Istituzioni di Fisica Subnucleare A Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 5 Elettrodinamica quantistica 3/27/2017 C.4 A. Bettini

I componenti del modello standard. I quark Ci sono 6 quark, ciascuno con un “sapore” (per d e u è Iz) Tre coppie con cariche –1/3 e 2/3 segno del sapore del quark = segno carica elettrica IF e EM conservano tutti i sapori, non trasformano un quark in un altro, le ID li violano I quark hanno JP=1/2+ Ipercarica definita come Non esistono liberi; i valori delle masse hanno significato solo entro uno schema teorico assunto B Q I Iz S C T m d 1/3 –1/3 1/2 –1/2 4 - 8 MeV u 2/3 +1/2 1.5 - 4 MeV s –1 80 - 130 MeV c +1 1.15 - 1.35 GeV b 4.1 - 4.4 GeV t 173±3 GeV 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Invarianza di gauge dell’EM La costante di accoppiamento dell’interazione EM è la costante di struttura fine a è adimensionale, quindi indipendente da unità di misura e piccola La carica elettrica si conserva. Miglior limite Conservazione carica elettrica  invarianza sotto il gruppo di gauge U(1) Macroscopicamente: equazioni di Maxwell implicano conservazione della carica sono gauge-invarianti c(r,t) = funzione di gauge Fock 1929; la lagrangiana quantistica è gauge invariante se si cambia contemporaneamente anche la funzione d’onda dell’elettrone (della particella) di un fattore di fase dipendente dal punto-istante Si scrive l’hamiltoniana del campo EM libero più quella dell’elettrone libero, si impone l’invarianza di gauge; si ottiene l’interazione elettromagnetica 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Invarianza di gauge Tutte le interazioni hanno lagrangiana invariante sotto un gruppo di gauge Ciò implica in ogni caso una carica conservata in modo assoluto La struttura del gruppo determina la struttura della carica corrispondente QED: gruppo U(1); una carica=elettrica, positiva o negativa; mediatore: fotone, massa nulla, senza carica elettrica (non interagiscono tra loro) QCD: gruppo SU(3); Gruppo SU(3), tre carche di colore (R,G,B), ciascuna dei due segni; mediatori: 8 gluoni; masse nulle, hanno carica di colore (due ciascuno), interagiscono tra loro EW: gruppo SU(2)U(1); Gruppo SU(2)U(1), contiene anche EM. L’interazione debole dipende dalla chiralità del fermione, che può essere left o right: i due stati hanno carica debole diversa. I mediatori W+, W– e Z˚ hanno masse grandi (80 e 90 GeV rispettivamente); hanno carica debole, interagiscono tra loro Il MS è stato sottoposto a test di precisione alle macchine acceleratrici e ai collisori, senza mai fallire. Ma, nei laboratori sotterranei dedicati allo studio di fenomeni naturali rari si sono osservati fatti in contrasto che implicano che I neutrini di sapore definito, ne, nm e nt non sono stati stazionari, ma si trasformano uno nell’altro al passare del tempo. Sono sovrapposizioni degli stati stazionari n1, n2 e n3. I sapori leptonici sono violati (potrebbe esserlo anche il numero leptonico) I neutrini hanno massa piccolissima, ma non nulla 3/27/2017 C.4 A. Bettini

I fermioni del modello standard 3/27/2017 C.4 A. Bettini

L’atomo di idrogeno Notazione spettroscopica: n 2s+1Lj n = numero quantico principale s = spin totale degli elettroni Per H sempre 2s+1=2 lo omettiamo scrivendo nLj (nSj, nPj, nDj, …) j momento angolare totale degli elettroni (non include quello del nucleo, il che darebbe la struttura iperfina) In prima approssimazione c’è molta degenerazione tra i livelli dell’H La velocità dell’elettrone è << c (b 10–2) Equazione di Schroedinger  se V  –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n Ma se si osserva lo spettro ad alta risoluzione (Fabry-Perot, lamina di Lummer, ecc.) le righe appaiono formate da multipletti  struttura fina Ci interessa il livello n=2 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Esperimento di Lamb e Retherford La struttura fina è un effetto relativistico  equazione di Dirac  al 1˚ in a2 [ (1/137)2] Tutti i livelli, tranne S, si sdoppiano a causa dell’interazione spin-orbita (momento magnetico orbitale con momento magnetico dell’elettrone) Ma per V  –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n e da j non da l E(2S1/2) ≠ E(2P1/2)? Impossibile con spettroscopio Forzare transizioni 2S1/2 2P3/2 creando un campo a radiofrequenza (decine di GHz) Ipotesi ∆E =E(2S1/2) – E(2P1/2)>0 (Lamb shift) il livello 2S1/2 è metastabile (t>>10–8 s) . Infatti 2S1/2 1S1/2 proibita da ∆l=±1 velocità di 2S1/2 2P1/2 (∆E)3 piccolissima 3/27/2017 C.4 A. Bettini

