TEORIA RAPPRESENTAZIONALE DELLA MISURA

E’ la teoria che tratta in modo formale il passaggio dal mondo empirico delle osservazioni a quello delle rappresentazioni numeriche delle quantità misurabili

Il punto di partenza è avere già definito nel mondo empirico le quantità della stessa specie e le relazioni empiriche che permettono di ordinare le quantità misurabili secondo la grandezza della qualità

Indichiamo, per il seguito, con Q l’insieme delle quantità della stessa specie e con R l’insieme delle relazioni empiriche tra di esse.

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4,……, q x, ………} R = {R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 , ………..}

Tramite l’insieme Q e la classe delle relazioni R definite su Q posso formare il sistema relazionale empirico: Q = < Q, R >

Le relazioni R intuitive sono, tutte o in parte, le seguenti: relazione di indistinguibilità o equivalenza simbolo ~ relazione di transizione empirica simbolo  relazione di combinazione empirica simbolo 

relazione di indistinguibilità o equivalenza ~ permette di ritenere equivalenti tra loro due manifestazioni della qualità per cui sarà attribuito loro lo stesso numero in una operazione di misura

Nel caso di un insieme relazionale numerico la relazione di equivalenza è espressa con il simbolo =

relazione di transizione empirica  Permette di mettere in ordine le quantità della stessa specie In un sistema relazionale numerico corrisponde al simbolo < o al simbolo >

Ad un insieme di quantità misurabili della stessa specie corrisponde sempre un insieme di relazioni formato dalla relazione di indistinguibilità e da quella di transizione empirica

Un insieme di quantità misurabili in cui è definita solo la relazione di indistinguibilità non costituisce un insieme di quantità della stessa specie

relazione di combinazione empirica  E’ la relazione che permette di combinare tra loro le quantità e quindi di formare una scala di misura estensiva In un insieme relazionale numerico corrisponde all’operatore di addizione +

Il sistema relazionale empirico < Q , ~ ,  ,  > ha la stessa struttura e le stesse proprietà di un sistema relazionale numerico <Re , = , < , + > in cui Re è un insieme di numeri reali

Per costruire una teoria rappresentazionale della misura occorre: 1 Per costruire una teoria rappresentazionale della misura occorre: 1. definire un sistema relazionale di numeri 2. Avere una condizione di rappresentazione che mappi il sistema relazionale empirico in quello numerico 3. Una condizione di unicità

Punto 1 Definiamo con N una classe di numeri (per esempio quelli naturali) e indichiamo con P un insieme di relazioni definite su N. P = {P1 , P2 , P3 , …………} L’insieme N = < N, P > rappresenta un insieme relazionale numerico

Punto 2 La misura stabilisce una corrispondenza tra le manifestazioni q i ed i numeri N i in modo tale che le relazioni tra le manifestazioni R i implichino e siano implicate dalle relazioni Pi tra le loro immagini nell’insieme dei numeri

Formalmente occorrono: una operazione empirica obiettiva M : Q  N che proietta l’insieme Q sull’insieme N

Una proiezione F di R in P F : R  P (proiezione uno a uno) Questo significa che Pi = F (R i ) ; Pi  P , R i  R In questo modo Q è mappato in N .

Abbiamo a che fare con una trasformazione omomorfica nel senso che per tutti gli R i  R e tutti i Pi  P , con Pi = F (R i ), si ha che R i (q 1, q 2, q 3, q 4,……)  Pi [M(q 1), M(q 2), M(q 3), M(q 4), ….]

La corrispondenza tra R e P è biunivoca La proiezione M tra Q ed N non è biunivoca a manifestazioni distinte della qualità, ma tra loro indistinguibili deve corrispondere lo stesso numero (condizione di rappresentazione)

Il sistema S = <Q , N , M , F > costituisce una scala di misura Il sistema S = <Q , N , M , F > costituisce una scala di misura. L’immagine di q i in N (ossia n i ), ottenuta tramite l’operazione di misura M, è chiamata la misura di q i in scala S.

