Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/09 Lezione del 05/05/2009 Prof. ssa ROSSELLA PETRESCHI a cura del Dott. SAVERIO CAMINITI

Cosa si deve fare nel parallelo Ad ogni frammento si associa un identificativo: inizialmente i frammenti sono vertici isolati; lidentificativo del frammento coincide con letichetta del nodo che è radice dellalbero che costituisce il frammento; ogni nodo capisce a quale frammento appartiene semplicemente leggendo il nome della radice del suo albero. Cosa si deve evitare nel parallelo: che il costo sia troppo elevato, quindi bisogna diminuire il più possibile il numero dei processori usati, il numero di iterazioni necessarie e laltezza degli alberi che si gestiscono. Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/092

3 Frammenti = Meganodi Per generare i meganodi: 1.ogni nodo v seleziona un proprio vicino tramite una funzione D:V V; si costruisce così una pseudo foresta (V,F), dove F={(v, D(v)) | v V}. 2.ogni meganodo è identificato dalla radice dellalbero che lo rappresenta ed ogni nodo di V conosce il nome del meganodo a cui appartiene semplicemente leggendo il nome dellalbero a cui appartiene.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/094 Come generare i meganodi Per generare i meganodi: 1.ogni nodo v seleziona il proprio vicino di numerazione minore. Ogni ciclo nella pseudo foresta o è un loop o contiene due archi e in ogni singolo albero il vertice di numerazione minima appartiene al ciclo (e sarà usato come radice). 2.tramite la tecnica del salto del puntatore, ogni albero della foresta è ridotto ad una stella. In tal modo ogni meganodo è identificato dalla radice della stella ed ogni nodo conosce il nome del meganodo a cui appartiene semplicemente leggendo il nome della radice della propria stella

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/095 Grafo ridotto Una volta che al passo k-esimo si sono individuati tutti i meganodi del grafo su cui si sta operando, bisogna costruire il nuovo grafo ridotto su cui si opererà al passo (k+1)-esimo. Il nuovo grafo avrà n k+1 meganodi e tanti spigoli quanti sono quelli che uniscono i meganodi, ovvero quegli spigoli di G che uniscono vertici appartenenti a stelle differenti. Per calcolare n k+1 bisogna numerare tutti i meganodi utilizzando la tecnica delle somme prefisse.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/096 Strutture dati per MST Input: il grafo G rappresentato come matrice di adiacenza pesata W. W[i,j] = w(i,j) se (i,j) E altrimenti W[i,j] =. Output: MST di G rappresentato tramite liste di adiacenza Altre variabili: n k : numero di nodi del grafo al passo k (n 0 = n) W k : matrice di adiacenza del grafo al passo k (W 0 = W) m k (v): adiacente di v t.c. (u,m k (u)) è larco di costo minimo incidente su u (nel grafo al passo k)

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/097 Algoritmo per MST begin k = 0 while W k contiene archi do m k (u) = v t.c. min W k (u,v) Aggiungi (u,m k (u)) al MST Esegui il salto del puntatore su m k (v) Numera i meganodi Costruisci W k+1 k = k+1 end

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/098 Costo dellalgoritmo Adoperiamo una PRAM con n 2 processori, uno per ogni elemento della matrice di adiacenza. Al generico passo k, una componente connessa di n' > 1 nodi, può originare al più n'/2 meganodi. Quindi dopo O(log n) iterazioni del ciclo while lalgoritmo termina. Ciascuna iterazione richiede tempo logaritmico: a)La ricerca del minimo adiacente per ciascun nodo v richiede O(log n) tempo su PRAM EREW, se invece si assume una PRAM ERCW (con scrittura del minimo o priorità al processore di indice minimo) il costo è O(1). b)Il salto del puntatore per ridurre a stelle la pseudoforesta richiedere tempo logaritmico su PRAM CREW. c)La numerazione dei meganodi richiede tempo logaritmico con somme prefisse su PRAM EREW.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/099 Costo dellalgoritmo d)Si deve prestare attenzione nella generazione della matrice W k+1 da utilizzare al passo successivo: tra due meganodi si dovrà porre un arco il cui peso è pari al minimo tra tutti gli archi che collegano i nodi di un meganodo ai nodi dellaltro. Tale operazione si può eseguire in O(log n) tempo su una PRAM EREW simulando una scrittura concorrente. Si dovrà inoltre tenere traccia dellarco del grafo originale a cui tale costo si riferisce, al fine di poterlo correttamente inserire nel MST. Lalgoritmo richiede quindi O(log 2 n) tempo su una PRAM CREW con n 2 processori.

