Grandezze correlate Quando le grandezze di ingresso sono correlate tra loro la varianza combinata vale : Con xi, yi stime di Xi, Yi e u(xi,yi)=u(yi,xi) è la stima della covarianza associata a xi ed yi. 1

Il grado di correlazione tra xi ed yi è espresso dalla stima del coefficiente di correlazione lineare: Con r(xi,xj)=r(xj,xi) e -1 r(xi,xj)  1. Se le stime di xi ed xj sono indipendenti r(xi,xj)= 0 (ossia un cambiamento di una non implica un cambiamento dell’altra. 2

Trattando i valori medi: La covarianza tra due variabili casuali y e z si può stimare da n paia di osservazioni simultanee yi e zi come s(yi,zi). dove: Trattando i valori medi: 3

IL RISULTATO DI UNA MISURA E’ DUNQUE ESPRESSO COME INCERTEZZA ESTESA - risponde al principio che un ingegnere fa i conti con 6 cifre significative su tutto e poi applica un coefficiente di sicurezza compreso tra 6 e 10. - l’incertezza estesa (expanded) è indicata con U ed è ottenuta moltiplicando l’incertezza combinata standard uc(y) per un fattore di copertura k. U=kuc(y) IL RISULTATO DI UNA MISURA E’ DUNQUE ESPRESSO COME Y=y ± U 4

Y=y±U ossia la miglior stima del valore attribuibile al misurando Y è y, e l’intervallo y-U y+U è quello in cui ci si attende di trovare la buona parte dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti ad Y. “U definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che comprende una gran parte p della distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato stesso e dalla sua incertezza tipo combinata e p è la probabilità di copertura o grado di confidenza dell’intervallo. N.B.: si parla di grado di confidenza e non di livello di confidenza che presuppone solo incertezze di tipo A. 5

Fattore di copertura k viene scelto in base al grado di confidenza richiesto all’intervallo y-U y+U. in generale k è compreso tra 2 e 3. E’ da evitarsi il tentativo di comprendere una correzione sistematica in un allargamento dell’incertezza. E’ desiderabile che il fattore di copertura consenta un grado di confidenza almeno del 95%, pur essendo assai difficile garantire a priori questo valore. 6

Riassumendo, lo sperimentatore deve fornire le seguenti informazioni: - stima migliore del valore della quantità sotto misura - intervallo all’interno del quale si stima sia compreso il predetto valore - grado di confidenza, in termini statistici, che si dà alla seconda informazione 7

Esempio: stima dell’incertezza Blocchetto da 50 mm nominali: la sua lunghezza è determinata per confronto con un campione della stessa lunghezza nominale. l = misurando (lunghezza del blocchetto a 20°C) ls = lunghezza del campione a 20°C a,as = coeff. dilatazione termica del blocchetto in prova e dello standard q, qs = differenze di temperatura rispetto ai 20°C. 8

Stima del misurando: ls+d ove ls è la lunghezza a 20°C (certificato) Il misurando è dato da: Allora si ha: da,dq sono stimati nulli, ma non le loro incertezze, da,dq as,q sono incorrelati. Stima del misurando: ls+d ove ls è la lunghezza a 20°C (certificato) 9

Stima di d è d, media aritmetica di 5 letture indipendenti. Propagazione dell’incertezza: Con: Da determinare 10

Incertezza del campione u(ls) Il certificato di taratura fornisce l’incertezza estesa U=0.0755 m ottenuta con un fattore di copertura k=3 Incertezza nella misura della differenza d L’esperienza ha fissato che, per 25 confronti tra due blocchetti, l’incertezza su d è 13 nm. Nella misura in esame sono state effettuate 5 osservazioni. L’incertezza associata alla stima della media è: Sempre dal certificato di taratura è possibile dedurre una correzione da effetto sistematico, pari a 0.02 mm “a livello di 3 ” 11

Si supponga nota anche una correzione da effetto random: Contributo globale: Incertezza del coefficiente di espansione termica u(s) s=11.5x10-6 °C-1 con incertezza fornita da una distribuzione rettangolare con limiti ±2x10 -6 °C-1 . L’incertezza standard è: Poichè: questo termine ha effetto solo considerando i termini di secondo ordine 12

Incertezza nella conoscenza della temperatura u() La temperatura dell’ambiente di prova è 19.9 ± 0.5 °C, misurata prima delle prove. Lo scarto di 0.5 °C rappresenta l’ampiezza delle variazioni cicliche legate alla presenza di un dispositivo termostatico, non l’incertezza del valor medio. Il valore dello scarto della temperatura media è affetto da una sua incertezza mentre la variazione ciclica nel tempo segue una legge armonica con incertezza standard: Lo scarto sul valor medio si può assumere pari a , con incertezza standard 13

La stima di tale valore è ± 1x10-6 °C-1.L’incertezza standard è: Poichè: anche questo termine non conta in una approssimazione del primo ordine. Incertezza nella differenza dei coefficienti di dilatazione termica u() La stima di tale valore è ± 1x10-6 °C-1.L’incertezza standard è: Incertezza nella differenza di temperatura u() La differnza di temperatura ha uguale probabilità di appartenere a tutti i punti dell’ intervallo -0.05 °C +0.05°C L’incertezza standard è: 14

