RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE MATRICE → INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe); j = 1,2, …, N (colonne). MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N SCALARE VETTORE COLONNA VETTORE RIGA

SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA: LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI. LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:

LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI: OPERAZIONI CON LE MATRICI UGUAGLIANZA SE SOMMA È DEFINITA SE SONO DELLO STESSO ORDINE E + =

= ESEMPIO PRODOTTO SCALARE SE K È UNO SCALARE, ALLORA =

PRODOTTO TRA MATRICI CON ELEMENTO ESEMPIO: ESEMPIO NUMERICO: ATTENZIONE (3*2) (2*2) (3*2) (2*3) (3*2) (2*2)

TRASPOSIZIONE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È ESEMPIO TEOREMI (AB)’=B’A’

MATRICE SIMMETRICA SE È UNA MATRICE QUADRATA ED ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA. FORME QUADRATICHE SE È UNA MATRICE QUADRATA E SIMMETRICA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA. ESEMPIO:

= Se per ogni X diverso da 0 → È DEFINITA POSITIVA → È SEMIDEFINITA POSITIVA Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA DETERMINANTE AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE CALCOLO DEL DETERMINANTE IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA. SI DEFINISCE COFATTORE di ordine ij il prodotto =

IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE: SE È 2*2, CIOÈ: SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ: In cui i minori sono

In generale O equivalentemente

ALCUNE PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ; SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ; SE OGNI ELEMENTO IN È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE; SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO È SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UN’ALTRA RIGA/COLONNA, NON CAMBIA. SE LE RIGHE/COLONNE DI SONO LINEARMENTE DIPENDENTI IL IlL DETERMINANTE DI UNA MATRICE TRIANGOLARE E’ PARI AL PRODOTTO DEGLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE anche se A non è simmetrica

' INVERSIONE DI UNA MATRICE L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ: IN ALTRI TERMINI, È L’INVERSA DI SE E SOLO SE: E CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA L’INVERSA È CHE ,CIOÈ SE È NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ: '

L’INVERSA DI SI OTTIENE DA: ESEMPIO: QUINDI: ‘ '

Alcune proprietà delle matrici inverse ESEMPIO NUMERICO Alcune proprietà delle matrici inverse 1) Se A e B sono entrambe matrici non singolari 2) 3) 4)

RANGO DI UNA MATRICE In una matrice A di dimensione m x n il numero massimo di righe linearmente dipendenti è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Tale numero è detto rango della matrice e si indica con r(A). Alcune definizioni/proprietà Se A è una matrice quadrata di ordine N e rango pari a N, A è detta matrice nonsingolare ed esiste una matrice inversa unica. Quando il A è detta matrice singolare e non esiste la matrice inversa.

DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA: Se X è una matrice di dimensioni (n,k) con k<n e tra le colonne della matrice non vi sono relazioni lineari esatte si dice che X ha pieno rango pari a k e si ha

VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE -SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI -SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE

- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M - SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI