Introduzione alla Regressione Logistica Rachid Salmi, Jean-Claude Desenclos, Alain Moren, Thomas Grein

Contenuto regressione lineare semplice e multipla regressione logistica lineare semplice La funzione logistica Stima dei parametri Interpretazione dei coefficienti Regressione logistica Multipla Codifica delle variabili Esempi in Stata Modellare i propri dati

Regressione lineare Semplice Tabella 1 Età e pressione sistolica nel sangue (PAS) in 33 donne adulte

SBP (mm Hg) Age (years) Adattato da Colton T. Statistics in Medicine. Boston: Little Brown, 1974

Regressione lineare Semplice Relazione tra 2 variabili continue (PAS ed Età) y Slope x coefficiente di Regressione b1 Misura l’associazione tra y ed x Valore del cambiameto di y in media quando x cambia di una unità Metodo dei minini quadrati

Regression lineare Multipla Relazione tra una variabile continua ed un a set di variabili continue coefficienti di regressione Parziale bi Valore del cambiamento di y in media quando xi cambia di una unità e tutte le altre xJ , per j≠i , rimangono costanti Misura l’associazione tra xi ed y corretta per tutte le altre xJ Esempio PAS verso età, peso, altezza, etc

Regressione lineare Multipla Dipendente Variabili indipendenti Predetta Variabili predittive Variabile Risposta Variabili esplicative Variabile Esito Covariate

Analisi Multivariata Modello Risultato. Regressione Lineare quantitativo continuo. Regressione di Poisson conteggi. Cox model sopravvivenza. Regressione Logistica binomiale. ...... Scelta del modello secondo lo studio, gli obiettivi, e le variabili. Controllo del confondimento. Costruzione di un modello, predizione.

Regressione logistica Modella la relazione tra un set di variabili xi dicotomiche (mangiare : si/no) categoriche (classe sociale, ... ) continue (eta’, ...) e Variabile dicotomica Y esito dicotomico (binario) situazione molto comune in biologia e epidemiologia

Regressione logistica (1) tabella 2 Età e sintomi di malattia coronarica (CHD)

Come possiamo analizzare questi dati ? Confronto di Età media delle donne Malate e Non- Malate Non- Malate : 38.6 anni Malate: 58.7 anni (p<0.0001) Regressione Lineare?

Plot a punti: Dati di Tabella 2

Regressione logistica (2) tabella 3 Prevalenza (%) dei segni di CD in accordo con il gruppo di età

Dot-plot: Dati di Tabella 3 Malati % Età (anni)

La funzione logistica (1) Probabilità di malattia x

La funzione logistica (2) logit di P(y|x) {

La funzione logistica(3) Vantaggi del logit transformazione semplice di P(y|x) relazione lineare con x Può essere continua (Logit tra -  to + ) E’ nota la distribuzione binomiale (P tra 0 ed 1) Diretto legame con la nozione di odds di malattia

Interpretazione di b (1)

Interpretazione di b (2) β = incremento del log-odds per incremento unitario di x Test d’ipotesi H0 β=0 (test di Wald) Intervallo di confidenza

Esempio rischio di sviluppare malattia delle arterie coronarie in accordo con età (<55 e 55+ anni).

Risultati del fitting del modello di regressione logistica

Adattamento dell'equazione ai dati regressione lineare: minimi quadrati regressione logistica: massima verosimiglianza funzione di verosimiglianza I parametri stimati a e b hanno reso massima la verosimi-glianza (probabilità) dei dati osservati rispetto ad ogni altro valore In pratica è più semplice lavorare con log-verosimiglianza

Massima verosimiglianza Calcolo terativo scelta di un valore arbitrario per i coefficienti (usualmente 0) Calcolo della log-verosimiglianza Variazione dei valori dei coefficienti Reiterazione fino alla massimizzazione (plateau) Resultati stime di massima verosimiglianza (MLE) per  e  stime di P(y) per a assegnato valore di x

