Modellazione Solida Superfici in 2D 3D non definiscono sempre un volume. In molte applicazioni é necessario definire solidi. Collezioni di linee, curve e superfici non necessaria-mente definiscono solidi. Esempio: Solidi e Rendering

Proprietà Rappresentazione Dominio generale: permette la rappresentazione di molti solidi significativi. Completa (non ambigua): ad ogni rappresentazione corrisponde uno ed un solo solido. Univoca: ogni solido ha una sola rappresentazione. Accurata: permette di trovare rappresentazioni senza approssimare. Vieta rappresentazioni non valide. Preserva la chiusura: le trasformazioni non rendono la rappresentazione non valida. Ammette algoritmi efficienti. Solidi e Rendering 2

Operazioni Booleane su Solidi Oggetti possono essere combinati (per formare oggetti più complessi) usando operatori booleani insiemistici. Il problema è che il risultato non é sempre un solido: Solidi e Rendering

Operatori Booleani Regolarizzati È* Ç* —* danno sempre come risultato un solido A È* B = closure (interior ( A È B)) interior = solido - frontiera closure = solido + frontiera Esempio: Solidi e Rendering

Esempio Intersezione : la frontiera comune ( C-D ; A-B) appartiene al solido se l’interno dei 2 oggetti é dalla stessa parte (A-B). Non appartiene se sono dalla parte opposta (C-D) Solidi e Rendering

Operatori Generali Operatori su interno e boundary Posso ora definire gli operatori regolarizzati: A Ç B = (Ai Ç Bi) È (Ab Ç Bi) È (Bb Ç Ai ) È ( Ab Ç Bb same) Solidi e Rendering

Primitive Instancing Il sistema definisce insieme di primitive parametriche. Utile per definire oggetti complessi difficili da ottenere per combinazione di oggetti più semplici. Usato nel CAD. Esempio: Solidi e Rendering

Sweep Representations Definiti da una figura 2D ed una traiettoria (generalmente lineare o circolare). General sweeps: il profilo si modifica lungo la traiettoria curvilinea. General Sweeps difficili da modellare. Difficile applicare operazioni booleane. Unione di 2 sweeps non é necessariamente una sweep (semplice). Solidi e Rendering

Boundary Representations B-Reps Oggetto descritto in termini delle superfici esterne, vertici, lati e facce. Spesso le superfici esterne sono planari e poligonali (triangolari). Superfici curve sono difficili da trattare. Spesso si assume che le superfici di frontiera siano 2-manifold. Solidi e Rendering

Poliedri Solido le cui superfici sono poligoni. I vertici appartengono ad un numero pari di poligoni (2 se 2-manifold). Poliedro semplice: non ha buchi. La B-REP di un poliedro semplice soddisfa la formula di Eulero: V-E+F=2 (Se ci sono buchi vale V-E+F-H=2(C-G) ) dove H:n. buchi C: n. compon. G: buchi che attraversano l’oggetto. Solidi e Rendering

Ulteriori Vincoli Soddisfare la formula di Eulero non è sufficiente. Dobbiamo anche imporre : 1) ogni lato connette 2 vertici 2) ogni lato é condiviso da 2 facce 3) in ogni vertice entrano almeno 3 lati 4) le facce non devono tagliarsi Gli operatori di Eulero modificano un oggetto ma senza violare la formula. Operazioni che muovono vertici, lati e facce si chiamano tweak. Solidi e Rendering

Operazioni Booleane Applicando operatori regolarizzati a B-Reps otteniamo B-Reps. Per calcolare l’intersezione bisogna ispezionare tutti i poligoni dei 2 oggetti (A B) e per ogni poligono p di A verificare se: 1) pÎAB Ç Bi 2 ) pÎAB - B 3 ) pÎAB Ç BB same oppure pÎAB Ç BBdiff per determinare quale è la situazione si usano tecniche di ray-tracing. Solidi e Rendering

Spatial Partitioning Decomposizione di un solido in molti solidi più semplici non necessariamente uniformi tali che i solidi siano contigui, non intersecanti e di un tipo più semplice. Le rappresentazioni più usate sono: Cell decomposition Spatial-occupancy enumeration Octrees Binary space partitioning trees Solidi e Rendering

