Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Giulia Deolmi, Fabio Marcuzzi ; Università di Padova, Padova (Italy) Silvia Poles ; ESTECO, Padova (Italy) Sergio Marinetti ; Istituto per le Tecnologie della Costruzione, CNR Padova (Italy)

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) q qx y z l d z0z0 -z 0 z=0 o Interagisco solo con una faccia S, dotata di una matrice di sensori termici Lastra metallica di materiale e dimensioni noti La corrosione è uniforme lungo z 2D = sensori termici suddivisione più fine di S: S h x o y d l q S DcDc d Investo S con un flash termico q e raccolgo i dati sperimentali D c / S adiabatico N numero di sensori su S S h SCOPO: ricostruire il profilo di corrosione incognito a partire dai dati sperimentali

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) o y x d l f(x) q S DcDc d = sensori termici suddivisione più fine di S: S h altezza scalino = profondità della corrosione nellintervallo o y x d l f(x) S DcDc d Griglia ottimale = suddivisione ottimale di S Il profilo di corrosione è descritto da una funzione a scalino f Ricostruire il profilo reale di corrosione equivale a determinare f tale che i residui siano minimi Costruisco su G un modello numerico FEM che risolva lequazione del calore ho una stima delle temperature su S h Sia G la griglia costruita su Dc a partire da S h e con passo costante dy OSSERVAZIONE: se N>>1 è impensabile usare S h !!! Dobbiamo determinare S h tale che i nodi di siano i punti di discontinuità di f. A partire da costruiamo G e usiamo il modello FEM su questa

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) OSSERVAZIONE: dapprima consideriamo una lastra non corrosa (f 0), registriamo le temperature sperimentali e stimiamo i residui, per avere un valore di riferimento che rappresenta la precisione massima del nostro modello La corrosione non modifica il modello FEM ma solamente il dominio D c f è identificata dalla suddivisione e dalla profondità di ogni scalino, quindi i problemi da appontare sono: 1) Determinare che descrive f con il minor numero di nodi: OUTER LOOP 2) Per ogni fissato, determinare la profondità di ogni scalino : INNER LOOP Strumenti fondamentali Ottimizzazione non lineare Raffinamento locale Algoritmi genetici

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Ad ogni parametro corrisponde una precisa zona spaziale del profilo di corrosione Lampiezza di questa zona non può essere troppo grande per assicurare la convergenza ad una stima sufficientemente accurata del profilo di corrosione Consideriamo la situazione di parametri non sovrapposti Il ciclo interno si basa su un metodo di ottimizzazione non lineare: Prediction Error Method (PEM). Detto e il residuo della stima delle temperature sperimentali, lalgoritmo cerca il profilo che minimizza la funzione di costo non lineare: Per approfondimenti sul PEM si veda ad esempio [1].

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) applico PEM: y x o l S DcDc d = suddivisione iniziale 0 Parto con corrosione nulla y x o d l S DcDc d Stimo la corrosione su ogni segmento o l S DcDc d = nuova suddivisione Raffino localmente la suddivisione dove cè corrosione maggiore delliterazione precedente x Ipotesi: 0 S h, f 0 0 Sia i-1 ={0,x i-1,1,…, x i-1,k,...,1 } suddivisione alliterazione i-1. Iterazione i: applico il PEM a i-1. k t.c. la corrosione stimata in [x i-1,k,x i-1,(k+1) ] sia maggiore delliterazione i-1, e |x i-1,k -x i-1,(k+1) |>dx, i = i-1 1/2(x i-1,k +x i-1,(k+1) ) 1) Il metodo della bisezione: esempio di raffinamento locale

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Sottoinsiemi della suddivisione più fine S h ={0,x 1,…, x k,…, x N-2,1 } c. b. Successioni binarie di N elementi, OBIETTIVI: cerco ottimale t.c. 1)Il corrispondente abbia il numero minimo di nodi; 2)Minimizzi la funzione di costo, cioè la norma del vettore N dimensionale dei residui calcolati a partire da e dalla stima dei parametri. 2) Gli algoritmi genetici Per approfondimenti sugli AG si veda per esempio [2].

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Aspetti fondamentali La parametrizzazione copre tutto il dominio, quindi la copertura avviene in modo DETERMINISTICO Louter loop deve SOLO a regolare ladattamento della parametrizzazione Come vedremo algoritmi genetici confrontati col raffinamento locale risultano troppo costosi

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Per problemi di piccola dimensione: -gli 1 definiscono, cioè i nodi della mesh più fine che considero - ogni parametro rappresenta la profondità sul segmento compreso tra due 1 del vettore. suddivisione = (1,0,1,1,0,0,1,1,1, 1, 1) Segmenti su cui stimo i parametri

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Applichiamo i metodi allo stesso problema simulato numericamente, con N=11. Il profilo di corrosione da stimare è indicato in figura e la suddivisione ottima è: Quali sono i risultati dei due metodi? Bisezione Dopo qualche decina di minuti il metodo converge alla soluzione: non individua la ottimale, pur stimando correttamente i parametri = (1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1)

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Algoritmi genetici La mesh ottimale sta sul fronte di Pareto (è il punto 257) inoltre le generazioni tendono a convergere al fronte. PROBLEMA: il metodo è molto lento (diverse ore per un problema di dimensione ridotta) Utilizziamo MOGA implementato in modeFRONTIER

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Dati sperimentali forniti dal CNR

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Bisezione Algoritmi genetici E un algoritmo veloce tende a raffinare troppo, allontanandosi dalla suddivisione ottimale non riconosce i minimi locali (non è robusto) è puramente deterministico Forniscono una visione globale del problema, attraverso il fronte di Pareto Sono in grado di gestire i minimi locali la convergenza al fronte di Pareto è molto lenta Hanno una componente probabilistica

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Se si conosce con sufficiente accuratezza il valore di costo della ottimale, si può utilizzare un solo obiettivo e imporre che la funzione di costo stia in un certo intervallo molto piccolo. Tuttavia un approccio di questo tipo non risolve in modo sostanziale il problema. Vorremmo ridurre il tempo di convergenza degli algoritmi genetici ABBIAMO BISOGNO DI UNA STRATEGIA DIVERSA

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Aspetti fondamentali Per limitare il carico computazionale il numero di parametri deve restare contenuto la zona spaziale di ogni parametro non può essere troppo grande L outer loop deve trovare un modo efficiente per analizzare TUTTO il dominio, con basso margine di rischio, mediante parametrizzazioni SPARSE QUINDI La copertura avviene in modo PROBABILISTICO QUI GLI ALGORITMI GENETICI DANNO UN CONTRIBUTO FONDAMENTALE NEL TROVARE IN MODO EFFICIENTE ZONE CORROSE SU UN DOMINIO ESTESO

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Per problemi di grande dimensione siamo in presenza di vettori sparsi quindi un approccio come quello precedentemente introdotto non è corretto perché tenderebbe a mediare la corrosione presente in un intervallo ampio del dominio. suddivisione = (0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0, 1) pixel = (1,0,0,0,0,0,1,1,0, 1, 1) -gli 1 in pixel definiscono, cioè i nodi della mesh più fine che considero - Se un elemento in suddivisione è 1 vado a stimare la corrosione SOLO sul segmento della mesh più fine subito a sinistra Per problemi di grande dimensione:

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) 1) Creo una popolazione iniziale random e sparsa OUTER-LOOP: 2) su ogni individuo della popolazione corrente eseguo lINNER-LOOP, che trasforma la popolazione iniziale: 3) stimo i valori dei parametri col PEM; 4) per ogni parametro maggiore di TOLL ( = corrosione significativa): 5) facciamo un arricchimento locale di parametri; 6) stimo valori dei parametri (arricchiti) 7) itero da 5) finché non soddisfo un criterio di arresto NB: le operazioni possono essere compiute in parallelo. 8) raccolgo le informazioni dellinner loop in un vettore costanti che inizializzo a –1 e ne modifico le componenti rispettivamente in 1 e 0 a seconda che nellintervallo a sinistra ci sia o meno corrosione. 9) A partire dalla popolazione trasformata, con gli operatori creo una nuova popolazione corrente ed itero da 2). [3] Per approfondire NSGA-II

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Applichiamo NSGA-II modificato per un problema simulato numericamente, con N=51. Il profilo di corrosione da stimare è il seguente: NSGA-II modificato converge al profilo di corrosione già nelle prime generazioni. La popolazione stimata nellultima generazione è:

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Supponiamo di considerare il vettore di zeri v e imponiamo v(9)=v(16)=v(33)=1. Vediamo come opera il raffinamento locale.

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) Per problemi di piccole dimensioni scegliamo la strada deterministica, che ci porta ad una accurata stima del profilo di corrosione su tutto il dominio e in questo caso il raffinamento locale è una buona scelta A causa della complessità computazionale, per problemi di grande dimensione non è pensabile seguire questa strada. Adottiamo quindi un metodo di indagine probabilistico e in questo assumono un ruolo fondamentale gli AG POSSIBILI SVILUPPI: è possibile perfezionare NSGA-II modificato, per rendere più veloce la convergenza al profilo di corrosione. Per esempio al vettore costanti, che indica quali sono i segmenti dove non ho ancora stimato la corrosione, potrebbe essere associata una densità di probabilità. Altro sviluppo interessante sarebbe analizzare il problema 3D.

Enginsoft CAE users meeting Ottobre 2007 Villa Caroli Zanchi Stezzano (BG) [1]T. McKelvey, Identification of state-space models from time and frequency data, 1995 [2]Singiresu S. Rao, Engineering Optimization, 1996 [3]N. Srinivas, Kalyanmoy Deb, Multiobjective Optimization Using Nondominated Sorting in Genetic Algorithms - Evolutionary Computation,1994