L’effetto Zeeman Supponiamo E(2S1/2)–E(2P1/2)  1 GHz Applicando campo magnetico, i livelli si sdoppiano Per 0.05 < B < 0.25 T circa il livello 2S1/2,m=–1/2 è vicino ad un livello 2P1/2 e si mescola con questo. Non più metastabile decade ( 10–8 s) 2S1/2(m=+1/2) si allontana dai 2P e rimane metastabile 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Lamb e Retherford. L’apparato (1/2) Forno  Dissociazione termica  H atomico (65%); velocità <v>8000 m/s Eccitazione 1S1/2  2S1/2 (1/108) con fascio di elettroni [impossibile tramite luce (Dl=±1)] Campo B (aggiustabile) divide in due tutti i livelli: m=+1/2 e m=–1/2 2S1/2 (m=+1/2) è metastabile t 100µs  percorso d 10–48 103 = 0.8 m tutti gli altri sono instabili t 10 ns  percorso d 10–88 103  0.1 mm Cavità a radiofrequenza (n) per forzare transizioni 2S1/2(m=+1/2)  2P3/2 2P3/2(m=–3/2) non raggiungibile, ∆m=–2 tre transizioni possibili: a 2P3/2(m=–1/2), 2P3/2(m=+1/2), 2P3/2(m=+3/2) se la frequenza n del campo em è in risonanza con una di queste transizioni, per il valore fissato di B, i sono pompati e 2S1/2(m=+1/2) non arrivano al rivelatore al rivelatore 2S1/2 (m=+1/2) arrivano al rivelatore se n e B non sono in risonanza Gli atomi 2P sono metastabili e non arrivano, comunque, al rivelatore 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Lamb e Retherford. L’apparato (2/2) 5. Il rivelatore deve essere sensibile agli atomi eccitati non a quelli nel livello fondamentale. Lastrina di tungsteno lavoro di estrazione dal W, WW 6 eV; per gli atomi eccitati E(n=2)–E(n=1) 10.2 eV quindi un atomo di H eccitato può cedere energia a un elettrone nel W che ne esce 6. Gli elettroni sono raccolti da un sensibile pico-amperometro (I  10–14 A) 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Lamb e Retherford. Risultati Si fissa a un valore opportuno la frequenza n del campo a micro-onde e si varia lentamente B, cercando i valori di risonanza (B*) [per i quali ∆E=µgB*∆m =µgB*=hn]  transizione a 2P  instabile, decade subito a B* si osserva un minimo dell’intensità di corrente Si ripete per diversi valori di n punti rossi Le rette n vs. B* porgono ∆EB=hn vs. B* per ciascuna delle transizioni studiate Estrapolando a B*=0, si ottengono i salti di energia ∆E per le tre transizioni in assenza di campo Rette tratteggiate = teoria di Dirac Risultato: il livello S1/2 è spostato rispetto alla teoria di  1 GHz Più precisamente nel 1952 Contemporaneamente, nel ‘47, P. Kusch scoprì che il fattore g dell’elettrone ≠ 2 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Le conseguenze Enormi conseguenze  teoria completa dell’ Elettrodinamica Quantistica (QED) L’equazione di Dirac rimane valida, ma l’interpretazione deve essere cambiata. Il campo non può più essere considerato come dato a priori, ma deve essere quantizzato (seconda quantizzazione) Questo “grafico di Feynman” rappresenta la linea di vita di un elettrone (il tempo scorre verso destra) che sente il campo del nucleo, scambiando con esso un fotone Il fotone si può “materializzare” in e–e+, che subito si ricombinano ri-formando un fotone Il processo è la “polarizzazione del vuoto” perché avviene anche nel vuoto Ma l’elettrone può emettere un fotone, che presto riassorbe Sia se l’elettrone è libero sia se è legato nell’atomo I due processi spostano diversamente l’energia nei due casi, contribuendo al Lamb shift 3/27/2017 C.4 A. Bettini

