Istituzioni di Fisica Subnucleare A Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 3 Le simmetrie 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Le simmetrie in meccanica quantistica Le regole che limitano la possibilità di uno stato iniziale di trasformarsi in qualche stato finale in un processo quantistico (collisione o decadimento) sono chiamate leggi di conservazione e sono espresse in termini di numeri quantici degli stati. Ci sono diversi tipi di numeri quantici Additivi continui  una trasformazione finita si ottiene come somma di trasformazioni infinitesime. Traslazioni nello spazio-tempo  Energia e momento. Rotazioni spaziali  Momento angolare Additivi discreti. Carica elettrica, numero barionico, numero leptonico. La “carica” di n particelle con carica c è nc Simmetrie interne. Sono continue; le trasformazioni avvengono in uno “spazio unitario” e corrispondono a diverse combinazioni all’interno di un dato gruppo di particelle che si comportano in modo analogo. Invarianza di carica delle forze nucleari  isospin, SU(2); inclusione delle particelle strane  SU(3) Moltiplicativi discreti. Non si possono costruire a partire da trasformazioni infinitesime. I più importanti: inversione degli assi P, coniugazione particella-antiparticella C, inversione del tempo T. Lo stato torna se stesso per doppia applicazione P2=C2=T2=1  P=±1, C= =±1, T =±1 La conservazione o meno di un determinato numero quantico in una determinata interazione deve essere stabilita sperimentalmente IF e IEM conservano P, C e T, ID violano P, C, CP 3/27/2017 C.3 A. Bettini

La parità L’operazione P inverte le coordinate (equivalente, inverte una) r  –r Lascia invariato il tempo t t Di conseguenza inverte le quantità di moto (vettori) p  –p E lascia invariati i momenti angolari (vettori assiali) rp  rp La parità del vuoto è per definizione + Per una particella di momento p e spin s Una singola particella può essere autostato di P solo se ferma La parità intrinseca zP della particella è definita come l’autovalore dell’operatore P nel riferimento in cui la particella è ferma. Può essere zP=+1 (pari) o zP=–1 (dispari) Per i bosoni la parità intrinseca può definirsi senza ambiguità con le leggi di conservazione 3/27/2017 C.3 A. Bettini

La parità I fermioni hanno spin semintero e la conservazione del momento angolare impone la loro produzione in coppie. Si possono definire solo parità relative. Per convenzione P(p) = +1 L’equazione di Dirac e, più in generale la teoria dei campi, implicano che le parità di un fermione e della sua antiparticella siano opposte, di un bosone e del suo anti-bosone siano uguali. Quindi, in particolare, P(≠p) = –1, P(e+)=–1 Gli iperoni strani sono prodotti dalle interazioni forti in coppia con un’altra particella strana, il che impedisce di determinare le parità di entrambi. Non si può usare il decadimento Lpπ– che, come interazione debole, non conserva la parità. Per convenzione P(L)=+1 Per definizione tutti i quark hanno parità +1 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Il fotone Consideriamo un atomo di idrogeno che si disecciti dallo stato H** allo stato H*. Le transizioni sono di dipolo elettrico (E1). Vale la regola ∆l=±1, quindi anche cambio di P Dato che la parità si conserva, il fotone ha JP=1– Stessa cosa, diversamente: il fotone è il corrispondente quantistico del potenziale vettore A che è un vettore In generale una particella di spin J=1 ha, rispetto ad un asse prefissato, ad esempio la linea di volo 2J+1 = 3 componenti Si dimostra che il fotone (e in generale le particelle di massa nulla) ne ha solo 2. Corrispondono ai due stati classici di polarizzazione circolare destra e sinistra J J I due stati di polarizzazione del fotone p p 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Parità di due pioni. nuova Sistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche z1 e z2 nel sistema del cm. Si muovono una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m> Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli q,f, l’altra –p: lo stato |p,q,f>= |p, –p> L’inversione spaziale in coordinate polari r  r q  π – q f  π + f 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Parità di due pioni Sistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche z1 e z2 nel sistema del cm. Si muovono una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m> Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli q,f, l’altra –p: lo stato |p,q,f>= |p, –p> L’inversione spaziale in coordinate polari r  r q  π – q f  π + f 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Parità di due mesoni, di fermione-antifermione Due mesoni, m1, m2 dello stesso tipo con la stessa parità intrinseca  z1 z2 = + Se nel CM è autostato Qualsiasi siano gli spin  P=(–1)l I pioni hanno JP = 0– quindi l=J Diversi π+π– o π±π˚ JP= 0+, 1–, 2+, 3–,… (parità “naturale”) Uguali π+π+, π–π– o π˚π˚, per Bose l=J= pari JP= 0+, 2+,… Fermione-antifermione: f≠f Parità intrinseca opposte  z1 z2 =– Qualsiasi siano gli spin  P=(–1)l+1 Trovare i valori di JP di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p≠p, e+e–, q≠q) Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+ Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ 1S0  JP=0–, 3S1  JP=1– 1P1  JP=1+, 3P0  JP=0+, 3P1  JP=1+, 3P2  JP=2+. 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Test della conservazione di P I test più sensibili della conservazione di P nelle interazioni forti sono basati sulla ricerca di decadimenti di stati nucleari o di mesoni che potrebbero avvenire tramite interazione forte se questa violasse P Esempio 1: decadimento di uno stato pseudovettore in due scalari uguali, 1+ 0++ 0+, non può avvenire conservando P Le velocità di decadimento e le sezioni d’urto sono proporzionali al quadrato del modulo dell’ampiezza di transizione |T|2, che è scalare sia che T sia scalare sia che sia pseudoscalare. Per avere un effetto devono contribuire entrambe T = TS+TP Un caso è il decadimento del livello eccitato del 20Ne (Q=13.2 MeV) 20Ne*(1+)  16O (0+)+ a Si cerca una risonanza nel processo p + 19F [20Ne*(1+)]  16O (0+)+ a Non trovata Esempio 2. Un mesone pseudoscalare, come la h non può decadere in 2π 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Coniugazione “di carica” C applicato ad una particella la trasforma nell’antiparticella, lasciando lo spazio invariato, ma cambiando segno a tutti i numeri quantici interni (cariche). (Se si incontrano si annichilano, resta il vuoto, con cariche tutte nulle) Il fotone corrisponde in EM classico al potenziale vettore A. Cambia segno se si sostituiscono le particelle che lo creano con le antiparticelle (le cariche cambiano segno) Il fotone ha coniugazione di carica negativa C è moltiplicativo, quindi per ng C(ng) = n C(g)=(–1)g Per trovare C(π˚), consideriamo il decadimento π˚ 2g  C(π˚) = + Analogamente dall’esistenza di h 2g  C(h) = + Per i π carichi C|π+> = + |π–> Test della conservazione di C nelle interazioni EM e forti sono basati sulla non osservazione di decadimenti proibiti. Ad es. per EM 3/27/2017 C.3 A. Bettini

