RAGGIUNGIBILITA E RAGGIUNGIBILITA DEBOLE DEI SISTEMI POSITIVI A TEMPO DISCRETO Maria Elena Valcher Universita di Padova Bertinoro, Luglio 2006

PRELIMINARI SUI CONI Un insieme K in R n e detto CONO se Un cono K in R n e detto PROPRIO se a) Convesso b) Pointed, i.e. c) Solido, i.e. il piu piccolo sottospazio vettoriale di R n che contiene K e R n stesso. Un cono K e detto POLIEDRICO se ammette un numero finito di generatori, ovvero esistono v 1, v 2,…,v N in K tali che

PRELIMINARI SUI VETTORI NON NEGATIVI Indichiamo con e i, i=1,2,…,n, li-esimo vettore della BASE CANONICA in R n, ovvero il vettore le cui componenti sono tutte nulle ad eccezione della i-esima che vale 1. Ad esempio, in R 4 Un vettore v viene detto i-MONOMIO se v = e i per qualche > 0. Una matrice quadrata M viene detta MONOMIA se M e una matrice non singolare le cui colonne sono n vettori monomi linearmente indipendenti. Ad esempio:

SISTEMI POSITIVI A TEMPO DISCRETO In questa presentazione consideriamo sistemi positivi a tempo discreto, descritti dallequazione alle differenze del primo ordine: dove x(t) e lo stato n-dimensionale, non negativo, u(t) lingresso m-dimensionale, non negativo, A e B sono matrici non negative (nxn e nxm, rispettivamente). Con riferimento a questo sistema dinamico introduciamo le definizioni di raggiungibilita e raggiungibilita debole.

DEFINIZIONI DI RAGGIUNGIBILITA Un sistema positivo a tempo discreto e: RAGGIUNGIBILE se per ogni stato x f > 0 esiste k e una successione di ingresso u(0), u(1),…, u(k-1) a valori nonnegativi che porta lo stato da x(0)=0 a x(k)= x f ; RAGGIUNGIBILE IN SENSO DEBOLE se per ogni stato x f >> 0 esiste k e una successione di ingresso u(0), u(1),…, u(k-1) a valori nonnegativi che porta lo stato da x(0)=0 a x(k)= x f. OSSERVAZIONE: nel caso di raggiungibilita debole gli stati che si trovano sul boundary dellortante positivo possono essere raggiunti o in un tempo finito o in un tempo infinito.

APPROCCIO ALGEBRICO ALLA RAGGIUNGIBILITA (1) Introduciamo la MATRICE DI RAGGIUNGIBILITA IN k PASSI E chiaro che lo stato al tempo k, ottenuto a partire da x(0)=0 applicando una successione di ingresso u(0), …, u(k-1) non negativa, e dato da Pertanto x f e RAGGIUNGIBILE AL TEMPO k se e solo se x f appartiene a

APPROCCIO ALGEBRICO ALLA RAGGIUNGIBILITA (2) Chiaramente Tuttavia poiche abbiamo a che fare con coni e non con sottospazi questa successione non e detto che raggiunga la saturazione, ovvero e possibile che Se definiamo e chiaro che il sistema =(A,B) e RAGGIUNGIBILE se e solo se

APPROCCIO ALGEBRICO ALLA RAGGIUNGIBILITA (3) PROPOSIZIONE 1: Il sistema e raggiungibile se solo se tutti i vettori della base canonica e i sono raggiungibili (MONOMIAL REACHABILITY). Sia k i il numero di passi necessario per raggiungere il vettore e i e sia k = max k i. Allora e chiaro che a) ogni vettore e i e raggiungibile in k passi b) ogni vettore x f non negativo e raggiungibile in k passi c) se una combinazione non negativa di vettori v k non negativi genera un vettore monomio e.g. e i, allora almeno uno dei v k e un vettore i-monomio. PROPOSIZIONE 2: Il sistema e raggiungibile se solo se esiste k tale che la matrice di raggiungibilita in k passi R k contiene una sottomatrice nxn monomia.

