ALBERI DECISIONALI terza parte

Argomenti della lezione Il metodo CHAID: Chi-Squared Automatic Interaction Detection Il test del chi-quadrato Il fattore di Bonferroni Esempio di impiego degli alberi decisionali

Caratteristiche principali del metodo CHAID

CHAID unisce le categorie del predittore che sono omogenee rispetto alla variabile dipendente, ma mantiene distinte tutte le categorie che sono eterogenee

CHAID utilizza il moltiplicatore il moltiplicatore di Bonferroni per compiere gli aggiustamenti necessari per compiere inferenze statistiche simultanee

CHAID, a differenza di altri metodi di partizione iterativa, è limitato a caratteri di tipo ordinale e nominale

Utilizza il test del chi-quadrato per saggiare l'indipendenza tra caratteri (insieme all'aggiustamento di Bonferroni) per stabilire la significatività statistica della partizione

Il test chi-quadrato di indipendenza   i j ( n ij - nij )2 * nij x2 =

dove nij è la frequenza empirica che corrisponde alla combinazione della modalità i del primo carattere con la modalità j del secondo carattere

nij = ninj * è la corrispondente frequenza teorica calcolata in accordo all'ipotesi di indipendenza tra i due caratteri considerati

ESEMPIO Famiglie secondo la zona di residenza e il possesso di personal computer (frequenze empiriche)

Zona geografica Possesso di personal computer Nord-Centro Mezzogiorno In complesso SI NO 150 500 650 100 250 350 750 1000

Famiglie secondo la zona di residenza e il possesso di personal computer (frequenze teoriche)

Zona geografica Possesso di personal computer Nord-Centro Mezzogiorno In complesso SI NO 162,5 487,5 650,0 87,5 262,5 350,0 250,0 750,0 1000,0

Calcolo del test: (500-487,5)2/487,5+ (87,5-100)2/87,5+ (162,5-150)2/162,5+ (250-262,5)2/262,5=

Il fattore di aggiustamento di Bonferroni Consideriamo la variabile dipendente R e i predittori B, con cinque categorie, e A, con due Poniamo che a sia l'errore del primo tipo associato con il test di indipendenza in una tabella a doppia entrata che associa B e R (ad esempio a =0,05)

Vi sono 24 -1 = 15 modi differenti di rendere dicotomica la variabile B Se i 15 test di ipotesi fossero indipendenti, la probabilità di fare un errore del primo tipo sarebbe pari a: 1-(1-a)15 > a

Nell'esempio di cui sopra, 15 è chiamato fattore di Bonferroni Se a è piccolo 1 - (1-a)M = Ma Per il predittore A la probabilità di commettere un errore del primo tipo è semplicemente a

Nel metodo CHAID si confronta il valore di a associato con il test di indipendenza per la variabile A con il valore di a per la variabile B corretto con il fattore di Bonferroni

Componenti di base del metodo CHAID:

1 2 3 Una variabile dipendente categorica Un insieme di variabili indipendenti anch'esse categoriche, combinazioni delle quali sono usate per definire le partizioni 3 Un insieme di parametri per l'esecuzione dell'analisi

In ogni passo dell'analisi, ciascun sottogruppo è analizzato e si identifica il miglior predittore, definito come quello che ha il valore di a corretto con il fattore di Bonferroni più piccolo

Tipi di variabili predittive in CHAID Monotoniche 1 Libere 2 Fluttuanti 3

L'algoritmo CHAID: Passo 1: Fusione Passo 2: Divisione Passo 3: Arresto

Fusione

Per ciascun predittore

Forma la tabella a doppia entrata completa 1

Per ogni coppia di categorie che possono essere fuse assieme calcola il test chi-quadrato. Per ogni coppia che risulta non significativa procedi alla fusione e vai al passo 3. Se tutte le coppie rimanenti sono significative vai al passo 4 2

Per tutte le categorie risultanti dalla fusione di tre o più categorie originarie controlla con il test chi-quadrato se ogni categoria originaria può essere separata dalle altre. Torna al passo 2 3

Unisci le categorie che hanno un numero di casi troppo basso, selezionando quelle che presentano il valore di a più alto 4 Calcola il valore di a corretto con il fattore di Bonferroni sulla tabella risultante dal processo di fusione 5

Divisione Seleziona come miglior predittore quello che presenta il più piccolo valore di a corretto con il fattore di Bonferroni Se nessun predittore mostra un valore di a significativo, non dividere quel sottogruppo

Arresto Ritorna al passo 1 e analizza il sottogruppo successivo. Interrompi quando tutti i sottogruppi sono stati analizzati o contengono troppo poche osservazioni

Esempio di impiego del metodo chaid Variabile dipendente: tasso di risposta ad una offerta promozionale di abbonamento ad una rivista

Variabili indipendenti

età del capofamiglia - 5 categorie -fluttuante (AGE) genere - 2 categorie -monotonica - (GENDER) presenza di bambini - 2 categorie - monotonica (KIDS) reddito familiare - 8 categorie - monotonica (INCOME)

carta di credito - 2 categorie - monotonica (BANKCARD) numero di componenti - 6 categorie - fluttuante - (HHSIZE) tipo di occupazione -4 categorie - libera (OCCUP)

Rappresentazione del processo di partizione tramite il dendrogramma

Total 0.02 81,040 HHSIZE 1 0.03 25,384 23 0.13 16,132 45 0.00 6,198 ? - 0.04 33,326 OCCUP GENDER -1- -4- W 0.36 1,758 BO? 0.10 14,374 M - 0.04 25,531 F - 0.05 7,795 -2- -3- -5- -6-

Interpretazione dei risultati Comparazione dei tassi di risposta secondo la variabile ampiezza familiare prima e dopo la fusione

% di risposte HHSIZE Frequenza prima della fusione dopo la fusione 1 2 3 4 5 dato mancante 25384 11240 4892 3187 3011 33326 1,09 1,49 1,59 1,79 2,06 0,87 1,52 1,92

Ordinamento dei segmenti secondo il tasso di risposta

Rango Numero Descrizione Tasso di risposta 1 2 Segmento 2 Segmento 4 Famiglie con due o tre componenti, capofamiglia impiegato 2,39 1,92 Famiglie con quattro componenti e più

Famiglie con un componente Rango Numero Descrizione Tasso di risposta 3 4 Segmento 3 Segmento 1 Famiglie con due o tre componenti, capofamiglia con occupazione diversa da impiegato 1,42 1,09 Famiglie con un componente

Rango Numero Descrizione Tasso di risposta 5 6 Segmento 6 Segmento 5 Famiglie di cui non si conosce il numero di componenti, capofamiglia donna 1,08 0,81 Famiglie di cui non si conosce il numero di componenti, capofamiglia uomo