C per coppia particella-antiparticella Stato di un mesone e sua antiparticella, senza spin, nel c.m.. Autostato del momento angolare: momento p, momento angolare l, terza componente m Le due parità sono tra loro uguali e così le coniugazioni di carica z1 z2=1, x1 x2=1 C scambia le due e quindi è equivalente a P Stato di un mesone e sua antiparticella con spin totale (≠momento angolare totale) S. Per scambio di spin  (–1)s Per esempio 11 = 0 (simmetrico) 1 (antisimmetrico)  2 (simmetrico) Parità intrinseche uguali Stato di un fermione e sua antiparticella con spin totale s. Per scambio di spin  (–1)s+1 Per esempio 1/21/2 = 0 (antisimmetrico) 1 (simmetrico) Parità intrinseche opposte P C m≠m (–1)l (–1)l+s f≠f (–1)l+1 3/27/2017 C.3 A. Bettini

P e C per coppia fermione-antifermione P=(–1)l+1 C=(–1)l+s Trovare i valori di JPC di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p≠p, e+e–, q≠q) Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+ Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ 1S0  JPC=0–+ 3S1  JPC=1– – 1P1  JPC=1+ – 3P0  JPC=0+ + 3P1  JPC=1+ + 3P2  JPC=2+ + JPC= 0+–, 0– –, 1– + ,…..non possono essere fatti da quark e antiquark se i quark hanno spin 1/2 3/27/2017 C.3 A. Bettini