APPROCCIO ALGEBRICO ALLA RAGGIUNGIBILITA (4) Ecco le buone notizie! PROPOSIZIONE 3: Il sistema e raggiungibile se solo se la matrice di raggiungibilita in n passi R n contiene una sottomatrice nxn monomia.

APPROCCIO MEDIANTE GRAFI ALLA RAGGIUNGIBILITA (1) Consideriamo un sistema positivo =(A,B) di dimensione n con m ingressi. A tale sistema possiamo associare un GRAFO DINFLUENZA G(A,B) con a) n VERTICI v 1, v 2,…, v n b) m SORGENTI s 1,s 2,…,s m c) arco (j,i) da v j a v i se [A] ij > 0 d) arco (j,i) da s j a v i se [B] ij > 0 Esiste un cammino dalla sorgente s j al vertice v i di lunghezza k se e solo se A k-1 B ha la componente (i,j) positiva. Sia b j =col j (B), i.e. la colonna j-esima della matrice B. Se A k-1 b j e un vettore i-monomio allora dalla sorgente s j in k passi posso raggiungere solo il vertice v i. In questo caso diciamo che esiste un CAMMINO DETERMINISTICO DI LUNGHEZZA k da s j a v i.

APPROCCIO MEDIANTE GRAFI ALLA RAGGIUNGIBILITA (2) Possiamo allora riformulare la condizione di raggiungibilita in termini del grafo dinfluenza G(A,B). PROPOSIZIONE 4: Il sistema =(A,B) e raggiungibile se solo se per ogni i in {1,2,…,n} esiste un cammino deterministico da una qualche sorgente s j al vertice v i di lunghezza al piu n. OSSERVAZIONE: se confiniamo la nostra attenzione al caso di grafi di influenza in cui non compaiano vertici privi di archi uscenti (= la matrice A non ha colonne nulle), possiamo considerare solo quei cammini che a) partono da sorgenti che al primo passo raggiungono un solo vertice b) rimangono deterministici ad ogni passo

APPROCCIO MEDIANTE GRAFI ALLA RAGGIUNGIBILITA (3) In questo caso, lalgoritmo per determinare se un certo sistema positivo e raggiungibile o meno diventa particolarmente semplice: 1) si determinano tutti i cammini (di lunghezza al piu n) che partono da una qualche sorgente e rimangono deterministici ad ogni passo 2) si eliminano cammini o tratti di cammino che vengono duplicati 3) se in questo modo si e passati per ciascun vertice, allora il sistema e raggiungibile, in caso contrario non lo e. Questo tipo di ragionamento permette di ottenere una forma canonica a cui tutti i sistemi raggiungibili possono essere condotti:

APPROCCIO MEDIANTE GRAFI ALLA RAGGIUNGIBILITA (4) PROPOSIZIONE 5: Un sistema =(A,B) in cui la matrice A sia priva di colonne nulle e RAGGIUNGIBILE se e solo se esistono una matrice di permutazione P e una matrice di selezione S tali che dove

APPROCCIO MEDIANTE GRAFI ALLA RAGGIUNGIBILITA (5) PROPOSIZIONE 6: Un sistema =(A,B) ad un solo ingresso in cui la matrice A sia priva di colonne nulle e RAGGIUNGIBILE se e solo se esiste una matrice di permutazione P tale che

RAGGIUNGIBILITA DEBOLE Ricordiamo la definizione: DEFINIZIONE: Un sistema positivo a tempo discreto e RAGGIUNGIBILE IN SENSO DEBOLE se per ogni stato x f >> 0 esiste k e una successione di ingresso u(0), u(1),…, u(k-1) a valori nonnegativi che porta lo stato da x(0)=0 a x(k)= x f. Mentre la raggiungibilita e una proprieta strutturale, nel senso che dipende solo dalla struttura di zeri e non-zeri delle due matrici A e B, e per questa ragione viene completamente catturata dal grafo dinfluenza G(A,B), la proprieta di raggiungibilita debole dipende non solo dalla struttura delle due matrici ma anche dai valori degli elementi della matrice A e, in particolare, dai raggi spettrali delle classi di comunicazione di G(A,B).