La rinormalizzazione L’elettrone interagisce non solo con il campo esterno, ma col campo da lui stesso creato. Come nell’elettromagnetismo classico, questa auto-interazione comporta valori infiniti della massa-energia dell’elettrone Un mese dopo il risultato di Lamb e Retherford nel 1947, Bethe diede un contributo cruciale, riconoscendo che la teoria poteva non occuparsi del valore infinito del termine di auto-interazione, perché non osservabile. Si “rinormalizza” la massa, sottraendo il termine infinito. Per un elettrone nel vuoto il contributo dell’auto-interazione è nullo. Se l’elettrone è legato, il campo esterno modifica l’effetto col risultato di uno spostamento finito dei livelli energetici, in accordo con le misure Il processo successivo dello sviluppo teorico, che comportò la rinormalizzazione non solo della massa, ma anche della carica, si sarebbe concluso con la creazione dell’Elettrodinamica Quantistica (QED) da parte di Tomonaga, Feynman e Schwinger nel 1948-49 3/27/2017 C.4 A. Bettini

La quantizzazione del campo Il moto dell’elettrone nel campo elettrico di un nucleo non è relativistico (b10–2) In prima approssimazione si può considerare il campo esterno come dato a priori, non influenzato dalla presenza e dal moto dell’elettrone. |y|2 è la probabilità di trovare l’elettrone in un certo punto Ma Lamb e Retherford hanno mostrato che ci sono effetti molto piccoli che implicano processi come la polarizzazione del vuoto. In QED il numero di particelle è un osservabile quantistico, con una sua distribuzione di probabilità si deve interpretare diversamente la funzione d’onda, il bispinore y (seconda quantizzazione): essa diviene un operatore, col seguente significato fondamentale Spinore j crea una particella o distrugge un’antiparticella Spinore c distrugge una particella o crea un’antiparticella Le due componenti di ciascuno dei due spinori creano o distruggono stati con le due diverse terze componenti dello spin 3/27/2017 C.4 A. Bettini

