Dizionario Zingarelli Probabilità Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile - credibile, verosimile, ammissibile in base a motivi e argomenti abbastanza sicuri

Introduzione La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato Esempi: Moto di un grave Traiettoria di una pallina in un biliardo Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi Esempi: Risultato del lancio di una moneta Traiettoria di 100 palline in un biliardo Vincita in una lotteria Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

Testa, testa, testa, croce, croce, croce. “Immaginiamo di aver lanciato una moneta per sei volte e di aver ottenuto i seguenti risultati” Testa, testa, testa, croce, croce, croce. Testa, croce, croce, testa, croce, testa. Quale fra A e B è la sequenza più probabile? La maggior parte delle persone sceglie B, perché rappresenta lo STEREOTIPO di sequenza casuale (sia A che B = 1/64)

Problema : Gioco dell’oca - un finale carico di tensione Vince colui che per primo arriva. esattamente sulla casella FINE Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine. Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo? Lo scopriremo ...

Probabilità Nei precedenti problemi non si riesce a determinare con certezza l'esito tra varie possibili alternative. Due cause possibili: - mancanza di informazioni - l'indeterminatezza connaturata.   Ma la causa non interessa: chiameremo tali eventi "casuali". Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova quantità: la probabilità.

Caratteristiche della probabilità - Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabile ed utile in casi interessanti.   - Si determina attraverso processi logici. - E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di 100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1]. Quest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% è l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.

DEFINIZIONI Spazio degli eventi “S”: l’insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento. Può essere discreto, non numerabile o continuo con un numero qualsiasi di dimensioni. Evento “E”: un qualsiasi sottoinsieme di S. Ogni definizione di probabilità deve essere data con rigoroso riferimento ad un evento “E” ed a uno spazio degli eventi “S”. Sono possibili diversi approcci alla definizione della probabilità di un evento E  S.

Spazio campione: Evento: Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento Esempio: Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce} Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali) Evento: Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati caratterizzati dal godere di una stessa proprietà Esempio: E={Testa} nel lancio di una moneta

Concezioni alternative di probabilità Fenomeno casuale Concetti primitivi Ogni fenomeno che non sia prevedibile con certezza ( es del tempo a Oslo) Evento elementare (E) Probabilità dell’evento (E) Uno dei qualsiasi modi in cui il fenomeno si può manifestare Casi favorevoli/Casi possibili Fenomeni equiprobabili Frequenza relativa delle volte in cui si verifica (E) In una successione infinita di osservazioni del fenomeno nelle medesime condizioni Fenomeni ripetibili Grado di fiducia che un individuo ha sul verificarsi di E Altri fenomeni

P Finito Infinito Fenomeno casuale o prova Lancio di un dado Spazio campionario (campione) Spazio campionario (campione) Finito Infinito Evento elementare Durata di una lampadina max

E = , E A = , B = , Spazio campionario Lancio di un dado (campione) Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6 Faccia “pari” Modi di descrivere l’evento Faccia “dispari” NB l’insieme può anche essere continuo ( durata lampadina)

Interpretazioni della probabilità Esistono varie scuole su come definire la probabilità:   - Classica - Frequentista - Soggettivistica - Assiomatica

Definizione classica di probabilità: (detta a priori) -1812 Pierre Simon de Laplace: la probabilità è data dal rapporto tra I casi favorevoli all’evento ed il numero di casi possibili (quando sono ugualmente possibili) Dato un evento E: Es : il dado, la monete, il lotto, ecc

Uno dei protagonisti delle vicende fu il Cavaliere di Merè, un incallito giocatore d’azzardo, che, volendo trovare un metodo che gli consentisse di vincere al gioco, pose a Blaise Pascal due problemi che ormai sono rimasti celebri nel mondo del calcolo delle probabilità: E’ più probabile avere un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte due dadi? Se due giocatori, della stessa bravura, interrompono all’improvviso un gioco in cui vince chi per primo totalizza un fissato numero di punti, come va divisa la posta se nessuno raggiunge il punteggio?

CLASSICA Un’urna contiene 50 palline di cui 30 bianche, 15 verdi e 5 rosse. La probabilità che estratta una pallina essa sia bianca: 30/50=3/5, che sia verde: 15/50= 3/10 e che sia rossa: 5/50=1/10 Da un’urna che contiene 40 palline di cui 12 b, 11 r, 17v si estraggono CONTEMPORANEAMENTE due palline. Calcolare la probabilità che esse siano a) entrambe bianche b) entrambe rosse c) una rossa e una verde. I casi possibili sono le combinazioni di 40 oggetti in due posti i casi favorevoli sono tutte le combinazioni di 12 palline bianche in 2 posti e la probabilità richiesta è p=66/780=11/130 b) I casi favorevoli sono ora C11,2 =55 e la probabilità in senso classico è 55/780=11/156 c) I casi favorevoli sono 11*17 e la probabilità è 187/ 780.