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INCERTEZZA STANDARD COMBINATA Dalla già vista: La componente dominante è l’incertezza del campione u(ls)=25nm 16

Il cerificato di taratura del campione afferma che: RISULTATO FINALE Il cerificato di taratura del campione afferma che: ls=50.000623 mm a 20°C. La media aritmetica d di 5 osservazioni ripetute della differenza in lunghezza è 215nm. Allora poichè l=ls+d, la lunghezza del blocchetto in prova è: l=50.000838 mm a 20°C Dunque: l= 50.000838 mm ± 32 nm. Volendo si può proseguire il discorso fissando anche l’incertezza espansa o considerando i termini di secondo ordine. 17

Esempio: stima dell’incertezza per grandezze correlate Misura della resistenza R e della reattanza X al fine determinare l’impedenza Z di un elemento di un circuito elettrico in alternata; si misurano V, I e  e si valutano R, X e Z dalle seguenti relazioni: Si hanno 3 grandezze, i misurandi R, X, Z, legate dalla relazione (1): solo 2 sono grandezze indipendenti 18

Si eseguono, nelle medesime condizioni, 5 misure contemporanee di V, I e : Misure V [V] I [mA] f [rad] 1 5.007 19.663 1.04560 2 4.994 19.639 1.04380 3 5.005 19.640 1.04680 4 4.990 19.685 1.04280 5 4.999 19.678 1.04330 19

1) Calcolo delle covarianze: Poiché le medie di V, I e  sono ottenute da misure contemporanee, esse sono correlate e di ciò va tenuto conto nella valutazione dell’incertezza standard di Z, R, X 1) Calcolo delle covarianze: 20

2) Calcolo dei coefficienti di correlazione: 21

3) Calcolo dell’incertezza standard combinata: Nel nostro caso, volendo calcolare l’icertezza combinata di Z, risulterà: 22

Svolgendo, risulterà: Da cui: 23

Il termine compatibilità ha sostituito quello di uguaglianza Definita l’incertezza e le linee fondamentali della Guida si torna alla UNI 4546 per la definizione di compatibilità delle misure: condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnate in diverse occasioni come misura dello stesso parametro nello stesso stato hanno almeno un elemento in comune. Il termine compatibilità ha sostituito quello di uguaglianza Un esempio serve a chiarire il concetto: 24

Perché diverse misure siano compatibili è necessario e sufficiente che esista un elemento comune a tutte le fasce di valore: un insieme di misure che soddisfa a questa condizione si dice mutuamente compatibile. La compatibilità non è una proprietà transitiva come l’ugualianza. 25

Misure della lunghezza di un’asta: l1=322.5 ± 0.1 mm 20 ± 1°C Riportando l4 alle condizioni di riferimento, ossia 20°C, si ha l4’=322.62 ± 0.1 mm (coeff. dilataz. lineare pari a 20 ± 1MK-1). Le quattro misure riportate sono compatibili. l5=322.58 ± 0.01 mm 20 ± 1 °C non è compatibile con l2. 26

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NUMERO INCERTEZZA UNITA’ DI MISURA Come già detto la misura è espressa da: NUMERO INCERTEZZA UNITA’ DI MISURA Ci si occupa ora dell’unità di misura Le unità di misura fanno parte di un sistema di misura, elemento costituente di qualsiasi forma di vita organizzata, sin dalla più remota antichità. 28

Sistema di Unità di Misura Unita' di Misura termine di riferimento, adottato per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie. Sistema di Unità di Misura insieme organico di definizioni di unità di misure pertinenti a grandezze di specie diverse tra di loro collegate. 29

Nel 1996 alla convenzione del SI aderiscono 50 paesi In Italia, per legge, dal 1978 è stato adottato il Sistema Internazionale (SI). Il sistema ha origine nel 1875, quando 16 nazioni, tra cui l’Italia, firmano a Parigi la “Convenzione del Metro”. Nel 1960 a Parigi la XI conferenza generale dei pesi e delle misure delibera l’adozione del Sistema Internazionale Nel 1996 alla convenzione del SI aderiscono 50 paesi La validità della sua struttura è ancora periodicamente verificata dal BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) con sede a Sevres 30

Caratteristiche di un sistema di misura: universale: accettato da tutti stabile: i campioni devono essere legati a fenomeni della fisica inalterabili accurato: quanto la specifica applicazione richiede pratico coerente: deve essere possibile esprimere qualunque grandezza in funzione di quelle di base, senza ricorrere a costanti o coefficienti. uniforme: si deve poter ricavare il valore di un intervallo da due letture lungo un scala. 31

[G] = [L]a [T] b [M]c Dimensione di una grandezza ( VIM): equazione dimensionale espressione che rappresenta una grandezza di un sistema di unità come prodotto di potenze delle grandezze di base del sistema Grandezza derivata Grandezze fondamentali [G] = [L]a [T] b [M]c a,b,c dimensioni della grandezza derivata 32

