Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa. L12 Modelli empirici Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

Mappa didattica COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici

Il bacino imbrifero sezione di chiusura

Il metodo razionale (Mulvany, 1850) scalino di pioggia unitario P t t A d tc d(t) pioggia t+dt t A(t) impulso di pioggia unitario t tc t P

L’idrogramma unitario (Sherman, 1932) Postulati Per un dato bacino: a) la durata del deflusso superficiale è uguale per precipitazioni di ugual durata, indipendentemente dal volume totale della stessa. b) precipitazioni con ugual distribuzione temporale producono al tempo t dal loro inizio, deflussi con rapporto pari al rapporto dei volumi totali delle precipitazioni. c) la distribuzione temporale del deflusso è indipendente dalla storia precedente del bacino.

L’idrogramma unitario (Sherman, 1932) Integrale di convoluzione : idrogramma unitario pioggia d t tc somma di idrogrammi successivi Il bacino è un sistema lineare. t P

Modello di Nash, 1957 Interpreta il bacino come una sequenza Pt di serbatoi in cascata. Pt dt h1Pt k1xt1 x1 Equazione di transizione di stato h2Pt k2xt2 x2 h3Pt k3xt3 x3 x4 h4Pt k4xt4 = dt

Modello di Nash, 1957 Sistema lineare Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato

Modelli ARX (anni 70) 1) previsione deflusso con dati di precipitazione : dt+1 = Pt-n+1 n legato al tempo di corrivazione dt+1 = b1Pt+ …+bnPt-n+1 2) previsione deflusso con dati di deflusso : t d t-2 t-1 t t+1 misurato calcolato dt+1 = dt ipotesi di persistenza dt+1 = 2dt - dt-1 AR(2) dt+1 = a1 dt +….+an dt-n+1 AR(n) 3) modello completo: ARX

Considerazioni I quattro modelli fin qui visti sono matematicamente identici. Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare. ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare ARX º Nash ARX º Sherman : un modello lineare, descritto tramite la risposta all’impulso. ARX º Mulvany : il bacino è un sistema lineare ( la risposta allo impulso è la derivata della risp. allo scalino).

taratura dei parametri Considerazioni I quattro approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri Mulvany : effettua una stima qualitativa partendo da considerazioni topografiche. Sherman : attribuisce all’ idrogramma unitario forme data a priori, oppure lo stima a partire da eventi impulsivi realmente accaduti. Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori. ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.

ma allora... Perchè non identificare direttamente la struttura del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico? Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi all’uscita senza preoccuparsi di cosa avviene all’interno del sistema! Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica dell’uscita con una relazione della forma detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna modelli empirici

Modelli empirici Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema. Serie storica delle piogge Serie storica delle portate Modello empirico non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico. Svantaggi:

Modelli empirici rappresentazione interna del serbatoio Esempio rappresentazione interna del serbatoio rappresentazione esterna Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria dà risposte, ma ... inutili. In pratica si procede così: si assume “empiricamente” che esista; si fissa a priori una struttura e l’ordine (p,r’,r’’,q) e si tarano i parametri con opportuni algoritmi; se l’aderenza alla realtà è buona si è trovata la forma cercata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando l’ordine e ... ... si continua fino a che la si trova o l’ordine raggiunto è “troppo” elevato.

Modelli empirici classe PARMAX Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire l’uscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico). modelli a scatola nera (black-box models) Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare classe PARMAX

RETI NEURALI ARTIFICIALI Modelli empirici La forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta... ma... non-lineare! NO! Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le RETI NEURALI ARTIFICIALI

Modelli empirici stocastici Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica rumore di processo O a volte In generale

Osservazioni La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite. I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti. Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica. La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.

Modelli concettuali e empirici come trovarlo? Realtà Modelli empirici spazio dei modelli

Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita. L’identificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello. IDEA (1994) Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definisce non da conoscenze a priori (la Fisica, l’Idraulica, ...), ma direttamente dai dati.

? Un esempio Cunning river - Australia Il suolo asciutto assorbe la pioggia.

Un primo modello del fiume Cunning proviamo con un PARMAX precipitazione deflusso misurato deflusso stimato NO

Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM Il valore del parametro b dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dall’umidità del terreno.

Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM deflusso misurato deflusso stimato ora la previsione è molto buona

Meccanicistici basati sui dati Mappa didattica Modello del disturbo COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Meccanicistici basati sui dati

I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente. N.B. casuale: chi lo fornisce?

I disturbi Mare Adriatico Fucino VILLA VOMANO PIAGANINI PROVVIDENZA CAMPOTOSTO MONTORIO (M) SAN GIACOMO (SG) Distretto irriguo (CBN) S. LUCIA (SL) PROVVIDENZA (P) Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente. N.B. casuale: chi lo fornisce?

Chi li fornisce? Due possibilità: adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. identificare un modello non deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ... ... si cade in un circolo vizioso ... ... che, però, è a volte utile.

Chi li fornisce? Due possibilità: adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. identificare un modello non deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ... ... si cade in un circolo vizioso ... ... che, però, è a volte utile. Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti o, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.

NO! un rumore bianco rumore di processo Il modello deve dunque essere empirico meglio cambiare notazione NO! circolo vizioso! a meno che ... … non debba e non possa essere spiegato perché è un rumore bianco

Il rumore bianco Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Se una serie di dati ammette un modello si dice che è algoritmicamente comprimibile. Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo correlogramma è identicamente nullo. Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Vedremo in seguito come descriverli.

Tipi di modelli Rete Bayesiane di credenza (BBN) Modelli meccanicistici Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi (Catene di Markov)

Leggere MODSS Cap. 4

Bacini imbriferi del Vomano Utilizziamo dei modelli PARMA Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati

Carta prob. Log1100 e prec strum.

Utilizziamo dei modelli PARMA Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati Normalizzazione 3. Standardizzazione 4. Modello PARMA

Bacini Definizione dell’ordine del modello PARMA (n, p) Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati

Bacini Nel caso del Vomano per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0) definito dunque solo da media mt e deviazione standard st ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno

PAR(0) Campotosto

PAR (0) Provvidenza

PAR(0) Piaganini