MATRICI RIDUCIBILI/IRRIDUCIBILI E CLASSI DI IRRIDUCIBILITA IN G(A,B) (1) Data una matrice A non negativa di dimensioni nxn, diciamo che A e RIDUCIBILE se esiste una matrice di permutazione P tale che dove A 11 e A 22 sono due matrici quadrate. In caso contrario, A e IRRIDUCIBILE. Ogni matrice A riducibile puo essere ricondotta, attraverso unopportuna matrice di permutazione P alla FORMA NORMALE DI FROBENIUS dove ciascun blocco A ii e scalare oppure una matrice irriducibile.

MATRICI RIDUCIBILI/IRRIDUCIBILI E CLASSI DI IRRIDUCIBILITA IN G(A,B) (2) In un grafo dinfluenza diciamo che due vertici v i e v j COMUNICANO se esiste un cammino da v i a v j e un cammino da v j a v i. Il concetto di vertici comunicanti partiziona linsieme {v 1,…,v n } dei vertici in CLASSI DI COMUNICAZIONE. Come possiamo evidenziare le classi di comunicazione? Se A e in forma normale di Frobenius, e immediato verificare che esiste una corrispondenza biunivoca tra classi di comunicazione e blocchi diagonali irriducibili A ii. Chiamiamo RAGGIO SPETTRALE (o AUTOVALORE DI FROBENIUS) DELLA CLASSE DI COMUNICAZIONE i-esima (C i ) il raggio spettrale di A ii : (A ii ). Daltra parte se A non e in forma di Frobenius, esiste P di permutazione tale che PAP T lo e e i grafi dinfluenza G(A,B) e G(PAP T,PB) coincidono. Pertanto definiamo ancora (C i ) = (A ii ).

CARATTERIZZAZIONE DELLA RAGGIUNGIBILITA DEBOLE (1) Sia I(A,B) linsieme degli indici dei vettori monomi che compaiono tra le colonne di R n. Se un sistema non e raggiungibile Pertanto gli indici che non appartengono a I(A,B) corrispondono a vettori monomi che possono essere raggiunti non in un numero finito di passi, bensi solo asintoticamente. PROPOSIZIONE 6: Un sistema = (A,B) e debolmente raggiungibile se e solo se per ogni > 0 esiste k( ) > 0 tale che nella matrice di raggiungibilita in k( ) passi esistono n colonne che (una volta normalizzate) differiscono dagli n vettori e i per meno di

CARATTERIZZAZIONE DELLA RAGGIUNGIBILITA DEBOLE (2) PROPOSIZIONE 6: Dato un sistema positivo = (A,B) sono fatti equivalenti: = (A,B) e debolmente raggiungibile (2) per ogni indice i non appartenente a I(A,B), vale (2a) il vertice v i appartiene ad una classe di comunicazione C j di G(A,B) che consiste di un solo vertice oppure di h i vertici connessi in un singolo anello (2b) esiste una colonna b ni di B tale che per ogni intero t > n-1 il blocco di componenti di A t b ni relativo alla classe C j e un vettore monomio. Inoltre per ogni classe C diversa da C j se il blocco di componenti di A t b ni relativo alla classe C e non nullo per qualche t, allora e accede a

CARATTERIZZAZIONE DELLA RAGGIUNGIBILITA DEBOLE (3) PROPOSIZIONE 7: Un sistema positivo ad un solo ingresso = (A,B) e debolmente raggiungibile se e solo se esiste una matrice di permutazione P tale che dove a ii+1 > 0 per i=1,…,r-1,r+1,…,n-1, a n1 > 0, a nr+1 > 0 a j1 > 0 per j< r+1 implica n-r divide j e il raggio spettrale del blocco diagonale inferiore e maggiore o uguale del raggio spettrale del blocco diagonale superiore.

