L’econometria della funzione di produzione Cobb-Douglas Maria Elena Bontempi Roberto Golinelli

Organizzazione della presentazione Una breve panoramica teorica sulla funzione di produzione La calibrazione dei parametri (i residui di Solow) La stima dei parametri con dati cross- section La stima dei parametri con dati panel La stima dei parametri con serie storiche

Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER Funzione di produzione: Y = A L K variabili: Y = produzione, L = lavoro, K = capitale parametri: A = produttività totale dei fattori (TFP)  = elasticità di Y a L  = elasticità di Y a K + =1 rendimenti di scala costanti + >1 rendimenti di scala crescenti + <1 rendimenti di scala decrescenti

Produttività marginale del lavoro (MPL): Se <1, MPL è minore della produttività media. La MPL decresce con L (K si satura).  = 0,7  = 0,4

Nella: Y = A L K una riduzione di A (TFP) equivale ad uno shock negativo di produttività (di offerta): Prima dello shock dopo lo shock Il parametro A governa gli slittamenti della funzione

verifica di Cobb-Douglas Se i mercati sono concorrenziali (i prezzi p sono dati, esogeni), MPL = w/p; da cui:  Y/L = w/p  è la quota distributiva del salario sul reddito totale che può essere stimata a partire dai dati: verifica di Cobb-Douglas imponendo l’ipotesi di rendimenti di scala costanti, la quota distributiva del capitale  è stimata con:

Un esercizio di calibrazione: il residuo di Solow Calibrate le stime di  e , e conoscendo i dati per Y, L e K, il parametro A è ottenuto a residuo dalla funzione di produzione: cioè: il residuo di Solow misura nel tempo gli shock alla TFP (il tasso di crescita della stima di A) Problemi: (a) errori di misura di Y, L e K; (b) mercati non concorrenziali; (c) imposti costanti i rendimenti di scala

Approccio di stima dei parametri  e  Trasformazione logaritmica: log(Y) = log(A) +  log(L) +  log(K) y = a +  l +  k dove lettere minuscole indicano le corrispondenti trasformazioni logaritmiche A seconda del tipo di dati disponibili per y, l, k, ottengo diverse misure (informazioni): cross-section: yi ; li ; ki (i = 1, 2, 3, …, N) time series: yt ; lt ; kt (t = 1, 2, 3, …, T) panel data: yit ; lit ; kit

Modello per dati cross-section yi = ai +  li +  ki dove: ai = a + i ; i ~ iid(0,2) a, ,  e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2) Ipotesi: i casi individuali (nel complesso) forniscono informazioni su una struttura unificante che ha parametri costanti. L’unica fonte di informazione è la variabilità fra individui. Gli i sono shock idiosincratici di offerta.

La stima della costante è la TFP media: Problemi di errori di misura nelle variabili e/o di esplicative endogene richiedono stime IV di  e  con strumenti validi (incorrelati con i ) e rilevanti (correlati con li e ki). Altrimenti stime OLS. Rispetto alla calibrazione (fondata su teoria) la relazione stimata è tecnica (no ipotesi di libera concorrenza); l’ipotesi di rendimenti di scala costanti è verificabile con un test.

Modello per dati panel yit = ait +  lit +  kit dove: ait = ai + t + it ; it ~ iid(0,2) ,  e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2 o it 2 ) Nei panel la dimensione temporale T spesso è molto inferiore a quella individuale N. L’informazione da modellare: variabilità fra individui (between) e variabilità nel tempo per lo stesso individuo (within). Gli shock di offerta it hanno dimensione i e t.

ait = ai + t + it Problema: come modellare la TFP? Diverse definizioni di effetto individuale ai e temporale t implicano diversi modelli. Caso 1: effetto temporale (sistemico) t = 0 Effetti individuali ai fissi (N stime): Il modello panel con effetti fissi stima la TFP (idiosincratica) per ogni individuo.

Effetti individuali ai random: ai = a + i ; i ~ iid(0,2) Nel modello panel con effetti random la TFP è resa idiosincratica dalla presenza della variabile casuale i (e se 2 = 0?) Se supposta stocastica, la componente idiosincratica non può essere correlata con lavoro e capitale perché: yit = a +  lit +  kit + (it+i) disturbo stocastico composito

Caso 2: effetto temporale (sistemico) t  0 L’effetto sistemico (macroeconomico) t colpisce tutti gli individui allo stesso modo. Il panel con effetti fissi temporali e indivi-duali stima le componenti idiosincratiche e quelle sistemiche della TFP: L’effetto sistemico misura la TFP comune a tutti gli individui (una stima ad hoc per ognuno degli anni; pochi perchè T basso).

Riepilogo: modellazione della produzione TFP modellata esplicitamente shock di offerta causalità strutturale yit = ai + t + it +  lit +  kit a + i it ~ iid(0,2) TFP sistemica TFP idiosincratica i2 ; it2 T-1 parametri fissa random Stimatori sandwich Ho: tutti = 0 N-1 parametri i ~ iid(0, 2) Ho:  2 = 0 Modello pooled Ho: tutti = 0

Modello per dati time-series yt = at +  lt +  kt dove: at = dt + t Le serie storiche misurano fatti macro-economici. L’informazione prevalente è la variabilità temporale (ciclo e trend). Una struttura dinamica generale della TFP la si ottiene definendo : dt = a0+a t t =  t-1 + t = ; t ~ iid(0,2)

Gli t-j sono shock macroeconomici di produttività (offerta) Gli t-j sono shock macroeconomici di produttività (offerta). at misura la TFP che, nel tempo, cumula la sequenza di tali shock di produttività. Pertanto, in senso statistico, la TFP è pari a: Due sono le componenti-chiave della TFP: quella deterministica (il trend t) e quella stocastica, governata dal parametro .

Se ||<1  t è un processo AR stazionario, I(0). Questo implica che gli shock di produttività t esercitano un effetto limitato nel tempo: t = t + t-1 +2 t-2 +3 t-3 +4 t-4 + ... Se ad esempio  = 0.6 dopo quattro anni solo 0.64  0.08 dello shock rimane nella memoria della TFP. Nel lungo periodo emerge solo il trend di produttività a pendenza costante a. La componente stocastica della TFP interagisce solo con gli aspetti ciclici dell’output (produzione). Questo fatto contrasta con la teoria classica che postula che gli shock tecnologici abbiano un effetto permanente (non transitorio) sull’output.

Se le variabili y, l, k sono I(1), cioè integrate (non stazionarie), esse devono anche essere cointegrate con un trend deterministico di TFP dato che t è I(0) yt = a0 + a  t +  lt +  kt + t Quando invece =1, allora t è I(1), cioè un processo AR non stazionario in cui gli shock di produttività hanno memoria permanente: t = t + t-1 + t-2 + t-3 + t-4 + ... Da cui si ha che at = a + t

Nota: at = log(At) è la variabile approssimata dal tasso di crescita della TFP calibrata da Solow. at si compone di una costante a che misura la crescita media della TFP (trend deterministico) e dagli shock di produttività di ogni periodo, t. La funzione di produzione è: yt = a0 + a  t +  lt +  kt + Il termine di errore è un processo I(1), cioè un trend stocastico. Pertanto, le variabili di interesse y, l, k se integrate non potranno essere cointegrate A meno che il trend stocastico di produttività non sia misurato da qualche proxy appropriata.