Cell Decomposition Insieme di celle primitive (spesso parametriche e curve). Oggetti complessi definiti dall’unione di celle primitive. Rappresentazione non-ambigua ma non univoca. Esempio: Solidi e Rendering

Spatial-Occupancy Enumeration Insieme di celle tutte uguali arrangiate in modo regolare. Le celle sono dette voxels. Tipicamente i voxels sono cubi. Rappresentazione non-ambigua e univoca. Problema principale è l’approssimazione implicita nella rappresentazione. Altro svantaggio è l’alto uso di memoria. Solidi e Rendering

Octrees Octrees: variante gerarchica di spatial-occupancy. Sono l’estensione 3D dei Quadtrees. Idea base: partizione binaria, ogni area può essere piena, vuota o parzialmente piena. La migliore rappresentazione è con alberi di arietà 4 (8 in 3D). Solidi e Rendering

Quadtrees Spazio diviso in quadranti. Esempio di struttura dati: Solidi e Rendering

Octrees (2) Lo spazio viene diviso in 8 ottanti numerati da 0 a 7 In generale: il numero dei è nodi proporzionale alla superficie. Dipende solo dall’estensione della frontiera, non dal solido. Solidi e Rendering

Operazioni Booleane Su Quadtrees (Octrees) Danno sempre risultati rappresentabili. Molto efficienti e facili da realizzare. Solidi e Rendering

Neighbor Finding Come trovare il vicino che sta sopra A ? Risalgo da A fino a trovare il primo antenato comune (1), poi scendo verso B (2): (1) risalgo fino al primo nodo a cui arrivo da sud (2) ridiscendo in modo speculare fino a trovare una foglia Solidi e Rendering

Binary Space Partitioning Trees Dividono lo spazio in sottospazi, definendo un piano arbitrario Ad ogni nodo è associato un piano. Il figlio sinistro è “dietro” il piano, il destro “davanti”. Efficiente per decidere se un punto é interno o no ad un solido. Esempio in 2D : Solidi e Rendering

Constructive Solid Geometry L’oggetto è albero in cui: Nodi : operatori (booleani, trasformazioni) Foglie : primitive Se le primitive sono semplici si può realizzare efficientemente, più delle B-Reps. Solidi e Rendering

CSG (2) In CSG le rappresentazioni non sono univoche. Questo può creare dei problemi se l’utente può modificare interattivamente il disegno. Esempio: Solidi e Rendering

Confronto Accuratezza NO spatial -partitioning B-Reps poliedriche SI CSG primitive complesse B-Reps non poliedriche primitive instancing Generalità NO primitive instancing sweeps Univocità SI octrees spatial occupancy NO altri Solidi e Rendering

Confronto (2) Validazione difficile per B-Reps semplice per altri Chiusura NO sweeps, primitive instancing SI altri Compattezza/ Efficienza CSG compatto non molto efficiente octrees e spatial occupancy poco compatti ma efficienti Solidi e Rendering

Migliorare Realismo Obiettivo : costruire immagini che diano molte informazioni sull’oggetto modellato. Possibilità: creare immagini fotorealistiche, aggiungere effetti speciali. Immagini realistiche sono spesso indispensabili: Progettazione di macchine, aerei, ....... Visualizzazione di processi fisici, chimici .... Videogiochi. Simulatori. Sistemi per l’insegnamento. Solidi e Rendering 1

Difficoltà Il mondo é molto complesso: creare un modello completamente accurato é difficile, visualizzarlo può essere molto costoso. Nostro goal: L’immagine deve contenere abbastanza informazioni da far comprendere le relazioni 3D tra gli oggetti. Se le relazioni sono semplici, bastano immagini non dettagliate. Esempio: quale casa é davanti? Solidi e Rendering

Problema Le proiezioni in 2D di oggetti 3D perdono molte informazioni generando ambiguità. Come é orientato il cubo a? Per risolvere spesso sfruttiamo la nostra conoscenza dell’oggetto. A volte, però, non basta. E’ il sopra di una scala oppure il sotto ? a b c Solidi e Rendering

Rendering di Linee Molte tecniche aiutano a migliorare l’immagine: Viste ortografiche multiple. Proiezioni prospettiche. Depth cueing. Depth clipping. Textures, colore ed eliminazione linee nascoste. Solidi e Rendering

