PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le classi di resto Simonetta Guglielmetto

DEFINIZIONE DI GRUPPO GRUPPO Un insieme G dotato di una operazione binaria interna , è un GRUPPO se sono verificate le seguenti proprietà: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama GRUPPO COMMUTATIVO O ABELIANO.

DEFINIZIONE DI ANELLO ANELLO Un insieme A dotato di due operazioni binarie interne , * è un ANELLO se vengono rispettate le seguenti condizioni: A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano A2) – la struttura (A, *) è associativa A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a  Se * è commutativa, si ha un ANELLO COMMUTATIVO Se esiste l’elemento neutro di * , si ha un ANELLO UNITARIO

DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO Un insieme C dotato di due operazioni binarie , * è un CORPO se vengono rispettate le seguenti condizioni: C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano C2) – la struttura (C0, *) è un gruppo C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a  Un corpo è detto CAMPO se (C, ,*) e l’operazione * è commutativa

RELAZIONI IN UN INSIEME E LORO PROPRIETA’ Dato un insieme A si chiama relazione definita in A ogni legge che associa elementi di A con elementi di A Esempi : 1) A = insieme degli alunni di una scuola Relazione R: a R b  a e b appartengono alla stessa classe 2) A= insieme dei numeri interi Relazione R: a R b  a < b

Una relazione definita in un insieme A può verificare alcune proprietà : RIFLESSIVA : a  A a R a ANTIRIFLESSIVA : SIMMETRICA : a,b  A se a R b allora b R a ANTISIMMETRICA : a,b  A se a R b e b R a allora a=b TRANSITIVA : a,b,c  A , se a R b e b R c allora anche a R c

Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE D’ORDINE LARGO se verifica le proprietà RIFLESSIVA, ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA ESEMPIO: In Z la relazione R: a R b  a  b Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA se verifica le proprietà RIFLESSIVA, SIMMETRICA E TRANSITIVA A = insieme degli alunni di una scuola a R b  a e b appartengono alla stessa classe

Si può dimostrare la seguente proprietà: LE CLASSI DI RESTO DEFINIZIONE: due numeri interi a e b sono CONGRUI MODULO n se differiscono per un multiplo di n e si scrive a  b mod n se a – b = nk Indicando con nZ l’insieme dei multipli interi di n si può anche dire che a  b mod n se a – b  n Z Si può dimostrare la seguente proprietà: a  b mod n solo se i resti della divisione di a e b per n sono uguali Esempi  15 mod 4 25  49 mod 6 -7  5 mod 3 (perché?) -15 ?? mod 2

a = b q + r con la condizione 0  r <|b| Proprietà : Dati due numeri interi a e b, con b≠ 0, esistono sempre e sono unici i due numeri interi q e r tali che: a = b q + r con la condizione 0  r <|b| Se a  0 e b > 0 la divisione è quella tra i numeri naturali Es. 15:2 15 = 2  7 + 1 q=6 r=1 Se a  0, si esegue la divisione di – a per b, ma considerando il resto negativo e poi si cambia segno sia al quoziente sia al resto Es. -12 : 5 12=5  3 - 3 – 12 = 5  (- 3) + 3 q=-3 r =3

La relazione di congruenza modulo n definita in Z gode delle proprietà riflessiva : a  a mod n simmetrica : se a  b mod n allora b  a mod n transitiva : a  b mod n e b  c mod n allora anche a  c mod n Pertanto si possono costruire n classi di equivalenza [0],[1],[2],…, [n-1] dette CLASSI DI RESTO MODULO N e costruire l’insieme quoziente Zn

[0]=insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 0, dove [0]=insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 0, [1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 1, [2] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 2, [n-1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è n-1 Esempi Z2=  [0],[1]  Z4=  [0],[1],[2], [3]  Z5=  [0],[1],[2], [3],[4]  Z6= [0],[1],[2], [3],[4],[5] 

OPERAZIONI IN Zn Definiamo in Zn l’operazione ADDIZIONE [a] + [b] =[a+b] e l’operazione MOLTIPLICAZIONE [a]  [b] =[a  b] Costruiamo le relative tabelle nel caso di n=2,3,4,5,6 Z2 + 1  1

+ 1 2  1 2 Z3  1 2 3 Z4 + 1 2 3

Z5 + 1 2 3 4  1 2 3 4

+ 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5 Z6

ESERCIZI Verificare per ogni operazione le proprietà associativa, commutativa, esistenza elemento neutro, esistenza simmetrico, distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione in Z4, Z5,Z6

( Zn , + ) è un gruppo abeliano PROPRIETA’ DI ( Zn , + ,  ) Dalle tabelle precedenti si osserva che l’operazione ADDIZIONE è sempre associativa, commutativa, esiste l’elemento neutro esiste il simmetrico di ogni elemento quindi ( Zn , + ) è un gruppo abeliano

Dalle tabelle precedenti si osserva che l’operazione MOLTIPLICAZIONE è sempre associativa, commutativa, esiste l’elemento neutro esiste il simmetrico di ogni elemento SOLO in Z3 e Z5 vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione NON vale la legge di annullamento del prodotto in Z4 e Z6

è un ANELLO UNITARIO COMMUTATIVO ( Zn , +,  ) è un ANELLO UNITARIO COMMUTATIVO ( Zn , +,  ) è un CAMPO solo se n è primo

Esercizio: Costruire le tabelle relative a Z9 e verificare che si tratta solo di un anello unitario commutativo ; individuare quali elementi non hanno il simmetrico e cercare una legge che li individui in Zn Verificare che la nota prova del nove della moltiplicazione altro non è che un’applicazione delle classi di resto modulo 9