Esempio Grafo di partenza rappresentato tramite matrice W 0 Passo 0: meganodi iniziali = nodi isolati Aggiungendo (u,m(u)) u V Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/

Esempio Dopo il salto del puntatore rimangono 4 meganodi La matrice di adiacenza W 1 del grafo ridotto è: (nella tabella sono riportati il costo minimo di un arco tra due meganodi e lidentificatore di tale arco) Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/ , (1,2)4, (4,5) 22, (1,2)- 34, (4,5) -5, (7,11) 4 5, (7,11)-

Esempio Passo 1: 4 meganodi isolati, aggiungendo (u,m(u)) u in W 1 Dopo il salto del puntatore rimane 1 solo meganodo La matrice di adiacenza è vuota quindi al passo 2 lalgoritmo termina. Il MST risultante è: Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0913 Cosa si deve fare nel distribuito Ad ogni frammento si associa un identificativo: inizialmente i frammenti sono a livello 0 e sono costituiti da un solo nodo il cui identificativo coincide con quello del frammento; lidentificativo di un frammento è dato dal nodo di identificativo maggiore fra i due estremi dello spigolo portante dello spanning tree proprio del frammento. Uniamo i frammenti in due modi: per combinazione di frammenti allo stesso livello k con lo stesso spigolo di costo minimo. In tal caso si crea un nuovo frammento di livello k+1; per assorbimento di un frammento di livello minore con uno di livello maggiore.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0914 Cosa si deve evitare nel distribuito Che i frammenti non coordinino le loro azioni: ogni nodo deve riconoscere a quale frammento appartiene e questa informazione la deve ricevere in modo coordinato; fra tutti gli spigoli uscenti dal frammento, va trovato lo spigolo di costo minimo relativo al frammento stesso; Che lunione dei frammenti non implichi un numero di messaggi da trasmettere troppo elevato: evitare lunione di frammenti grandi con vertici isolati: questo potrebbe portare a trasmettere un numero quadratico di messaggi.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0915 Unione di frammenti Consideriamo un frammento a livello l 0, f l, e sia l' il livello del frammento al quale f l è connesso tramite il suo spigolo uscente di costo minimo, e l. Allora si ha: combinazione di frammenti quando l=l' ed e l = e l'. Qui si crea un nuovo frammento di livello l+1 il cui spigolo portante è lo spigolo che ha unito i due frammenti a livello l; assorbimento di un frammento quando l l'. Il frammento di livello minore è assorbito da quello di livello maggiore che si trasforma in nuovo frammento mantenendo stesso livello e stesso spigolo portante; nessuna operazione in tutti gli altri casi.

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0916 Esempio m l fg eh i c d a b a b 1 b a 2 c d 2 d c 3 e f 3 f e 4 g e 5 h g 6 i g 7 l g 9 m f Identificazione dellarco uscente di peso minimo Inizialmente ogni nodo è un frammento di livello 0 a b c d e f Combinazione e f Assorbimento gm liv 1 1

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0917 Identificazione dellarco uscente di peso minimo 14 Esempio Identificazione dellarco uscente di peso minimo a b c d e f gm 16 c 14 e 5 h Combinazione (niente) Assorbimento e f gm hil e f gm i l ha b c d 16 c e 14 d Combinazione Assorbimento (niente) e f g m i l h cd liv 1 liv 2 5 h g 6 i g 7 l g

Algoritmi Paralleli e Distribuiti a.a. 2008/0918 Esempio Identificazione dellarco uscente di peso minimo a b 16 c Combinazione Assorbimento (niente) e f g m i l h cd 16 a ba e f g m i l h cd liv 2