Punto 3 Condizione di unicità La condizione di unicità è rispettata quando lo è quella di rappresentazione.

La mappatura M può essere fatta in diversi modi e da qui deriva che si possono realizzare diverse scale.

Nasce quindi il problema delle trasformazioni di scala, ossia quali sono le trasformazioni ammissibili. La condizione di unicità limita la classe delle trasformazioni di scala a quelle per cui è valida la condizione di rappresentazione.

Costruzione della scala di misura estensiva Prendiamo un oggetto dello spazio  con manifestazione s 1  Q Scegliamo questo oggetto come standard e assegnano alla sua qualità il valore numerico 1 (operazione di misura M)

Questa è l’unità di misura della scala, la scelta è del tutto arbitraria.

Prendo un altro oggetto che abbia la qualità s ' 1 appartenente all’insieme Q, tale da essere indistinguibile da s 1 a s ' 1 attribuisco sempre come misura il valore 1. Costruisco lo standard s 2 = s 1  s ' 1 e gli attribuisco come misura il valore 2

Standard frazionali possono essere generati costruendo s ½ , s ' ½  Q tali che s ½  s ' ½ ~ s 1 ed assegnando a s ½ il valore ½

Non è sempre possibile avere un sistema relazionale empirico ordinato con la proprietà dell’operatore di combinazione. Esistono delle situazioni meno complete per le quali si può comunque definire una scala, ma non di tipo estensivo

Scala di confronto E’ definita la sola relazione di equivalenza

Esempio: scala dei colori Si sceglie un certo numero di oggetti colorati come standard, ciascuno con una manifestazione distinta di colore e ad ognuno di essi si attribuisce un numero o una etichetta.

Una qualsiasi manifestazione di colore incognita è confrontata con gli standard. Se uno di essi si accorda, alla manifestazione incognita si assegna lo stesso numero o etichetta dello standard.

L’espressione “si accorda” esprime la relazione di equivalenza

Le scale di confronto non sono considerate in genere scale di misura in quanto non permettono valutazioni quantitative.

Non è inoltre possibile stabilire un sufficiente numero di elementi dello standard in modo da assicurare che ogni q i  Q possa trovare un elemento standard di confronto e possa avere assegnata una misura.

Scale di ordinamento o di rango Si è in presenza di un sistema empirico ordinato (quantità della stessa specie) < Q , ~ ,  >

Su di esso si sceglie l’insieme standard di oggetti che hanno s i  Q e sono posti in una serie ordinata S= {s 1 ,...., s n }

I numeri sono assegnati a ciascun s i in modo che si ha un sistema numerico ordinato corrispondente all’ordine degli standard a cui i numeri sono attribuiti.

Ogni q  Q può essere confrontato con gli elementi di S

Se q ~ s i , gli viene assegnato lo stesso numero dello standard Se q ~ s i , gli viene assegnato lo stesso numero dello standard. Se non c’è equivalenza si può determinare tra quali standard trova collocazione

Esempio: Scala Mohs delle durezze Esempio: Scala Mohs delle durezze. Dieci minerali sono assunti come standard in ordine crescente di durezza: talco, gesso, calcite, fluorite, apatite, ortoclasio, quarzo, topazio, corindone, diamante

Ad essi è assegnata la sequenza di numeri da 1 a 10

Se un minerale sconosciuto non graffia il quarzo e non può essere graffiato da lui gli si attribuisce la durezza 7. Se non graffia il quarzo, graffia l’ortoclasio, non è graffiato dall’ortoclasio allora è di durezza intermedia tra 6 e 7.