L’interazione come scambio di quanti Un elettrone che viaggia nel vuoto non è in realtà solo, ma continuamente emette e riassorbe fotoni In generale una qualsiasi particella a che interagisca col campo di mediatore V continuamente emette e riassorbe V Se nelle vicinanze passa la particella b che interagisce col medesimo campo, essa può assorbire un mediatore a e b interagiscono scambiando il quanto mediatore V In generale il mediatore ha massa, m, quindi il processo di emissione aa+V viola la conservazione dell’energia di ∆E=m! Ma questo può accadere, purché la violazione duri abbastanza poco, ∆t tale che V quindi può propagarsi solo su distanze dell’ordine di R è il raggio d’azione (range) della forza, inversamente proporzionale alla massa del mediatore. In unità naturali R=1/m 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Diffusione da potenziale Il caso più semplice è la diffusione non relativistica di una particella (a) da parte di un potenziale f(r) centrale, dovuto ad un oggetto (centro di forze) di massa molto maggiore. Sia g la “carica” di a  g f(r) è l’energia potenziale Nella diffusione il centro di forze trasferisce alla particella il (tri)momento q = ∆p = pf – pi, ma non energia (urto elastico di pallina contro muro) NB. la particella trasferisce al centro di forze –q Se m è la massa del mediatore, il potenziale è quello di Yukawa, di range R=1/m L’elemento di matrice di transizione è  l’ampiezza di diffusione f(q) è proporzionale alla trasformata di Fourier di g f(r) 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Propagatore bosonico Supponiamo ora che la diffusione sia ancora elastica, ma che la massa M del bersaglio non sia infinita. C’è trasferimento di quantità di moto ∆p = p2 – p1 come prima, ma anche di energia ∆E=E2 – E1 La norma invariante del 4-momento trasferito ∆E, ∆p è indicata con t t < 0 il momento trasferito è di tipo spazio Si dimostra che l’ampiezza di probabilità di diffusione è È il prodotto delle cariche g e g0 (fattori di vertice) e dell’ampiezza di probabilità che ha il mediatore di massa m e 4-momento (∆p,∆E) di propagarsi, che si chiama propagatore Le probabilità dei processi fisici (sezioni d’urto e velocità di decadimento) sono date da |f(t)|2 moltiplicata per il fattore di spazio delle fasi, come vedremo 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Diagrammi di Feynman (1/3) La QED fu la prima teoria relativistica di campo storicamente sviluppata. Feynman sviluppò una serie di regole, visivamente rappresentabili con grafici per calcolare le ampiezze di probabilità dei processi (diffusione, decadimento), dette anche “elementi di matrice” L’ampiezza di probabilità di un processo è la somma (integrale) delle probabilità di tutte le diverse ampiezze che portano dallo stato iniziale allo stato finale Le regole si estendono anche alla QCD e alla teoria elettrodebole EW I grafici si disegnano sul foglio di carta, le linee sono linee-universo delle particelle tempo spazio CONVENZIONE Può rappresentare una qualsiasi particella di spin 1/2 La freccia indica il verso, rispetto a quello del tempo, in cui fluiscono le sue cariche Per concretezza sia un elettrone: con l’elettrone avanzano nel tempo la carica elettrica, il sapore leptonico di elettrone, il momento magnetico La freccia al contrario quindi rappresenta cariche, tutte opposte che avanzano nel tempo: è un positrone (vedi poi) 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Gli elementi dei grafici Particella (ferma) che avanza tempo o antiparticella che regredisce nel tempo Antiparticella (ferma) che avanza tempo o particella che regredisce nel tempo Particella che si sposta verso l’alto o antiparticella che va in basso Fotone Gluone W o Z Vertice Bisogna sommare su tutte le possibilità; sono lo stesso grafico 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Esempio e–+µ– e–+µ– e libero uscente e libero entrante propagatore µlibero entrante µlibero uscente le particelle sulle linee interne sono “virtuali” la relazione tra energia e momento non è quella delle particelle reali, hanno se nel canale t, “massa”= √t immaginaria fattore di vertice, la carica L’ampiezza è proporzionale ad a cioè al quadrato della carica Il grafico rappresenta la somma su tutte le possibili situazioni integrale su tutti i valori del 4-momento del g compatibili con gli stati iniziale e finale i casi in cui il g va indietro nel tempo, cioè sia quando l’elettrone emette il g virtuale e il mu lo assorbe, sia quando il mu emette e l’elettrone assorbe. Il grafico di sopra comprende anche questo a destra 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Grafici di ordine più alto Livello albero: l’ordine più basso nello sviluppo nella “serie perturbativa”, che converge perché i termini successivi sono proporzionali a potenze crescenti di a che è <<1 Attenzione. Il calcolo di un loop è un integrale su tutti i valori possibili delle energie e dei momenti delle particelle del loop. Questi integrali sono infiniti. La cura: rinormalizzazione “loop” fermionico 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Analiticità Il grafico è una funzione analitica che può rappresentare l’ampiezza di diversi processi fisici, girando le gambe esterne (continuando analiticamente da un caso all’altro) Canale t = diffusione elastica eµ Canale s = annichilazione e+e– in µ+µ– Se gli stati iniziale e finale nel canale s e nel canale t sono i medesimi bisogna sommare le due ampiezze e poi prendere il quadrato del modulo + Massa della particella virtuale nel canale t è √t cioè immaginaria Massa della particella virtuale nel canale s è √s, reale ma in genere ≠ particella reale. Se = massa di una particella libera, in risonanza, ad esempio alla y, allora la particella è reale. Differenza tra reale e virtuale è solo quantitativa 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Propagatore fermionico Il propagatore può anche essere un elettrone (virtuale). Esempio: effetto Compton Un solo grafico Canale s Canale t 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Propagatore fermionico. Canale t Fissati quantità di moto e energie di elettrone e fotone iniziali, elettroni e fotone finali, si deve integrare su tutte le possibilità, conservando energia e momento a entrambi i vertici Il propagatore può avere qualsiasi direzione La funzione analitica ampiezza non si annulla fuori dal cono di luce. Conseguenza dell’indeterminazione quantistica nella misura della velocità Se AB di tipo spazio, l’elettrone viaggia più veloce della luce In altro riferimento B prima di A. Elettrone indietro nel tempo. Questo osservatore interpreta: A: il fotone si materializza in coppia e–e+, in B positrone trova elettrone e si annichilano in fotone finale. La particella virtuale di uno è antiparticella virtuale dell’altro Interpetazione non Lorentz invariante, grafico di Feynman Lorentz-invariante Meccanica quantistica + Invarianza di Lorentz = antiparticelle 3/27/2017 C.4 A. Bettini

