Capitolo 6 Alberi di ricerca Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 Dizionari Gli alberi di ricerca sono usati per realizzare in modo efficiente il tipo di dato dizionario

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Alberi binari di ricerca (BST = binary search tree)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Definizione Albero binario che soddisfa le seguenti proprietà –ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è associata una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato –le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono chiave(v) –le chiavi nel sottoalbero destro di v sono > chiave(v)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Albero binario di ricerca Esempi Albero binario non di ricerca

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ordinamento crescente minimo massimo Ordinamento decrescente …ancora un esempio…

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Visita simmetrica di un BST Che succede se eseguo una visita in ordine simmetrico di un BST? Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il sotto-albero sinistro di x (in ordine simmetrico), poi il nodo x, poi il sotto-albero destro (in ordine simmetrico) visito i nodi dellABR in ordine crescente rispetto alla chiave!

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Verifica di correttezza – Indichiamo con h laltezza dellalbero. Vogliamo mostrare che la visita in ordine simmetrico restituisce la sequenza ordinata Per induzione sullaltezza dellABR: h=1 (mostriamolo senza perdita di generalità quando lalbero è completo.) r uv NIL chiave(u) chiave(r) chiave(v)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Verifica correttezza (continua …) h = generico (ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1) r Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono minori o uguali della radice Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono maggiori o uguali della radice

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 search(chiave k) -> elem Traccia un cammino nellalbero partendo dalla radice: su ogni nodo, usa la proprietà di ricerca per decidere se proseguire nel sottoalbero sinistro o destro

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl search(7) 30

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Cerca la chiave k nellalbero, identificando così il nodo v che diventerà padre di u 3.Appendi u come figlio sinistro/destro di v in modo che sia mantenuta la proprietà di ricerca Idea: aggiunge la nuova chiave come nodo foglia; per capire dove mettere la foglia simula una ricerca con la chiave da inserire

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert(e,8) Se seguo questo schema lelemento e viene posizionato nella posizione giusta. Infatti, per costruzione, ogni antenato di e si ritrova e nel giusto sottoalbero. 8

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Ricerca del massimo Nota: è possibile definire una procedura min (nodo u) in maniera del tutto analoga

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl min (r) max (u)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 il predecessore di un nodo u in un BST è il nodo v nellalbero avente massima chiave chiave(u) il successore di un nodo u in un BST è il nodo v nellalbero avente minima chiave chiave(u) Come trovo il predecessore/successore di un nodo in un BST? predecessore e successore

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 17 Ricerca del predecessore

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 18 Nota: la ricerca del successore di un nodo è simmetrica Cerco il min del sottoalbero destro Cerco lantenato più prossimo di v il cui figlio sinistro è la radice del sottoalbero che contiene v suc (u) suc (v)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 19 delete(elem e) Sia u il nodo contenente lelemento e da cancellare: 1) u è una foglia: rimuovila 2) u ha un solo figlio:

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 20 delete(elem e) 3) u ha due figli: sostituiscilo con il predecessore (o successore) (v) e rimuovi fisicamente il predecessore (o successore) (che ha un solo figlio)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl successore di u u v 4 delete (u)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 22 Tutte le operazioni hanno costo O(h) dove h è laltezza dellalbero O(n) nel caso peggiore (alberi molto sbilanciati e profondi) Costo delle operazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …un albero binario di ricerca bilanciato… h=O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ma anche questo è un BST Notare: T search (n) = O(h) in entrambi i casi Però: BST completo h = (log(n)) BST linearizzato h = (n) 2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 25 Alberi AVL (Adelson-Velskii e Landis)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 26 Definizioni Alberi AVL = alberi binari di ricerca bilanciati in altezza Un albero si dice bilanciato in altezza se ogni nodo v ha fattore di bilanciamento in valore assoluto 1 Fattore di bilanciamento (v) di un nodo v = altezza del sottoalbero sinistro di v - altezza del sottoalbero destro di v Generlemente (v) mantenuto come informazione addizionale nel record relativo a v

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? Sì: tutti i nodi hanno fattore di bilanciamento = 0

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? NO! Non vale la proprietà sui fattori di bilanciamento! Convenzione: altezza di un albero vuoto= -1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? Sì: proprietà sui fattori di bilanciamento rispettata

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 30 Altezza di alberi AVL Idea della dimostrazione: considerare, tra tutti gli AVL di altezza h, quelli con il minimo numero di nodi n h (alberi di Fibonacci) Si può dimostrare che un albero AVL con n nodi ha altezza O(log n) Intuizione: se gli alberi di Fibonacci hanno altezza O(log n), allora gli alberi AVL hanno altezza O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 31 …Alberi di Fibonacci per piccoli valori di altezza… T i : albero di Fibonacci di altezza i (albero AVL di altezza i con il minimo numero di nodi) T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Nota che: se a T i tolgo un nodo, o diventa sbilanciato, o cambia la sua altezza intravedete uno schema per generare li-esimo albero di Fibonacci a partire dai precedenti? Inoltre: ogni nodo (non foglia) ha fattore di bilanciamento pari (in valore assoluto) a 1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 32 T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Lo schema Lemma Sia n h il numero di nodi di T h. Risulta n h =1+n h-1 +n h-2 =F h+3 -1 dim per induzione su h

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 33 Corollario Un albero AVL con n nodi ha altezza h=O(log n) dim n h =F h+3 -1 = ( h ) corollario segue da n n h Ricorda che vale: F k = ( k ) =1.618… sezione aurea h= (log n h ) =O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 34 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Posso usare un albero AVL per implementare un dizionario? come implemento Insert(14)? …e delete(25)? +2 ! -2 !