Regressione logistica multipla Piu’ di una variabile indipendente dicotomica , ordinale, nominale, continua … Interpretazione di bi Incremento del log-odds per un Incremento unitario di xi con tutte le altre xi constanti misure di associazione tra xi e log-odds corretta per tutte le altre xi

Regressione logistica Multipla Modifica dell’effetto Puo’ essere modellato includendo termini di interazione

Test dell’ipotesi Statistica Domanda Il modello che include una variabile indipendente assegnata fornisce più informazione circa la variabile dipendente del modello in cui tale variabile è assente ? Tre test statistica rapporto di verosimiglianza [statistica (LR)] Wald test Score test

statistica: rapporto di verosimiglianza Confronto di due modelli annidati (nested) Log(odds) =  + 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 (modello 1) Log(odds) =  + 1x1 + 2x2 (modello 2) statistica LR -2 log_lik (modello 2 / modello 1) = -2 log_lik (modello 2) meno -2log (modello 1) La statistica LR è 2 con DF = numero di extra parametri nel modello

Esempio P probabilità di arresto cardiaco Exc 1= sedentarietà , 0 = exercizio Smk 1= fumo , 0= non-fumo adapted from Kerr, Handbook di Public Health Methods, McGraw-Hill, 1998

Effetto di interazione tra fumo e sedentarietà ? Termine del Prodotto b3 = -0.4604 (SE 0.5332) Wald test = 0.75 (1df) -2log(L) = 342.092 con termine interaczione = 342.836 senza termine interaczione  LR statistica = 0.74 (1df), p = 0.39  Non evidenza di interazione

Codifica di variabili (1) variabile dicotomica: yes = 1, no = 0 variabili continue Incremento di OR per una variazione unitaria della variabile esposizione Il modello Logistico è moltiplicativo  OR Incrementa esponenzialmente con x Se OR = 2 , per la variazione unitaria di esposizione di x passa da 2 to 5: OR = 2 x 2 x 2 = 23 = 8 verifica che OR Incrementi esponenzialmente con x. Quando in dubbio, trattare come variabile qualitative

variabile continua ? Relazione tra SBP>160 mmHg e BW (body weight) Introduci BW come variabile continua ? Codifica del peso come variabile singlola , eg. 3 classi uguali: 40-60 kg = 0, 60-80 kg = 1, 80-100 kg = 2 Compatibile con assunto di modello moltiplicativo Se non compatibile, usa variabili indicatori

Codifica delle variabili (2) variabili nominali o ordinali in classi disuguali : Fumatori di tabacco : no=0, grey=1, brown=2, blond=3 modello assume che l’OR per (tabacco blond) = OR per (tabacco grey)3 Use indicator variabili (dummy variabili )

variabili indicatori: tipo di tabacco Neutralizza la gerarchia artificiale tra classi nella variabile "tipo di tabacco" Nessun assunto messo in atto 3 variabili (3 df) nel modello usando la medesima referenza OR per ogni tipo di tabacco, corretto per gli altri, riferito al non-fumo

Referenze Esempi usando stata Esempio 1: Low Birth Weight Study Hosmer DW, Lemeshow S. Applied logistic regression. Wiley & Sons, New York, 1989 Esempi usando stata Esempio 1: Low Birth Weight Study Esempio 2: Risk di death from bacterial meningitis according to treatment

Esempio 1: Studio «Low Birth Weight » 198 observations Low Birth Weigth [LBW] 1= Birth weight < 2500g 0= Birth weight >= 2500g Age di mother in years Weight di mother in pounds [LWT] Race (1,2,3) numero di doctor’s visit in last trimester [FTV]

Esempio 2: Rischio di morte per meningite batterica in accordo con il trattmento 161 observations Death (0,1) Treatment (1=Chloramphenicol, 2=Ampicillin) Delay before treatment (onset, in days) Convulsions (1,0) Level di consciousness (1-3) Severity di dehydration (1-3) Age in years Pathogen 1 Others, 2 HiB, 3 Streptococcus pneumoniae