e+e–µ+µ– Gli anelli di accumulazione e+e– permettono di realizzare in laboratorio uno stato quantistico puro, di numeri quantici definiti: tutte le cariche e sapori nulli, JPC=1– – Il fotone virtuale di massa √s si trasforma in un adrone in risonanza √s =m come per y,  o (poi) Z, ma molte informazioni anche fuori rispnanze, nel “continuo” e+e–µ+µ– semplice perché solo canale s, a differenza di e+e–e+e– µ+µ– semplici da rivelare, a differenza di t+t– teoricamente puro, a differenza di adroni Trascurate masse rispetto alle energie e considerato pf=pi Calcolo dell’elemento di matrice (Lorentz invariante) mostra che esso non dipende dall’energia 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Due situazioni fondamentali dato che |Mif|2 = costante  (a/s)2 s2  (propagatore)2 s2 gW adimensionale [GF]=[E–2]=[L2] [s] = [L2] = [E–2] propagatore costante s s Costante d’accoppiamento adimensionale [s] = [L2] = [E–2] Se E>>m, sola energia in gioco √s  s 1/s Le sezioni d’urto dei processi elementari ad alte energie sono proporzionali a 1/s 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Dipendenza dall’angolo. Con elicità Il fotone (virtuale) può avere nella direzione del moto Jz=+1 o Jz=–1 + approssimazione di masse nulle 3/27/2017 C.4 A. Bettini

La sezione d’urto adronica s (adronica) 87(nb)/s(GeV) Gli stati finali≠qq non sono in generale distinguibili sperimentalmente. Si misura la somma 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Rinormalizzazione √aeff  QED risolve il problema delle divergenze con il processo di rinormalizzazione della massa e della carica. Si definiscono una carica “nuda” che non è osservabile ed una carica efficace (quella che si misura); ciò consente di introdurre nella Lagrangiana dei controtermini (infiniti) che vengono sottratti cancellando le divergenze, pur mantenendo la stessa forma della Lagrangiana originale √aeff  √a Analogia:una carica immersa in un dielettrico ne polarizza le molecole, che la schermano. Alla misura quindi appare minore di quanto sia. Se si misura la diffusione di una particella sonda questa “vede” la carica bersaglio tanto minore quanto più distante passa da essa 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Evoluzione della costante di accoppiamento Nel vuoto sono le coppie e+e– delle fluttuazioni quantistiche a polarizzarsi. La carica efficace è tanto più grande quanto più ci si avvicina ad essa, cioè quanto maggiore è la variazione il momento trasferito nello scattering La teoria della rinormalizzazione fornisce l’evoluzione delle costanti di accoppiamento al variare del 4-momento trasferito o dell’energia nel CM, a parte un fattore di scala µ che va fissato “dall’esterno” Q2=s o =t a seconda del caso Se la polarizzazione del vuoto fosse dovuta alla creazione di coppie di un solo fermione, ad esempio l’elettrone, l’evoluzione della costante “efficace” sarebbe NB. Dipende dal valore assoluto di Q2 In realtà ci sono anche coppie µ+µ–, t+t–, ≠uu,≠dd, ecc., che contribuiscono proporzionalmente al quadrato delle loro cariche elettriche 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Alfa non è costante L’espressione è quindi dove zf è il numero di carica fermionica = numero di fermioni, pesato con il quadrato della carica, che può contribuire al valore considerato di |Q|2. In buona sostanza con m<|Q| Ad esempio per |Q|> 10 GeV contribuiscono tre leptoni carichi, due quark di tipo up, u e c, di carica 2/3 e tre quark di tipo down, d, s e b di carica 1/3. Quindi Cioè: se il numero di fermioni eccitati non varia l’inverso della costante d’accoppiamento varia linearmente con il logaritmo del momento trasferito Misura di precisione con effetto Hall quantizzato a Q=0 Bisogna controllare l’evoluzione sia per intervalli di tipo tempo sia di tipo spazio 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Evoluzione di a per Q2>0 Strumento: collisori e+e– ad alta energia, soprattutto LEP 90 GeV<√s<209 GeV Misura sezione d’urto in funzione di √s Calcola teoricamente a(s) da questa serie di grafici Confronta misura e teoria 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Evoluzione di a per Q2<0 Strumento: LEP ad energia fissa, più grande possibile, non in risonanza, √s =198GeV Misura sezione d’urto “Bhabha” in funzione di √t Lontano dalle risonanze perché il contributo dominante si vuole sia quello del canale t Q2 cresce con l’angolo di diffusione LEP 1800 GeV2<Q 2<21600 1800 GeV2 + + … Calcolo teorico della sezione d’urto differenziale assumendo a costante e con evoluzione a(t) come prevista 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Qualche complicazione Per la precisione. Bisogna calcolare anche i grafici e loro termini di ordine superiore, e “sottrarne” i contributi 3/27/2017 C.4 A. Bettini

Evoluzione di a nella regione tipo spazio √s=198 GeV 3/27/2017 C.4 A. Bettini