Capitolo 4 Ordinamento Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 Delimitazione inferiore alla quantità di una certa risorsa di calcolo necessaria per risolvere un problema (n log n) è un lower bound al numero di confronti richiesti per ordinare n oggetti Consideriamo un generico algoritmo A, che ordina eseguendo solo confronti: dimostreremo che A esegue (nel caso peggiore) (n log n) confronti Lower bound

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 …alcuni richiami… Definizione (upper bound) Un problema P ha una complessità O(f(n)) rispetto ad una risorsa di calcolo se esiste un algoritmo che risolve P il cui costo di esecuzione rispetto quella risorsa (nel caso peggiore) è O(f(n)) Definizione (lower boud) Un problema P ha una complessità (f(n)) rispetto ad una risorsa di calcolo se ogni algoritmo che risolve P ha costo di esecuzione (nel caso peggiore) (f(n)) rispetto quella risorsa

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 …per il problema dellordinamento… Upper bound: O(n 2 ) –Insertion Sort, Selection Sort Lower bound: (n) –banale: dimensione dellinput Abbiamo un gap lineare tra upper bound e lower bound! Possiamo fare meglio?

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Ordinamento per confronti Dati due elementi a i ed a j, per determinarne lordinamento relativo effettuiamo una delle seguenti operazioni di confronto: a i a j ; a i a j ; a i a j ; a i a j ; a i a j Non si possono esaminare i valori degli elementi o ottenere informazioni sul loro ordine in altro modo. Notare: Tutti gli algoritmi di ordinamento considerati fino ad ora sono algoritmi di ordinamento per confronto.

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Gli algoritmi di ordinamento per confronto possono essere descritti in modo astratto in termini di alberi di decisione. Un generico algoritmo di ordinamento per confronto lavora nel modo seguente: -Confronta due elementi a i ed a j (ad esempio effettua il test a i a j ); - A seconda del risultato – riordina e/o decide il confronto successivo da eseguire. Albero di decisione - Descrive i confronti che lalgoritmo esegue quando opera su un input di una determinata dimensione. I movimenti dei dati e tutti gli altri aspetti dellalgoritmo vengono ignorati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Alberi di decisione Descrive le diverse sequenze di confronti che A potrebbe fare su istanze di lunghezza n Nodo interno (non foglia): i:j –modella il confronto tra a i e a j Nodo foglia: –modella una risposta (output) dellalgoritmo: permutazione degli elementi Input: a 1,a 2,a 3

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Osservazioni Lalbero di decisione non è associato ad un problema Lalbero di decisione non è associato solo ad un algoritmo Lalbero di decisione è associato ad un algoritmo e a una dimensione dellistanza Lalbero di decisione descrive le diverse sequenze di confronti che un certo algoritmo può eseguire su istanze di una certa dimensione

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Esempio NonsenseSort (A) 1. if n 3 then 2. if A[1]>A[n] then 3. scambia A[1] con A[n] 4. scambia A[2] con A[n] 5. else 6. scambia A[1] con A[2] 7. if A[1] > A[n] then 8. scambia A[1] con A[2] n,1,3,…,n-1,2 2,1,3,…,n 1,2,3,…,n 1: n 2: n > > Albero di decisione di NonsenseSort con n > 2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 …alcune definizioni… radice Sotto-albero sinistro Sotto-albero destro Altezza di un albero: valore massimo della profondità dei nodi. Profondità di un nodo: lunghezza del cammino che lo congiunge alla radice.

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 Per una particolare istanza, i confronti eseguiti da A su quella istanza rappresentano un cammino radice – foglia Lalgoritmo segue un cammino diverso a seconda delle caratteristiche dellinput –Caso peggiore: cammino più lungo –Caso migliore: cammino più breve Il numero di confronti nel caso peggiore è pari allaltezza dellalbero di decisione Un albero di decisione di un algoritmo che risolve il problema dellordinamento di n elementi contiene almeno n! foglie Proprietà

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 Un albero binario con k foglie tale che ogni nodo interno ha esattamente due figli ha altezza almeno log 2 k Dimostrazione per induzione su k Altezza in funzione delle foglie

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 13 Consideriamo lalbero di decisione di un qualsiasi algoritmo che risolve il problema dellordinamento di n elementi Laltezza h dellalbero di decisione è almeno log 2 (n!) Formula di Stirling: n! (2 n) 1/2 ·(n/e) n Il lower bound (n log n) h log 2 (n!) n! > (n/e) n > log 2 (n/e) n = n log 2 (n/e) = = n log 2 n – n log 2 e = = (n log n) =

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Esercizio Fornire lalbero di decisione del seguente algoritmo per istanze di dimensione 3. InsertionSort2 (A) 1. for k=1 to n-1 do 2. x = A[k+1] 3. j = k 4. while j > 0 e A[j] > x do 5. A[j+1] = A[j] 6. j= j-1 7. A[j+1]=x

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 15 a1:a2 a2:a3a1:a3 a2:a3 a1:a3 Soluzione