Nel gioco del Lotto qual è la probabilità di fare ambo? Tra tutte le cinquine possibili i casi favorevoli sono quindi la probabilità è Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presentino 2 teste. I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità Quelli favorevoli sono: {TTC,TCT,CTT} 3 possibilità La probabilità è quindi 3/8. Sapreste trovare gli errori?

X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12} combinazioni possibili 2 1,1 3 1,2 2,1 4 2,2 3,1 1,3 5 2,3 3,2 4,1 1,4 6 3,3 4,2 2,4 5,1 1,5 7 3,4 4,3 5,2 2,5 6,1 1,6 8 4,4 5,3 3,5 6,2 2,6 9 6,3 3,6 5,4 4,5 10 5,5 6,4 4,6 11 5,6 6,5 12 6,6 p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 x= somma dei 2 dadi Vai a DUEDADI

Concezione frequentista o statistica. (detta a posteriori) -1919 Richard von Mises Si basa sulla ripetibilità della prova sotto le stesse condizioni. Gli esiti della prova (eventi) non sono sempre gli stessi. Se ripetiamo la prova n volte e l’evento A si verifica nA volte, la sua probabilità (frequenza relativa) è: Es: prove ripetute con il lancio di un dado o la caduta di un grave in laboratorio Ma anche le auto ad un casello, la pioggia alla festa della paciarella, il quesito alla maturità, …

Legge empirica del caso: In un gruppo di prove ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con una frequenza approssimativamente uguale alla sua probabilità; generalmente l’approssimazione migliora quando il numero delle prove cresce. Ovvero il valore della frequanza relativa f(E)=m/n tende al valore della probabilità p(E) all’aumentare del numero n di prove effettuate. Vai a file excel “ dado moneta e calc comb”

Concezione soggettivista: 1931 Bruno de Finetti “La probabilità di un evento è la misura della fiducia che un individuo razionale e coerente attribuisce, in base alle proprie conoscenze e alle informazioni che possiede, al verificarsi dell’evento stesso”. P(E)= prezzo da pagare / somma ricevuta al verificarsi di E Maturità 2006 corso sperimentale sessione ordinaria: Bruno de Finetti , tra i più illustri matematici italiani,del quale ricorre il centenario della nascita, alla domanda :”che cos’è la probabilità” era solito dire:” la probabilità non eisiste !” Quale significato puoi attribuire a tale risposta?E’ possibile collegarla a una delle def di probabilità che sono state storicamente proposte?

Definizioni e insidie classica i casi possibili devono avere “ugual peso” (esempio del lancio di 2 monete perfettamente identiche o la partita juventus-acireale) la definizione diventa “autodefinente”: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purchè questi siano equiprobabili! Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta alla vita reale Applicabile solo ad uno spazio degli eventi finito

frequentista soggettivista Quante prove effettuare? La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale numero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilità Ancora con il calcio: non si può ripetere la stessa partita tante volte... NB un evento singolo è un evento unico che non può essere ripetuto Per es: l’italia vincerà i mondiali nel 2010 soggettivista Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al realizzarsi dell’evento; la valutazione dipende dalla singola persona che la effettua. Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto. Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso di scambio di ruoli (gioco equo).

Teoria ASSIOMATICA della probabilità 1933 Andrej Nikolavic Kolmogorov “Non serve una definizione, serve una teoria che mi permetta di calcolarla”. Termini: L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto SPAZIO CAMPIONARIO. L’evento IMPOSSIBILE è quello che non può mai verificarsi L’evento CERTO è quello che si verifica sicuramente. Evento ALEATORIO è un evento che non è nè impossibile nè certo Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se si verifica che A∩B = Ø Se A è B sono due eventi allora sono eventi anche

Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

Partizione dello Spazio Campionario Leggi di De Morgan (1) (2) Partizione dello Spazio Campionario Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) Vedere file probabilità e teoria degli insiemi 1 e 2

Definizione di probabilità mediante gli Assiomi di Kolmogorov : Postulato 1. Postulato 2. Postulato 3. P(Ei) 0: (non negatività) La probabilità di un evento Ei è sempre maggiore o uguale a 0 2.i P(Ei) = 1 :(norma) La somma delle probabilità di tutti gli eventi Ei  allo spazio degli eventi è = 1 3. Regola della Somma della Probabilità: (additività) Si applica ad eventi incompatibili ( cioè che non si verificano contemporaneamente)

Da questi si ricavano altre proprietà: Probabilità dell’unione di due eventi compatibili