Viste Ortografiche Multiple L’uso di viste ortografiche multiple è utile per oggetti semplici, ma non è facile da interpretare per oggetti molto complessi Esempio: color plate II. 24 Solidi e Rendering

Proiezioni Prospettiche Rendono meglio la distanza, ma non sempre sono non ambigue. A sinistra abbiamo un cubo o un tronco di piramide? La casa di sinistra é più piccola o più lontana. Trovare il punto di fuga di lati paralleli aiuta a eliminare le ambiguità. Solidi e Rendering

Depth Cueing Oggetti più lontani vengono disegnati meno intensi. Normalmente è realizzato definendo un depth-cue color (background) poi l’intensità del colore di un oggetto si ottiene interpolando il suo colore proprio con il depth-cue color. In PHIGS+ abbiamo: front, back depth-cue planes scale factor per ogni piano davantifront color, dietro back color, in mezzo interpola front_color_back. Molto efficace per disambiguare oggetti lontani. Poco utile per oggetti vicini. Solidi e Rendering 5

Depth Clipping Definendo un back clipping plane gli oggetti lontani sono (parzialmente) tagliati. Può essere visto come una variante di depth-cueing. Alternativa : invece di tagliare, evidenziare le intersezioni con il back clipping plane. Effetto molto utile se il back clipping plane viene fatto muovere. Solidi e Rendering 6

Altre Tecniche Texture: applicare sulle superfici disegni o griglie fitte. Può risolvere molte ambiguità, é utile soprattutto nelle proiezioni prospettiche. Colore: assegnare ad ogni oggetto un colore diverso. Il colore può essere proporzionale alla profondità. Eliminazione linee nascoste: rimozione delle linee coperte da superfici più vicine. Aumenta il “realismo” ma nasconde molte relazioni tra oggetti. Alternativa: mostrare le linee nascoste ma in modo diverso (tratteggiate). Solidi e Rendering 7

Rendering di Immagini con Ombre Su terminali raster possiamo visualizzare immagini ombreggiate. Le tecniche usate sono: Rimozione parti nascoste Uso degli effetti di luce Interpolated shading Modellazione delle proprietà dei materiali Uso di textures Ombre Trasparenza e riflessione Effetti fotografici NOTA: tecniche semplici possono però dare problemi di aliasing. Solidi e Rendering 8

Rimozione Superfici ed Effetti di Luce Rimozione di superfici nascoste: con superfici opache la rimozione é indispensabile per disambiguare l’immagine. Illuminazione: per evitare di avere oggetti “piatti” si definiscono sorgenti di luce. Tipi di luce: Luce ambiente: proviene da tutte le direzioni e produce la stessa illuminazione su tutti gli oggetti. Sorgente uniforme: approssima la luce di una lampadina. Sorgente direzionale: approssima la luce solare, è una sorgente posta all’infinito (raggi paralleli). Effetti di Luce: superfici perpendicolari più intense, quelle più oblique meno illuminate. Solidi e Rendering

Altre Tecniche Ombreggiatura con interpolazione: l’ombreggiatura é calcolata ad ogni vertice di ogni oggetto, migliora l’aspetto di superfici curve (Gouraud) approssimate con poliedri. Proprietà dei materiali: tenere in conto come riflettono la luce (Phong). Modelli avanzati per la luce: usano modelli più rispondenti alle proprietà fisiche della luce. Spesso molto difficili da implementare efficientemente. Texture, Ombre, Trasparenza e Riflessione, Uso della Profondità di Campo: permettono di creare immagini molto realistiche Solidi e Rendering 9

Animazione Il realismo di un’animazione è molto diverso da quello di un’immagine: Minore importanza della fedeltà del modello. Cura al realismo dl movimento. Riduzione del temporal-aliasing (effetto ruote di una macchina). Solidi e Rendering

Visione Stereo Generare immagini diverse per i 2 occhi migliora molto l’effetto di profondità. Però richiede dei visori speciali (es. occhiali). Solidi e Rendering

Eliminazione Superfici Nascoste Problema fondamentale: efficienza. In molti computers l’operazione viene fatta in hardware. Ci sono due approcci fondamentali: image precision riferimento è l’immagine sullo schermo. object precision riferimento sono oggetti nel loro mondo. Pseudocodice image precision: for (ogni pixel dell’immagine) { determina l’oggetto più vicino all’osservatore che è visibile attraverso il pixel; disegna il pixel nel colore opportuno; } Solidi e Rendering 1

