Statistica per le decisioni aziendali ed analisi dei costi Modulo II - Statistica per le decisioni Aziendali Richiami di Algebra Matriciale

2 RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE MATRICE INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe); j = 1,2, …, N (colonne). MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N SCALARE VETTORE COLONNA VETTORE RIGA

3 SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA: LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI. LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:

4 LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI: OPERAZIONI CON LE MATRICI UGUAGLIANZA SE SOMMA È DEFINITA SE A, B SONO DELLO STESSO ORDINE E + =

5 = ESEMPIO PRODOTTO SCALARE SE K È UNO SCALARE, ALLORA ESEMPIO =

6 PRODOTTO TRA MATRICI CON ELEMENTO ESEMPIO: ESEMPIO NUMERICO: (3*2) (2*2) (2*3) (3*2) (3*2) (2*2) ATTENZIONE

7 TRASPOSIZIONE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È ESEMPIO TEOREMI (AB)=BA

8 MATRICE SIMMETRICA SE È UNA MATRICE QUADRATA ED ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA. FORME QUADRATICHE SE È UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA. ESEMPIO:

9 Se per ogni X diverso da 0 È DEFINITA POSITIVA È SEMIDEFINITA POSITIVA Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA DETERMINANTE AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE SELA MATRICE È NON SINGOLARE SE LA MATRICE È SINGOLARE CALCOLO DEL DETERMINANTE IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA. SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFATTORE.

10 IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE: SE È 2*2, CIOÈ: SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ: MA

11 TEOREMI SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ; SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ; SE OGNI ELEMENTO IN È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCHESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE; SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO È SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UNALTRA RIGA/COLONNA, NON CAMBIA.

12 INVERSIONE DI UNA MATRICE LINVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ: IN ALTRI TERMINI, È LINVERSA DI SE E SOLO SE: E CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA LINVERSA È CHE,CIOÈ SE È NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ: '

13 LINVERSA DI SI OTTIENE DA: ESEMPIO: QUINDI: '

14 ESEMPIO NUMERICO DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA:

15 VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE -SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI -SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE

16 - SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI

17 Prodotto di Kronecker Sia A una matrice Rettangolare di ordine m x n e sia B una matrice di ordine QUALSIASI p x q. Il prodotto di Kronecker di è dato dalla matrice di ordine m p x n q