Alcune dimostrazioni Postulato 2. Postulato 3. . Infatti P(A)=1-P(A) che è positiva per il primo postulato e 1 meno una quantità positiva è certamente minore di 1

P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC) Postulato 3, infatti hanno intersezione vuota Teorema 1. P(AB C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)

combinazioni possibili P([x pari][x7]) = P(x pari) + P(x7) - P(x{8,10,12}) = 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/36 x combinazioni possibili p(x) 2 1,1 1/36 3 1,2 2,1 2/36 4 2,2 3,1 1,3 3/36 5 2,3 3,2 4,1 1,4 4/36 6 3,3 4,2 2,4 5,1 1,5 5/36 7 3,4 4,3 5,2 2,5 6,1 1,6 6/36 8 4,4 5,3 3,5 6,2 2,6 9 6,3 3,6 5,4 4,5 10 5,5 6,4 4,6 11 5,6 6,5 12 6,6 x= somma dei 2 dadi

Quelli favorevoli sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC} 7 possibilità Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presenti almeno una testa. I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità Quelli favorevoli sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC} 7 possibilità La probabilità è quindi 7/8. Ci si poteva arrivare anche attraverso 1-1/8 Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità dei seguenti eventi: La carta è nera; la carta è una figura; la carta è un asso; La carta è una figura nera La carta è nera o è una figura La carta è una figura o un asso La carta è nera o è un’ asso 20/40 = 1/2 12/40 = 3/10 4/40 = 1/10 6/40 = 3/20 20/40 + 12/40 – 6/40 12/40 + 4/40 20/40 + 4/40 -2/40 Sapreste trovare gli errori?

Cosa comporta il possedere un’informazione in più?

Esempio: Calcoliamo la probabilità di ottenere somma 7 lanciando due dadi , ma sapendo che è uscito un 3! (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1) (6,2) (5,2) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2) (6,3) (5,3) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) (6,4) (5,4) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4) (6,5) (5,5) (4,5) (3,5) (2,5) (1,5) (6,6) (5,6) (4,6) (3,6) (2,6) (1,6) (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1) (6,2) (5,2) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2) (6,3) (5,3) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) (6,4) (5,4) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4) (6,5) (5,5) (4,5) (3,5) (2,5) (1,5) (6,6) (5,6) (4,6) (3,6) (2,6) (1,6) La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

E = A = , B = , Lancio di un dado Se si sapesse che la faccia è pari Se si sapesse che la faccia è dispari

Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è P(B)=5/19. La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A soltanto se A è possibile quindi P(A) diverso da 0)

Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento due palline rosse: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una rossa p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una rossa dopo aver estratto una rossa è P(B)=14/19. La conoscenza dell’evento A ha modificato lo spazio dei campioni

P(A∩B)=P(A)*P(B/A) =P(B)*P(A/B) Probabilità condizionata. Probabilità di B condizinatamente al verficarsi dell’evento A : Analogamente Probabilità di A condizinatamente al verficarsi dell’evento B : P(A/B)=P(A∩B)/P(B) A = esce 3 B = somma 7 Es dei dadi: P(somma7/uscito3) = (2/36)/(11/36) = 2/11 Principio probabilità composte: P(A∩B)=P(A)*P(B/A) =P(B)*P(A/B) Es dei dadi: P(somma7con un 3) =11/36. 2/11 Oppure =( 6/36 . 2/6)

P(A∩B)= P(A)* P(B) INDIPENDENZA tra eventi. Due eventi si dicono indipendenti se: P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B) Dunque se e solo se: P(A∩B)= P(A)* P(B) (esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito = = probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio = 0,5 x 0,5 = 0,25)

NB TOT 8 / 8 = 1 A B P(A)=1/2 P(b)=2/4 P(n)=2/4 P(B)=1/2 P(b)=3/4 P(n)=1/4 B:1/2 A:1/2 n:1/4 b:3/4 b:2/4 n:2/4 1/2.2/4=1/4=2/8 1/2.1/4=1/8 1/2.3/4=3/8 1/2.2/4=1/4=2/8 NB TOT 8 / 8 = 1

Attenzione! Questa volta la scelta della scatola A dipende dal tiro di un dado B P(A)=1/6 P(b)=1/4 P(n)=3/4 P(B)=5/6 P(b)=3/4 P(n)=1/4 A :1/6 B: 5/6 b:1/4 n: 3/4 n: 1/4 b: 3/4 1/6.1/4=1/24 1/6.3/4=3/24 5/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24 NB TOT 24 / 24 = 1

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione gioca C gioca B gioca A