Object Precision Pseudocodice object-precision for (ogni oggetto del mondo) { determina le parti dell’oggetto non coperte da altri oggetti; disegna queste parti nel colore opportuno; } Se n= numero oggetti e P= numero pixels costo image precision O(np) costo object precision O(n2) Solidi e Rendering

Tecniche Generali Problema: algoritmi di image-precision e di object precision sono molto inefficienti. Soluzione: sfruttare la coerenza delle figure per semplificare (evitare) i conti. Ci sono molti tipi di coerenze che si possono sfruttare per calcolare i valori incrementalmente e non sempre da zero. Solidi e Rendering 2

Coerenza Oggetto: separazione tra oggetti  sep. componenti (facce, lati). Faccia: proprietà cambiano con regolarità. Lato: la visibilità cambia solo se ci sono intersezioni. Lato implicato: se 2 facce si intersecano la linea di intersezione si calcola da solo 2 punti. Scan line: oggetti incontrati variano poco da una linea alla successiva. Area: un gruppo di pixels è spesso coperto dalla stessa area. Profondità: parti adiacenti cambiano poco in profondità. Frame: 2 frames consecutivi sono molto simili. Solidi e Rendering 3

Trasformazioni Prospettiche La determinazione delle superfici visibili va fatta in 3D. Operazione fondamentale è verificare se un punto copre un altro. Accade solo se sono allineati e la verifica richiede 4 divisioni: X1/Z1=X2/Z2 Y1/Z1=Y2/Z2 Più efficiente se proiezioni parallele: X1=X2 Y1=Y2 Solidi e Rendering

Trasformazioni Prospettiche Soluzione: ridurre la piramide canonica nel cubo canonico. La trasformazione preserva il risultato. La matrice di conversione M vale: Solidi e Rendering

Esempio Trasformando un cubo si ottiene: Solidi e Rendering

Estensioni e Volumi Delimitanti Conoscere l’ estensione di oggetti e le loro proiezioni evita molti conti inutili. Assumendo di avere già normalizzato, se l’estensione delle proiezioni non si sovrappone è inutile vedere se gli oggetti si coprono. Solo se l’ estensione si sovrappone potrebbero coprirsi. Solidi e Rendering

Bounding Box e Volume Ad ogni oggetto possiamo associare: Bounding volume (3D) dipende solo dall’oggetto. Bounding box (2D) dipende dalla proiezione. Per determinare la sovrapposizione (non copertura) spesso basta l’estensione 1D. Extents e Bounding volumes sono anche usati per determinare se un raggio interseca l’ oggetto. Solidi e Rendering

Back-Face Culling Nei poliedri é utile identificare le facce nascoste all’osservatore. In coordinate normalizzate: back_face  normale uscente ha Z<Ø Le backfaces si possono scartare, se il poliedro non é clippato. Eliminando le backfaces si riducono di circa la metà i poligoni da considerare. Solidi e Rendering

Partizionamento Spaziale Idea: dividere lo spazio ed assegnare ad ogni sottospazio una parte degli oggetti. Vantaggi: confronti tra oggetti molto ridotti. Problema: non sempre possibile dividere bene lo spazio. Per ovviare a questo prolema si usano tecniche di partizionamento adattivo. Vedremo poi degli esempi. Solidi e Rendering 9

Gerarchie Strutture gerarchiche spesso permettono di capire velocemente se 2 oggetti non si coprono (intersecano). Esempio: Solidi e Rendering

Z-Buffer Algorithm E’ un algoritmo di image-precision. Di facile implementazione hardware/software. Richiede in memoria uno Z-buffer oltre al frame buffer. Non è necessario ordinamento tra poligoni. Non c’é alcun confronto tra oggetti. La scan conversion può essere effettuata una riga per volta (nessuna interazione diretta). Solidi e Rendering 10