CPT, C, P, T L’invarianza delle leggi fisiche sotto la trasformazione combinata CPT è richiesta da principi estremamente generali di teoria di campo relativistica La conseguenza più importante è che masse e vite medie di particella e antiparticella debbono essere identiche. I test sperimentali più semplici sono basati sulla ricerca di eventuali differenze. Negli anelli di accumulazione di p e≠p questi circolano per parecchie ore percorrendo l’anello qualche miliardo di volte. Dall’uguaglianza delle traiettorie nei due casi si ricava il limite, diretto 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Parità del π– Il processo è la cattura del π– dal deuterio π– d 2n avviene solo se P(π–) = – Se si porta un fascio di π– di energia molto bassa in un criostato contenente deuterio liquido, se l’energia è abbastanza bassa i π si fermano Vengono catturati in un’orbita atomica di alti valori di n e l in un tempo brevissimo (4 ps); altrettanto velocemente (1 ps) arrivano a n dell’ordine di 7 I π– che si trovano in un’onda S hanno funzione d’onda si sovrappone molto col nucleo e ne vengono assorbiti subito. Se non sono inizialmente in un’onda S ci arrivano rapidamente. Infatti l’atomo “mesico” è molto più piccolo degli atomi normali (mπ>>me) e penetra dentro le molecole dove il campo E è intenso. L’effetto Stark mescola i livelli, ripopolando le onde S  la teoria (Day, Sucher, Snow, ‘60) prevede che cattura avvenga quasi sempre da stati con l=0 È stato verificato sperimentalmente misurando i raggi X emessi nelle transizioni descritte Spin del deuterio sd=1, spin del π sπ=0, l =0  momento angolare totale J=1 I due neutroni debbono stare in uno stato complessivamente anti-simmetrico: 1S0,3P0,1,2,1D2,… Il solo stato con J=1 è 3P1 che ha parità P =(–1)l+J+1 =(–1)1+1+1= – P(π–)P(d)=– p e n nel d sono in onda S  P(d)= P(p) P(n) P(π–)P(n) P(p)=– P(p) = P(n) P(π–)= – la cattura avviene (Panofsky et al. 1951), P(π–) è negativa 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Decadimento del pione (1/3) Ma lo spazio delle fasi favorisce molto il decadimento in elettrone. Perché il rapporto è così piccolo? Conservazione dell’energia nel CM Elemento di matrice? Il grafico rappresenta il processo a livello dei quark. Teniamo conto del vertice a sinistra includendo nell’elemento di matrice la “costante di decadimento del π”, fπ (da determinare sperimentalmente) 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Decadimento del pione (2/3) L’elemento di matrice deve essere scalare, pseudoscalare o una combinazione dei due dato che la parità non è conservata. Lo stato iniziale è pseudosclare L’eelemento di matrice può contenere a priori qualsiasi degli invarianti bilineari Abbiamo degli scalari (le masse)  OK S e PS Abbiamo un quadrivettore energia-momento totale  OK V e A Non possiamo usate T 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Decadimento del pione (3/3) Se la corrente debole è di tipo V per l’equazione di Dirac Conclusione: L’elemento di matrice è proporzionale alla massa del leptone carico spiega l’ordine di grandezza del rapporto Se la corrente debole è di tipo A La conclusione vale sia per V sia per A, sia quindi per qualsiasi combinazione Se corrente S o P non c’è proporzionalità a m2, quindi non vanno bene Altri esperimenti  V–A SF Elemento di matrice Calcolando con V–A fπ= 130 MeV 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Numero barionico Numero barionico (totale) Conservato da tutte le interazioni note Migliori limiti sperimentali da SuperK Per confronto: età Universo = 1010 a Tre quark in un barione  quark hanno B=1/3 I sapori dei quark sono conservati dalle IF, IEM, ma non dalle ID 3/27/2017 C.3 A. Bettini

p  e+ π˚ Se il numero barionico non è conservato da qualche interazione, il protone può decadere: modi più probabili p  e+ π˚ e p  K+ ≠n Masse sensibili necessarie > kt. Due tipi di rivelatori traccianti: non hanno raggiunto la massa necessaria Cerenkov: limiti dominati da SuperKamiokande, Cerenkov a H2O con massa di fiducia = 22 kt 10/18 sono protoni Esposizione= 91.6 kt a   30 x1033 protoni x anno Efficienza  44%, circa il 50% delle volte il pione interagisce con il nucleo 3/27/2017 C.3 A. Bettini

p  K+ ≠n Il K+ ha velocità sotto soglia Cerenkov in acqua Il protone decadrebbe a riposo, cioè CM Energia di soglia del K Ma il K decade Kµ nm decade e il µ è sopra soglia “Fondo” = 1.3 eventi, efficienza ≈ 50%. La tecnica permette di esplorare un altro ordine di grandezza Ma serve un Cerenkov (o comunque un rivelatore) di 1 Mt 3/27/2017 C.3 A. Bettini