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo: P( nonC )P(B) Probabilità maggiore P( non C ) P(non B) (PA)

p(E1E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1E2) Riassumendo: Probabilità contraria: 1-p(E) Probabilità totale di eventi incompatibili: p(E1E2) = p(E1) + p(E2) Probabilità totale di eventi compatibili: p(E1E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1E2) Probabilità composta di eventi indipendentii: p(E1  E2) = p(E1) . p(E2) Probabilità totale di eventi dipendenti p(E1  E2) = p (E1) . P(E2 /E1) Note: 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti 2) due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi

casi fav/casi poss diventa C7,1*C5,2/C21,3 Cioè ….. Supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta senza reinserimento, da un’urna contenente 7 palline rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la prob di estrarne una rossa e due nere Attenzione!! Devo chiedermi se è : la PRIMA rossa e POI due nere o se è una delle tre rossa ma non importa se al 1° o 2 °o 3° posto Nel primo caso è: 7/21.5/20.4/19 Nel secondo caso è: 7/21.5/20.4/19 per tutte le permutazioni, cioè per 3!/2! Se provo con casi fav/casi poss diventa D7,1*D5,2/D21,3 = (7 * 5*4 )/(21*20*19) casi fav/casi poss diventa C7,1*C5,2/C21,3 Cioè …..

In pratica è la prob che ne esca una bianca e una nera un urna con 25 bianche e 75 nere . se viene estratta nera allora viene rimessa nell’urna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera. La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è: 7/16 5/16 151/400 149/400 1/3 (25/100*76/100 + 75/100*25/100) = 151/400 un urna con 25 bianche e 75 nere . se viene estratta nera allora viene rimessa nell’urna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera. La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è: 7/16 5/16 151/400 149/400 1/3 In pratica è la prob che ne esca una bianca e una nera (25/100*76/100 + 75/100*25/100) = 151/400

un’urna contiene 10 palline di cui 6 rosse e 4 bianche . Supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta ma con reinserimento, da un’urna contenente 7 palline rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la prob di estrarne una rossa e due nere un’urna contiene 10 palline di cui 6 rosse e 4 bianche . Qual è la probab che estraendo due palline dall’urna queste siano entrambe rosse? 9/25 3/10 1/3 ¼ 1/6 12 cioccolatini, 4 fondenti e 8 al latte: quale prob che presi tre ciocc uno dopo l’altro siano e al latte 3/12 12/55 7/11 14/55 3/5

Cambiamo punto di vista….. Dall’effetto ….. … Alla causa

A B Il mio amico ha estratto una pallina rossa!!!!!!!! Ma da quale scatola l’avrà pescata? P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4 P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4

Teorema di Bayes: la probabilità che l’evento rossa sia stato causato dall’evento scatola A è: Probabilità a priori Probabilità a posteriori Probabilità condizionate Ragioniamo; l’evento favorevole è : esce una pallina rossa dalla scatola A gli eventi posssibili sono : esce una pallina rossa dalla scatola A oppure da un’altra scatola che non è A

Cioè: 3/8 A B P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4 P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4 1/6.1/4=1/24 1/6.3/4=3/24 5/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24 1/6.3/4 1/6.3/4 + 5/6.1/4 Cioè: 3/8

Teorema di Bayes: la probabilità che l’evento E sia stato causato dall’evento A è: se ho n cause Ai per un evento E la probabilità che E sia stato causato da Ai è:

A

Applicazioni del teorema di Bayes Esempio 1: test per un certo virus influenzale P (virus) = 0.001 P (no virus) = 0.999 probabilità a priori, i.e. prima di aver sostenuto il test → Il test prevede 2 soli risultati: + / − P (+ | virus) = 0.98 P (− | virus) = 0.02 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona infetta → P (+ | no virus) = 0.03 P (− | no virus) = 0.97 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona sana → Il risultato del test è + → devo preoccuparmi ?

Applicazioni del teorema di Bayes La probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è: P (virus | +) = P (+ | virus) P (virus) P (+ | virus) P (virus) + P (+ | no virus) P (no virus) = 0.98 x 0.001 0.98 x 0.001 + 0.03 x 0.999 = 0.032 probabilità a posteriori la probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è soltanto il 3.2 %, i.e. sono OK ! Risultato sorprendente ? NO, la probabilità a priori è molto piccola (0.1 %)

Applicazioni del teorema di Bayes … e la probabilità di essere infetto dato un risultato − ? P (virus | −) = P (− | virus) P (virus) P (− | virus) P (virus) + P (− | no virus) P (no virus) = 0.02 x 0.001 0.02 x 0.001 + 0.97 x 0.999 ≅ 2.1 x 10-5 … il test è affidabile

Lavoro molto liberamente elaborato da alcuni dei seguenti link Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali dott sergio console Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1 a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal di Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura Bellinzona Alberto Gandolfi gandolfi@math.unifi.it Dott E. GORI