Politecnico di Milano Laurea Specialistica Anno Accademico 2003-04 THE OSCILLATION-ROTATION ATTRACTORS IN THE FORCED PENDOLUM Corso : Caos deterministico e applicazioni Docente : Carlo Piccardi Studente: Maria Pia Bazzano

Moto forzato del pendolo Il moto del pendolo forzato esternamente è un esempio di sistema dinamico non-lineare, ricco di fenomeni quali il caos e alcune biforcazioni complesse. Si tratta di moto sia oscillatorio sia rotazionale. L’equazione del moto del pendolo forzato è: in cui x rappresenta l’angolo formato rispetto alla posizione di equilibrio, h è il coefficiente di attrito viscoso,  e F indicano rispettivamente la frequenza e l’ampiezza della forzante.

Equazione di Duffing Trasformando l’equazione in un sistema: con V Energia potenziale: V(x)=1-cos(x). sostituendo al termine nell’equazione di partenza a lo sviluppo in serie di Taylor si ricava l’equazione di Duffing:

Risposta in frequenza(1) Nel diagramma della risposta x alla forzante in funzione della frequenza di quest’ultima si nota la presenza di più tipologie di biforcazione, alcune delle quali definite “strade verso il Caos”. Indicatori di comportamenti Caotici: Cascata di Feigenbaum Finestre Periodiche Struttura Frattale

Risposta in frequenza(2) F<0.20 (a): gli attrattori di oscillazione risonante Sr e non-risonante Sn perdono la loro stabilità in un nodo-sella (snA). 0.20<F<0.48 (b): appare una biforcazione flip (sb) che porta ad una cascata di Feigenbaum (pd e cr), a causa della quale Sr si annichilisce nel caos. Biforcazione omoclina sulla “cima” del nodo-sella, secondo il criterio di Melnikov (condizione di tangenza fra varietà stabile e instabile sul top del nodo-sella). In corrispondenza si determina il valore di condizione necessaria per l’esistenza di orbite oscillo-rotatorie.

Sezione di Poincaré Sezione di Poincaré (Mappa stroboscopica di periodo di campionamento T=2/ ), riduce la dimensione del sistema da tri-dimensionale a bi-dimensionale. La soluzione T-periodica si riduce così ad un solo punto. Si ricavano sia il bacino di attrazione degli attrattori coesistenti, sia il diagramma di biforcazione al variare dei parametri F e .

Diagramma di Biforcazione(1) F<0.48 Il sistema ha comportamento periodico di periodo T= 2π/. Sr e Sn indicano le oscillazioni risonanti e non-risonanti attorno alla posizione di equilibrio x=0. Sr1 e Sr2 sono i due attrattori coesistenti di asimmetrica Risonanza, che appaiono dopo la biforcazione flip di Sr (sb). SnA è la biforcazione nodo-sella del ramo Sn. Cr indica il punto di inizio di comportamento caotico e il bacino di esistenza di Sr. M denota la condizione di Melnikov. Nella regione 1 appaiono gli attrattori Sor1 e Sor2: il periodo di oscillazione e rotazione è lo stesso della semplice oscillazione data da Sn (il sistema completa una rotazione ed una oscillazione all’interno del periodo della forzante). 1 e 2 indicano il senso orario e anti-orario.

(b) Bacino di attrazione Bacino di attrazione a Struttura frattale (a) Ritratto di fase (b) Bacino di attrazione

Diagramma di Biforcazione(2) F>0.48 Si presenta il “tumbling caos” (Cascata di Feigenbaum) con attrattori evidentemente caotici, legati ad una irregolare combinazione di rotazioni ed oscillazioni, con senso di rotazione che cambia in modo random. (a) Andamento temporale x(t) (b) Mappa di Poincaré dello strano attrattore Tumbling caos

Diagramma di Biforcazione(3) Per =1.0 il sistema possiede un unico attrattore di oscillazione Sr. La biforcazione flip (sb) provoca la comparsa di due attrattori di oscillazione asimmetrica Sr1 e Sr2 . Da Cr segue la Cascata di Feigenbaum. Nella regione 1 appare una finestra periodica all’interno della cascata di Feigenbaum, come nella regione 2. Nella regione 1 coesistono due attrattori periodici che subiscono il raddoppio di periodo e il successivo Caos. Invece nella regione 2 c’è un solo attrattore periodico da cui parte la biforcazione flip e altra Cascata.

(b) Bacino di attrazione Regione 1: attrattori Sor1 e Sor2 , il cui bacino di attrazione ha struttura frattale. (a) Ritratto di fase (b) Bacino di attrazione

Regione 2: un solo attrattore di oscillazione e rotazione Sorw legato a due rotazioni, in senso sia orario sia antiorario e ad una completa oscillazione attorno alla posizione di equilibrio.

(a)-(d) Finestre nella Regione 1 al variare di F Finestra Periodica(1) Fig(a): Sor1 e Sor2 (“rami” stabili della soluzione) nascono per biforcazione nodo-sella e scompaiono per raddoppio di periodo. (F=0.6) Fig(b): si verifica la situazione della Fig(a), ma con la comparsa di altre soluzioni Sor1 e Sor2 . (F=1.22) Fig(c): Sor1 e Sor2 nascono per dimezzamento di periodo e scompaiono per raddoppio di periodo. (F=1.32) Fig(d): si verifica la situazione della Fig(c). (F=1.40) (a)-(d) Finestre nella Regione 1 al variare di F

Finestra Periodica(2) Per F=1.42 la prima Cascata di periodo cessa di esistere e per F=1.5 Sr rimane invariato e dopo la sua scomparsa il sistema si stabilizza su Sor1 o Sor2 . (per ω decrescente) Ciclo di Isteresi: (per ω=0.94) tumbling caos comparsa di Sor1 e Sor2 per dimezzamento di periodo scomparsa di Sor1 e Sor2 per raddoppio di periodo stabilizzazione del sistema su Sr1 e Sr2 , seguita poi dal ramo della soluzione oscillante risonante di Sr (per ω crescente)

Conclusioni La coppia degli attrattori oscillo-rotatori di periodo T Sor1 o Sor2 coprono 3 differenti regioni: la zona in cui si trova l’attrattore di oscillazione risonante Sn la zona di Tumblig caos, in cui Sor1 o Sor2 individuano la finestra periodica la zona, per alti valori della forzante, in cui si passa da comportamento periodico a comportamento caotico. Il bordo del loro bacino di attrazione ha struttura frattale. Per F 1.1 le loro orbite nascono per biforcazioni nodo-sella e muoiono per una cascata di raddoppio di periodo. Per F 1.3 la biforcazione nodo-sella sparisce, sostituita da una cascata di dimezzamento di periodo. Per alti valori di F Sor1 o Sor2 coesistono con l’attrattore di oscillazione risonante Sr e appare anche il fenomeno dell’isteresi.