PseudoCodice void zBuffer() { int pz; /*Polygon's z at pixel coords (x, y)*/ for ( y = 0; y < YMAX; y++ ) { for ( x = 0; x < XMAX; x++ ) { WritePixel(x, y, BACKGROUND_VALUE); WriteZ(x, y, 0); } } for ( each polygon ) { for ( each pixel in polygon's projection ) { pz = polygon's z-value at pixel coords (x, y); if ( pz >= ReadZ(x, y)) { WriteZ(x, y, pz); WritePixel(x, y, polygon's color at pixel coords (x, y)); }}} } Solidi e Rendering

Esempio Z-Buffer Costruzione incrementale di 1 poligono per volta. Problema : calcolo delle scan lines può essere costoso. Idea: sfruttare depth coherence per semplificare. Poligoni sono planari Ax+By+Cz+D=Ø quindi z=[-D-Ax-By]/C ma incrementalmente: z1=[-D-Ax1-By1]/C z2=[-D-A(x1+x)-By1]/ C=z1-[A/C]  x Solidi e Rendering

Alternativa Il valore di z su una scan line viene calcolato per interpolazione. Esempio: Solidi e Rendering

Vantaggi e Svantaggi Vantaggi Molto generale non richiede che gli oggetti siano poliedrici. Facilmente implementabile. E’ incrementale, salvando lo z-buffer é facile tenere conto di nuovi oggetti. Varianti dello z-buffer si applicano anche a solidi CSG. Svantaggi Richiede molta memoria(~4 byte per pixel). Soffre di problemi di aliasing, a volte ci sono imprecisioni ai bordi dei poliedri. Solidi e Rendering 13

Scan-Line Algorithms Generalizzazione a 3D, si applica ad un insieme di poligoni contemporaneamente. Si mantengono una Edge Table come in 2D ed una Polygon Table con: 1) Equazione del piano 2) Informazioni su colore ed illuminazione 3) Flag booleano (In / Out) La Active Edges Table contiene le stesse informazioni del caso 2D. Quando si attraversa un lato il flag del suo poligono viene flippato. Se il punto appartiene a più poligoni bisogna calcolare le z. Solidi e Rendering 14

Esempio Solidi e Rendering

Casi Particolari Caso di prima visto in 3D. Se i poligoni non si tagliano, quando incontra in uscita ABC non c’é bisogno di confrontare z. Per evitare le intersezioni conviene “splittare” i poligoni. Solidi e Rendering

Generalizzazione Gli algoritmi di Z-buffer e di scan-line possono essere generalizzati a superfici più complesse: add surfaces to surface table; initialize active-surface table; for( each scan line ) { update active-surface table; for( each pixel on scan line ) { determine surfaces in active-surface table that project to pixel; find closest such surface; determine closest surface's shade at pixel; } } Solidi e Rendering 16

Ray Tracing Idea: tracciare un raggio dal centro attraverso ogni pixel e calcolare cosa interseca prima. Facile da implementare. Solidi e Rendering

Pseudocodice select center of projection and window on viewplane; for( each scan line in image ) { for( each pixel in scan line ) { determine ray from center of projection through pixel; for( each object in scene ) { if(object is intersected and is closest considered thus far) record intersection and object name; } set pixel's color to that at closest object intersection; } } Solidi e Rendering

Calcolo Intersezioini Centro (Xø,Yø,Zø) punto di vista Pixel (X1,Y1,Z1) centro del pixel retta : X=Xø+t ²X ²X=X1-Xø Y=Yø+t ²Y ²Y=Y1-Yø Z=Zø+t ²Z ²Z=Z1-Zø Esempio con la sfera centro (a,b,c) raggio r (X-a)2+(Y-b) 2 +(Z-c) 2 = r 2 Sostituendo otteniamo: (²X 2 +²Y 2 +²Z 2)t 2 +[²X(Xø-a)+²Y(Yø-b)+²Z(Zø-c)]2t+(Xø-a) 2+ +(Yø-b) 2 +(Zø-c) 2 -r 2 =ø Calcolata l’ intersezione X Y Z calcoliamo la tangente. Serve per il colore. Per la sfera abbiamo: ( [X-a] /r [Y-b] /r [Z-c] /r ) Solidi e Rendering 18

Intersezioni con Poligoni Fatta in 2 passi : 1) intersezione raggio e piano poligono. 2) verifica che sia interna al poligono. Piano : Ax+By+Cz+D=0 Sostituendo: t=-[Axø+Byø+Czø+D]/[A²x+B²y+C²z] test contenimento fatto in 2D : proiezione ortografica + test Solidi e Rendering