Trasformazioni di scala Le classi di trasformazioni ammissibili sono quelle che mantengono la relazione di omomorfismo

M numeri che rappresentano misure nella scala di partenza M’ numeri corrispondenti nella scala trasformata

Misure indirette Esistono casi in cui la qualità in esame non consente di costruire una scala estensiva perché non è definita l’operazione di combinazione empirica Esempio: densità = massa / volume

possediamo la scala estensiva della massa e quella del volume E’ possibile costruire una scala estensiva della densità utilizzando le scale delle grandezze associate (massa e volume)

Le misure delle grandezze associate costituiscono un vettore ordinato a cui si fa corrispondere un valore della grandezza sotto misura. Esempio d1 corrisponde al vettore (m1 , V1 ) , d2 corrisponde al vettore (m2 , V2 ) e così di seguito

Se si verifica che manifestazioni della qualità sotto misura hanno lo stesso vettore delle misure delle qualità associate componenti se e solo se sono indistinguibili, possiamo affermare che l’insieme delle misure componenti caratterizza la qualità sotto misura.

Formalizzazione del problema Qo = < Qo, Ro > è il sistema relazionale empirico su cui vogliamo definire una scala estensiva So utilizzando le qualità associate, logicamente indipendenti, che formano i sistemi relazionali empirici {Q1 , Q2 , Q3 ........}

per ognuno dei sistemi Qi esiste già definita una scala di misura estensiva S1 Si = <Qi , Ni , Mi , Fi >

Ipotesi ad ogni manifestazione qo  Qo corrisponde uno ed uno soltanto elemento vettoriale q = < q 1, ......., q n > appartenente all’insieme prodotto dei Qi

Di ogni q i ho la misura, tramite l’operatore M i , posso perciò definire il vettore operatore M (q o ) = < M 1 (q 1 ) , M 2 (q 2 ) , ......, M n (q n ) >

Proprietà di indistinguibilità deve essere verificato che per ogni q’ o  Qo tale che q’ o ~ q o deriva che M’ (q o ) = M (q o ) e viceversa In tal caso si può affermare che M (q o ) caratterizza q o

Ogni operatore M i (q i ) definisce un corrispondente numero nell’insieme numerico N i , l’operatore M (q o ) è stato solo definito tramite il vettore ordinato, ma non è stata ancora stabilito il procedimento con cui assegnare il numero n o appartenente all’insieme numerico N o

Supponiamo che esista un operatore  che faccia corrispondere ai punti dell’insieme prodotto, formato dagli N i , punti dell’insieme numerico N o n n =  (M 1 (q 1 ) , M 2 (q 2 ) , ......, M n (q n ) )

Tramite questo operatore posso definire la mappatura M o da Qo a N o Nel sistema relazionale empirico Qo = < Qo, Ro > sono definite anche le relazioni empiriche tra le qualità.

Sull’insieme numerico N o devo definire un insieme di relazioni Po tali che corrispondano a quelle empiriche. Occorre pertanto stabilire la mappatura biunivoca Fo : Ro  Po

In conclusione, se Mo , Fo costituiscono una mappatura omomorfica dell’insieme relazionale empirico Qo = < Qo, Ro > sull’insieme relazionale numerico No = < No, Po > possiamo definire la scala di misura estensiva indiretta Si = <Qo , No , Mo , Fo >

Le scale indirette possono essere applicate anche al caso in cui sarebbe possibile creare direttamente la scala estensiva della grandezza in esame, ma è opportuno non farlo in modo da avere un ridotto numero di grandezze fondamentali (sistema di unità di misura)

Esempio: la velocità è legata alle grandezze fisiche spazio e tempo Esempio: la velocità è legata alle grandezze fisiche spazio e tempo. Supponiamo note le scale con cui sono misurate le grandezze spazio e tempo e costruiamo la scala della velocità.

Abbiamo il sistema relazionale empirico Vo = < Vo, Ro > , abbiamo gli insieme numerici N1 e N2 relativi alle scale dello spazio e del tempo, occorre stabilire la mappatura 

La funzione più naturale da assumere è quella del rapporto, ma nulla vieterebbe di prenderne un’altra, ad esempio il suo quadrato.

Otterrei ugualmente un sistema ordinato e una scala di misura valida, complicherei però la funzione Fo che ha lo scopo di stabilire la corrispondenza tra le relazioni del sistema empirico e quello numerico.