“Lavoro” compiuto da una forza : v(t3) v(t2 ) ds B J F v(t 1) m A lavoro infinitesimo : lavoro da A a B : unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m º Joule Esempio: lavoro della forza d’attrito dinamico: Fattr =-mDmgux v A x B U.Gasparini, Fisica I Ds

Lavoro della forza peso: ds (III) ds (I) mg (II) J mg B lavoro indipendente dal cammino percorso: W(I)AB = W(II)AB = W(III)AB ß la forza peso é un esempio di “forza conservativa” U.Gasparini, Fisica I

Potenza istantanea: lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante: Unità di misura (S.I.) : [P] = [W] / [t] = J / s º W (“Watt”) Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla forza F è: Potenza media: lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Altre unità di misura di uso pratico: Lavoro: “chilowattora” Potenza: “cavallo vapore” U.Gasparini, Fisica I

Campo vettoriale E’ definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore, ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore. Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto. “Campo di forza”: campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto Þ introduzione del concetto di “azione a distanza” In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive. U.Gasparini, Fisica I

Campo di forza conservativo Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo : per qualsiasi curva chiusa g ds r g F( r ) o, equivalentemente: per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi percorso g1 , g2 che li congiunge g1 B A g2 U.Gasparini, Fisica I

Energia cinetica “Energia cinetica” di un punto materiale di massa m e velocità v : ( dimensioni: ) Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F vale il teorema dell’energia cinetica : vB B vA m F A U.Gasparini, Fisica I

Teorema dell’ energia cinetica aT B ds s(t) a aN A U.Gasparini, Fisica I

Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito la reazione vincolare non compie lavoro F a dalla legge di Newton: mg J l condizioni iniziali: x Integrando l’equazione del moto: Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato: = 0 lavoro della forza peso U.Gasparini, Fisica I

Energia potenziale Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale” quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso): ossia: A rA B rB F( r ) o l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria (º al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario) U.Gasparini, Fisica I

Energia meccanica E’ la somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale : Principio di conservazione dell’energia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, l’energia meccanica è costante : per due punti qualsiasi A,B della traiettoria : Infatti: definizione di energia potenziale teorema dell’ energia cinetica U.Gasparini, Fisica I

Esempio: energia potenziale della forza peso: B mg O Il punto A può essere scelto nell’origine: A º O [ ovvero, considerando il percorso OA: Posto : ossia, per il generico punto P di coordinata z : U.Gasparini, Fisica I

] Esempio: conservazione dell’energia meccanica nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso. z v0 h mg x v [ dall’equazione del moto si giunge allo stesso risultato: ] U.Gasparini, Fisica I

Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica” “costante elastica”: [k] = N / m (il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta “legge di Hooke”) 0. Lavoro: x Energia potenziale: Þ Scelto x 1º 0. e posto Þ U.Gasparini, Fisica I

l Bilancio energetico Þ z In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , vale l’equazione del “bilancio energetico”: energia potenziale associata alle forze conservative presenti lavoro compiuto dalle forze non conservative Infatti: Þ Esempio: moto lungo un piano scabro z Fattr l mg U.Gasparini, Fisica I

Gradiente di una funzione scalare La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo: può essere invertita, introducendo il concetto di “gradiente” di una funzione scalare: data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z) , si definisce il “gradiente di V” il vettore , indicato con Ñ V, tale che per qualsiasi spostamento infinitesimo dr risulti: Il prodotto scalare del vettore gradiente di V nel punto r con il vettore dr è uguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr Ñ V P’ dr P U.Gasparini, Fisica I

Gradiente di una funzione scalare (II) La “derivata direzionale”(º limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione D r ): é massima (cos J = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r ); il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V Superfici a egual valori di V Ñ V dr1 dr2 U.Gasparini, Fisica I V( r ) = V2 V( r ) = V1

Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y) In uno spazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.) V(x,y) 400 300 200 100 y x y curve di egual livello P1 V=100 ÑV V=200 V=300 ÑV V=400 ÑV P3 P2 x Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello (ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno) U.Gasparini, Fisica I

Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) : “derivate parziali” Dalla definizione di gradiente: rappresentazione del vettore gradiente in coordinate cartesiane ortogonali U.Gasparini, Fisica I

Rappresentazione del gradiente in coordinate polari Per una funzione V( r ) = V(r,J,j) : lo spostamento dr ha componenti polari: z dr P=( r,J,j) P’=( r+dr, J+dJ, j+dj) r J dJ dj y j x r sinJ dalla definzione di gradiente: U.Gasparini, Fisica I

Forza : gradiente dell’energia potenziale Dalla definizione di energia potenziale: Esempio: dall’energia potenziale della forza peso : U.Gasparini, Fisica I

Superficie equipotenziale luogo dei punti dello spazio aventi lo stesso valore dell’ energia potenziale costante z per uno spostamento ds lungo la superficie, per definizione: ds y x Il vettore: è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto. Esempio: superfici equipotenziali della forza peso ÑEP = - mg = costante z y mg x U.Gasparini, Fisica I