RAGGIUNGIBILITA SISTEMI POSITIVI A COMMUTAZIONE A TEMPO DISCRETO Maria Elena Valcher Universita di Padova Bertinoro, 11 Luglio 2006

PRELIMINARI SULLO ZERO PATTERN Dato un vettore v in R + n, chiamiamo ZERO PATTERN di v, e lo indichiamo con il simbolo ZP(v), linsieme degli indici corrispondenti a componenti nulle del vettore v: Similmente definiamo NONZERO PATTERN di v linsieme delle componenti positive di v: In modo analogo definiamo i concetti di zero pattern e nonzero pattern di una matrice non negativa A. PROPRIETA: 1) 2)

COSA SONO I SISTEMI A COMMUTAZIONE (SWITCHED)? Un SISTEMA A COMMUTAZIONE e un sistema le cui equazioni descrittive commutano, secondo una legge tra piu modelli distinti, che catturano le leggi a cui il sistema obbedisce nelle diverse condizioni di funzionamento. Un SISTEMA A COMMUTAZIONE A TEMPO DISCRETO, che commuti tra sottosistemi lineari, viene descritto da unequazione alle differenze del tipo dove la legge di commutazione viene definita su Z + ed assume valori in un insieme P che, per semplicita, supporremo finito Per ogni i in P, A i e matrice reale nxn, mentre B i e matrice nxm.

COSA SONO I SISTEMI POSITIVI A COMMUTAZIONE (SWITCHED)? Un SISTEMA POSITIVO A COMMUTAZIONE A TEMPO DISCRETO, viene descritto da unequazione alle differenze del tipo dove x(t) e lo stato n-dimensionale, non negativo, u(t) lingresso m-dimensionale, non negativo, e per ogni i in P, A i e matrice positiva nxn, e B i e matrice positiva nxm. Questi modelli emergono nella descrizione di sistemi positivi per i quali si possono ravvedere diverse condizioni di funzionamento, a ciascuna dei quali corrisponde un diverso modello descrittivo positivo.

DEFINIZIONE DI RAGGIUNGIBILITA E DI INDICE DI RAGGIUNGIBILITA DEFINIZIONE: Un sistema positivo a commutazione viene detto RAGGIUNGIBILE se per ogni stato x f > 0 esistono un intero positivo k una sequenza di commutazione a valori in P, e una successione di ingresso u(0), u(1),…, u(k-1) a valori nonnegativi che portano lo stato da x(0)=0 a x(k)= x f. Diciamo, allora, che x f e raggiungibile in k passi. DEFINIZIONE: Se un sistema positivo a commutazione e raggiungibile, definiamo suo INDICE DI RAGGIUNGIBILITA I R come il minimo numero di passi entro il quale siamo in grado di raggiungere ogni stato di R + n :

ESPRESSIONE DELLO STATO AL TEMPO k Osserviamo preliminarmente che lespressione dello stato al tempo k, a partire da x(0)=0, in corrispondenza alla sequenza di commutazione e alla successione di ingresso non negativa u(0),…,u(k-1), e data da Se definiamo per compattezza per i< k-1 lespressione precedente diventa:

MATRICI DI RAGGIUNGIBILITA Sia una sequenza di commutazione di lunghezza k, con cio intendendo che {0,1,...,k-1} P. Definiamo MATRICE DI RAGGIUNGIBILITA RELATIVA ALLA SEQUENZA DI LUNGHEZZA k la matrice Definiamo MATRICE DI RAGGIUNGIBILITA IN k PASSI la matrice ottenuta giustapponendo le matrici di raggiungibilita relative a tutte le possibili sequenze di commutazione i di lungezza k a valori in P:

STATI RAGGIUNGIBILI IN k PASSI E importante evidenziare come linsieme degli stati raggiungibili in k passi R k in questo caso sia ancora un cono ma probabilmente non il cono che ci aspettiamo! Infatti bensi Anche nel caso di sistemi positivi a commutazione vale e puo capitare che Si ha raggiungibilita se e solo sedove

ALCUNE BRUTTE NOTIZIE (1) (1) Un sistema puo essere raggiungibile senza che esista un upper bound sul numero di passi necessari per raggiungere ogni stato, ovvero I R puo essere infinito. Attenzione: tutti gli stati vengono raggiunti in un numero finito di passi. Questo concetto e diverso dalla raggiungibilita debole! (2)La MONOMIAL REACHABILITY, ovvero la possibilita di raggiungere, a partire da x(0)=0, attraverso unopportuna sequenza di commutazione (di lunghezza k) e una successione di ingresso non negativa u(0),…,u(k-1), ogni vettore monomio e CONDIZIONE NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE per la raggiungibilita!