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 35 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Implementazione delle operazioni Loperazione search procede come in un BST Ma inserimenti e cancellazioni potrebbero sbilanciare lalbero Manteniamo il bilanciamento tramite opportune rotazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 36 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Rotazione di base verso destra/sinistra sul nodo v/u Mantiene la proprietà di ricerca Richiede tempo O(1)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 37 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ribilanciamento tramite rotazioni Le rotazioni sono effettuate su nodi sbilanciati Sia v un nodo con fattore di bilanciamento (v) ± 2 Esiste un sottoalbero T di v che lo sbilancia A seconda della posizione di T si hanno 4 casi: I quattro casi sono simmetrici a coppie (v)=+2 (v)=-2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 38 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Caso SS Laltezza di T(v) è h+3, laltezza di T(u) è h+2, laltezza di T 3 è h, e laltezza di T 1 è h+1 (v)=+2 e lo sbilanciamento è provocato da T 1 Si applica una rotazione semplice verso destra su v; 2 sottocasi possibili: (i) laltezza di T 2 è h laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione passa da h+3 a h+2, e il fattore di bilanciamento di u e v diventa pari a 0 (ii) laltezza di T 2 è h+1 laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione rimane pari a h+3, e il fattore di bilanciamento di u diventa pari a -1, mentre quello di v diventa pari a 1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 39 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl +1 0 …i due sottocasi del caso SS…

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 40 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Osservazioni sul caso SS Linserimento di un elemento nellAVL (ovvero, laggiunta di una foglia a un albero bilanciato) può provocare solo il caso (i) (perché altrimenti lAVL era già sbilanciato!) Invece, la cancellazione di un elemento dallAVL (che necessariamente fa diminuire laltezza di qualche sottoalbero) può provocare entrambi i casi (ad esempio, se cancellando un elemento ho abbassato laltezza di T 3 )

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 41 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Caso SD Laltezza di T(v) è h+3, laltezza di T(z) è h+2, laltezza di T 1 è h, laltezza di T 4 è h, e laltezza di T(w) è h+1 (v)=+2, e (z)=-1 cioè lo sbilanciamento è provocato dal sottoalbero destro di z Applicare due rotazioni semplici: una verso sinistra sul figlio sinistro del nodo critico (nodo z), laltra verso destra sul nodo critico (nodo v)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 42 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Caso SD Laltezza dellalbero dopo la rotazione passa da h+3 a h+2, poiché T 2 e T 3 sono alti al più h, e il fattore di bilanciamento di w diventa 0, mentre i fattori di bilanciamento di z e v sono 0 oppure ±1. Il caso SD può essere provocato sia da inserimenti (in T 2 o T 3 ), sia da cancellazioni che abbassano di 1 laltezza di T 4.

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 43 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Inserisci u come in un BST 3.Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi nel cammino dalla radice a u: sia v il più profondo nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 (nodo critico) 4.Esegui una rotazione opportuna su v Oss.: un solo ribilanciamento è sufficiente, poiché laltezza dellalbero coinvolto diminuisce di 1 (sottocaso (i) del caso SS o DD, o casi SD o DS), e quindi torna ad essere uguale allaltezza che aveva prima dellinserimento

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 44 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e) caso SD

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 45 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 46 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Esempio: insert (10,e)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 47 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete(elem e) 1.Cancella il nodo come in un BST 2.Ricalcola il fattore di bilanciamento del padre del nodo eliminato fisicamente (che potrebbe essere diverso dal nodo contenente e), ed esegui lopportuna rotazione semplice o doppia ove necessario 3.Ripeti questo passo, sino ad arrivare eventualmente alla radice dellAVL: –Se laltezza del sottoalbero appena ribilanciato è uguale a quella che aveva prima della cancellazione, termina. Invece, se tale altezza è diminuita, risali verso lalto (cioè vai nel padre del sottoalbero appena ribilanciato), calcola il fattore di bilanciamento, e applica lopportuno ribilanciamento. Oss.: potrebbero essere necessarie O(log n) rotazioni: infatti eventuali diminuzioni di altezza indotte dalle rotazioni possono propagare lo sbilanciamento verso lalto nellalbero (laltezza del sottoalbero in cui è avvenuta la rotazione diminuisce di 1 rispetto a quella che aveva prima della cancellazione)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 48 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Esempio: delete (18) Predecessore di caso DD

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 49 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ribilanciamento DD e aggiornamento del fattore di bilanciamento del padre del sottoalbero ruotato caso SD (rotazione a cascata!)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 50 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ribilanciamento SD

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 51 Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Albero ribilanciato

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 52 Cancellazione con rotazioni a cascata

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 53 Tutte le operazioni hanno costo O(log n) poiché laltezza dellalbero è O(log n) e ciascuna rotazione richiede solo tempo costante Costo delle operazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 54 Classe AlberoAVL