduto da segno + se r+s è pari, dal segno – se r+s è dispari Esempio:

MATRICE INVERSA

MATRICI QUADRATE NON SINGOLARI La struttura (R(nxn) ,+, * ) delle matrici quadrate non singolari di dimensioni nxn dotata delle operazioni somma e prodotto è un corpo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – (R(nxn) ,+) è un gruppo commutativo G2) – (R(nxn) ,* ) è un gruppo G3) – il prodotto è distributivo rispetto alla somma