Efficienza di Ray Tracing Schermo : 1024x1024 pixels Oggetti : 1000  109 intersezioni da calcolare Soluzioni 1) trovare formule più semplici per calcolare intersezioni. 2) usare bounding volumes semplici da testare come sfere o insiemi di piani paralleli (slabs). 3) usare gerarchie. Quelle definite nella modellazione oppure definite apposta per semplificare il rendering. 4) partizionamento spaziale: controlla l’intersezione solo con oggetti nei volumi attraversati dal raggio. Solidi e Rendering

Partizionamento Spaziale Metodo semplice : dividere lo spazio in parti uguali. Migliora l’ efficenza. Metodi più complessi usano un partiziona-mento adattivo. Solidi e Rendering

Liste di Priorità Idea : trovare un ordinamento di visibilità degli oggetti e poi disegnarli in ordine (Object precision). Ci sono molte varianti. Problema : non sempre possibile senza modificare figura Esempio: si no Solidi e Rendering

Depth Sort Algoritmo base: ordinare i poligoni rispetto alla profondità. Passi fondamentali: 1) Ordinare per z (minima) crescente. 2) Risolvere le ambiguità (eventualmente splittando). 3) Fare la scan-conversion (back to front). Per risolvere il punto 2 verifichiamo se: Le estensioni su x (y o sul piano xy) si sovrappongono, oppure se esiste un piano (di uno dei loro poligoni) che li separa. Se ancora non riusciamo a risolvere le ambiguità dobbiamo tagliare un poligono con il piano di un altro. Solidi e Rendering

Esempio Nel caso a sinistra P sta tutto da na parte rispetto a Q. Nel caso a destra Q sta tutto da una parte rispetto a P. Solidi e Rendering

Binary Space-Partitioning Trees Calcola informazioni di visibilità indipendenti dal punto di vista. Utile se dobbiamo fare più proiezioni. Idea: selezionare un poligono e dividere tutti gli altri in due gruppi: Front e Back, in funzione della loro posizione (eventualmente splittando). La costruzione poi continua ricorsivamente per entrambi i gruppi. Conoscendo il viewpoint posso facilmente visitare il BSP in ordine back to front. Richiede un preprocessing costoso ma riutilizzabile per molte proiezioni. Solidi e Rendering

Area-Subdivision Algorithms Idea : suddividere il piano di proiezione fino a che é immediato decidere chi è visibile in ogni area Algoritmo di Warnock divide l’area in 4 parti uguali ed ad ogni passo la relazione tra immagine e poligono può essere: Solidi e Rendering

4 Casi Semplici 1) nessun poligono interseca l’area (background). 2) un solo poligono interseca o é contenuto (background+scan-conversion poligono). 3) un solo poligono contiene l’area (colore poligono). 4) un poligono contiene ed è davanti agli altri che intersecano o sono contenuti o contengono (colore poligono). Il caso 4 può essere verificato confrontando le z nei quattro estremi. Se non siamo in questi casi continuiamo a dividere. Solidi e Rendering

Esempi Solidi e Rendering

Algoritmi per Superfici Curve Solo z-buffer per ora tratta le superfici curve. Gli altri richiedono di approssimare le superfici con facce poligonali. Un altro algoritmo per superfici bicubiche è quello di Catmull (generalizzazione di Warnock). Idea : Suddividere i patches in subpatches fino a che siamo in una situazione ovvia. Solidi e Rendering

Scan-Line di Superfici Curve for( each patch ) { push patch onto stack; while( stack not empty ) { pop patch from stack; if( patch covers <= 1 pixel ) { if( patch's pixel closer in z ) determine shade and draw; } else { subdivide patch into 4 subpatches; push subpatches onto stack; } } } Solidi e Rendering

Confronto Metodi In generale : algoritmi di object-precision vanno bene con scene semplici mentre quelli in image-precision dipendono poco dal numero di oggetti. Non esiste un metodo ottimo, dipende dall’applicazione. Il vantaggio di Z-buffer é la sua semplicità e generalità. Il Raytracing viene usato solo se si vogliono ottenere immagini di alta qualità. Solidi e Rendering 38