ALCUNE BRUTTE NOTIZIE (2) (3) Nel caso di sistemi a commutazione (lineari ma non positivi) a tempo discreto, si dimostra che il sistema e raggiungibile se e solo se esiste una sequenza di commutazione di lunghezza finita k tale che Purtroppo questo risultato non si estende al caso positivo e rappresenta solo una CONDIZIONE SUFFICIENTE per la raggiungibilita. (4) Nemmeno la condizione piu debole che esista un numero finito di sequenze di commutazione …, tali che e necessaria ma solo SUFFICIENTE.

MONOMIAL REACHABILITY (1) PROPOSIZIONE 8: Un sistema positivo a commutazione e MONOMIALLY REACHABLE se e solo se esiste un intero positivo k tale che la matrice di raggiungibilita in k passi R k contenga una sottomatrice nxn monomia. A questo punto uno puo sperare che almeno per la raggiungibilita dei vettori della base canonica (equivalentemente, dei vettori monomi) esista un upper bound sul numero massimo di passi necessari per poter raggiungere ciascuno di essi. Per fortuna cosi e, anche se come upper bound e un po altino! PROPOSIZIONE 9: Un sistema positivo a commutazione e MONOMIALLY REACHABLE se e solo se la matrice di raggiungibilita in 2 n -1 passi contiene una sottomatrice nxn monomia.

MONOMIAL REACHABILITY (2) Abbiamo sbagliato mira? Abbiamo trovato un upper bound molto conservativo? Fortunatamente/sfortunatamente no! ESEMPIO: Sia W linsieme (il vocabolario) di cardinalita 2 n -2 formato da tutte la parole di lunghezza compresa tra 1 ed n-1, ottenute a partire dallalfabeto {1,2,…,n} e ordinate secondo lordine lessicografico: Definiamo la successione di 2 n -1 vettori n-dimensionali {b j } j tali che

MONOMIAL REACHABILITY (3) Insomma b 0 e il vettore di soli 1, mentre per j = 1, 2, …, 2 n -2, b j e il vettore di zeri e 1 per il quale ZP(b j ) coincide con la famiglia dei simboli della j-esima parola in W. Per semplicita lavoriamo in GF(2) invece che sui reali. Definiamo ora una famiglia di matrici {Aj} j, j=1,2,…,2 n -2, secondo la seguente legge: E possibile dimostrare che se assumiamo (i)=i, per i=1,2,…,2n-2, otteniamo per k = 1, 2, …, 2 n -2 Cio equivale a dire che scegliendo come sistemi (A i,b 0 ) per i= 1, 2, …, 2 n -2,otteniamo un sistema raggiungibile e quindi monomially reachable.

MONOMIAL REACHABILITY (4) Esiste almeno un vettore monomio (il vettore e 1 ) che viene raggiunto in esattamente 2 n -1 passi e non prima. Non esistono sequenze di commutazione di lunghezza inferiore che permettono di raggiungere e 1. Pertanto viene raggiunto lUPPER BOUND DI 2 n -1 PASSI!

CONCLUSIONI (1) Lo studio dei sistemi positivi a commutazione e ancora allo stadio iniziale, tuttavia abbiamo gia evidenziato come valutare la raggiungibilita non sia facile ed in genere se un sistema e raggiungibile non e detto che I R sia finito. (2) Lo studio della controllabilita a zero e stato portato avanti ed abbiamo ottenuto un algoritmo che permette di decidere in un numero finito di passi se un sistema e controllabile oppure no. (3) La raggiungibilita debole rappresenta un campo completamente inesplorato. GRAZIE PER LA VOSTRA ATTENZIONE (GRANDE ITALIA!)