I numeri leptonici Numero leptonico (tot.) L = N(e– + ne + m– + n m + t– + n t )–N(e+ + ≠ne + m + + ≠nm + t + + ≠nt ) Numero elettronico L e = N(e– + ne )–N(e+ + ≠ne ) Numero muonico L m = N(m– + n m )–N(m + + ≠nm ) Nuemero tauonico L t = N(t– + n t )–N(t + + ≠nt ) Tutte le interazioni note, forte, elettromagnetica e debole conservano i numeri di “sapore” leptonico e, a maggior ragione, il numero leptonico totale. I test più sensibili dei numeri leptonici di sapore sono basati sulla ricerca di decadimenti proibiti dalle leggi di conservazione Il MS assume la conservazione del numero leptonico totale e di quelli di sapore, ma Oscillazioni dei neutrini mu prodotti dai raggi cosmici nell’atmosferea Cambio di sapore dei neutrini elettronici nel sole 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Invarianza di carica, Spin isotopico o Isospin Anni ‘30 studi  principio di invarianza della carica delle forze nucleari = due stati con lo stesso JP che differiscano per un n sostituito da un p hanno la stessa energia Nel 1930 Heisemberg propose il concetto di isospin: p e n sono due stati di una particella il nucleone, che ha I=1/2 e due stati con Iz=+1/2 e Iz=–1/2 e (doppietto di isospin), in analogia ai due stati di una particella di spin 1/2 Le masse di tutti i membri dello stesso multipletto devono essere uguali  mp=mn La piccola differenza è una “rottura della simmetria” dovuta all’interazione EM La rottura EM della simmetria di isospin è sempre dell’ordine di pochi MeV Gruppo di simmetria: R(3) = SU(2). Multipletto = una rappresentazione del gruppo, contiene tante particelle quanta è la sua dimensione, ciascuna con un valore della carica, e di Iz 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Multipletti di SU(2) Singoletto; 1 oppure I=0 Doppietto; 2 oppure I=1/2 Tripleletto; 3 oppure I=1 Quartetto; 4 oppure I=3/2 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Classificazione di livelli nucleari Quattro tripletti di livelli nucleari, con JP uguali e con masse (energie) quasi uguali Il valore di Iz è definito a partire dalla carica Q (in unità di carica del protone) e dal numero barionico B dalla relazione Iz è funzione della carica, quindi l’indipendenza dalla carica delle forze nucleari (e la conservazione di B) implica che Iz si conservi L’interazione forte conserva I e Iz (analogia con momento angolare), è invariante rispetto a rotazioni nello spazio isotopico. Sotto SU(2) 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Classificazione degli adroni (con u e d) L’ipercarica (del sapore) Y=B+S 3/27/2017 C.3 A. Bettini

L’isospin e i processi dinamici π– p  π˚ n I 1 1/2 I3 –1 –1/2 Interazione forte conserva I e I3 Sperimentalmente la reazione non si osserva. Se avvenisse, sarebbe di IF con violazione di I s <10–2 rispetto ad atteso se I non fosse conservato d  4He π˚ I 1 S0  L g I 1 I3 Interazione elettromagnetica: il fotone è legato alla carica e quindi l’interazione può violare conservazione di I, al massimo di ∆I=1 Ma conserva I3 Il g non è un adrone, non ha isospin L0  p p– I 1/2 1 I3 –1 Q +1 B Interazione debole (anche se non appaiono leptoni) non conservati né I né I3 si conserva carica e numero barionico NB. C trasforma Q–Q e B–B, quindi dato che Q= B +Iz/2, anche Iz –Iz 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Somma di isospin Due stati di isospin, ad esempio due nucleoni, si combinano a formare stati di isospin totale con le stesse regole della composizione dei momenti angolari Nel caso dell’esempio 2  2=3  1 cioè il prodotto di due doppietti è la somma di un singoletto e di un tripletto In generale, sottintendendo le somme sugli indici ripetuti della completezza coff. di Klebsh Gordan Esempio. Il sistema πp può avere I=1/2 o 3/2. Tutte le ampiezze dei processi πp  πp (elastici e scambio carica, sono combinazioni lineari di due ampiezze (complesse) A1/2 e A3/2 . Corrispondono a 3 numri reali, perché la fase complessiva non è osservabile 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Diffusioni πp La previsione è verificata sperimentalmente e fornisce |A3/2| Le altre due sezioni d’urto dipendono da questa e da due altri parametri |A1/2| e arg(A3/2*A1/2), cioè la fase relativa delle due ampiezze di isospin A basse energie le sezioni d’urto presentano un grande risonanza (di Fermi), la ∆, che ha I=3/2 come si deduce dal fatto che l’ampiezza |A3/2| domina le sezioni d’urto. Si osserva infatti che Gli esperimenti danno a √s = 1.236 GeV 195:22:45 mb 3/27/2017 C.3 A. Bettini

C La parità G Il π˚ è autostato della coniugazione di carica π+ e π– si scambiano Tutti autostati di C seguita da una rotazione di 180˚ attorno a Iy C ` ` G è conservata dalle IF, non dalle IE e ID è limitata a sistemi con B=S=0 Se I=1, come per pioni, stato con Iz=0, ha G=–C Se I=0 ovviamente G=C 3/27/2017 C.3 A. Bettini

Simmetria della funzione d’onda Due spin (isospin) 1/2 si combinano a fare spin (isospin) totale 0 oppure 1 Tripletto S=1 Simmetrico Singoletto S=0 Antisimmetrico ne segue che (isospin) deve essere antisimmetrica  Id=0, il deuterio infatti è singoletto Due spin (isospin) 1 si combinano a fare spin (isospin) totale 0, 1 oppure 2 S=2 Simmetrico S=1 Antisimmetrico S=0 Simmetrico 3/27/2017 C.3 A. Bettini