F=kma [k] = [F]1 [A]-1 [M]-1 Esempio 1: si consideri la II Legge delle Dinamica utilizzata per definire la forza: F=kma se la forza, la massa e l'accelerazione sono grandezze di un sistema di unità omogeneo, il fattore k risulta adimensionale, altrimenti ha la seguente espressione [k] = [F]1 [A]-1 [M]-1 33

F=kma Esempio 2: si consideri la II Legge delle Dinamica: Se il sistema di unità è coerente allora k=1, e si ha che la forza unitaria è quella che imprime alla massa unitaria un'accelerazione unitaria. Il Sistema Tecnico diventa coerente introducendo la gravità standard, ma perde la riproducibilità. 34

sono definite sette grandezze fondamentali e due supplementari SI (norma CNR-UNI 10003) sono definite sette grandezze fondamentali e due supplementari Le ultime due sono in realtà adimensionali 35

N. B. solo la massa è legata ad un prototipo materiale 36

Grandezze fondamentali Lunghezza [L] Lunghezza, [L], ha per unità il metro (m), è la distanza percorsa nel vuoto dalla luce nell’intervallo di tempo (1/299 792 458) s. 37

Grandezze fondamentali Tempo [T] Tempo, [T], ha per unità il secondo (s), pari a 9 192 631 770 periodi della radiazione emessa nella transizione tra due particolari livelli energetici dell'atomo di cesio-133. 38

Grandezze fondamentali Massa [M] Massa, [M], ha come unità il chilogrammo (kg), uguale alla massa del campione in platino-iridio conservato a Sévres e che nelle intenzioni originarie doveva equivalere alla massa di 1 dm3 di acqua pura a 4 °C. 39

Grandezze fondamentali Intensità di corrente [I] Intensità di corrente elettrica, [I], ha per unità l'ampere (A), corrente costante che percorrendo a regime stazionario due conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare con diametro trascurabile, posti a distanza di 1 m, nel vuoto produce tra i due conduttori una forza di 2.10-7 N/m. 40

Grandezza fondamentale Temperatura [] Temperatura (intervallo), [], ha unità pari al Kelvin (K), determinato fissando a 273,16 K la temperatura del punto triplo dell'acqua sulla scala termo-dinamica delle temperature assolute. Tale scala è realizzata con la Scala Internazionale Pratica delle Temperature (SIPT). 41

Grandezza fondamentale Intensità luminosa [I] Intensità luminosa, [I], ha unità chiamata candela (cd) uguale all'intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 1012 Hz e la cui intensità energetica in tale direzione è di (1/683) W/sr. 42

Grandezza fondamentale: Quantità di sostanza [mol] Unità di quantità di sostanza: la mole [mol] , quantità di sostanza di un sistema che contiene tante unità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12 (12C). 43

Grandezze supplementari Angolo piano [] Angolo solido [] Accanto alle sette grandezze fondamentali il SI definisce due grandezze supplementari: l'angolo piano  misurato in radianti [rad] l'angolo solido  in steradianti [sr]. In tal modo la misura degli angoli si riduce a quella di lunghezze o di aree e si evita il ricorso ad altre unità non coerenti quali ad esempio i gradi sessagesimali. 44

sono definiti i multipli ed i sottomultipli fondamentali sono definite le unità derivate, ottenibili dalle fondamentali per mezzo di una espressione monomia sono definiti i multipli ed i sottomultipli fondamentali sono riportate le regole di scrittura viene pure definito il decibel dB, fondamentale in molti tipi di misure 45

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Si dice che il dislivello di potenza è: il dB viene introdotto per esprimere il rapporto tra due potenze P1 e P2. Si dice che il dislivello di potenza è: Invertendo P1 con P2 cambia il segno. Solitamente P1 è un valore di riferimento fissato da norme (ad es. 1mW). 50

Se le due potenze sono il risultato di due tensioni V1 e V2 applicate a due resistori R1 ed R2 si può scrivere: Se R1=R2: ossia la più nota espressione valida per le ampiezze di segnali e non per le potenze 51

Quanto vale la tensione in uscita ? Esempi : -L’attenuazione di inserzione di un filtro (rapporto tra tensione di uscita e tensione di entrata) è di -2,5 dB ; la tensione di ingresso vale 50 mV. Quanto vale la tensione in uscita ? -il guadagno di tensione di un amplificatore è di + 46 dB ; la tensione di entrata V1 vale 5 mV ; Quanto vale la tensione di uscita V2 ? 52

Alcuni valori notevoli sono elencati in tabella: Adottando, all’interno di una disciplina o settore, determinati valori numerici per il termine di riferimento, il decibel diventa una unità di misura assoluta. 53

Nelle trasmissioni si usa la grandezza dBm, dove m indica che si è assunto un livello di riferimento di 1 mW ; a questo livello di potenza corrisponde, nei sistemi in coassiale a 50 , un valore di tensione di riferimento di 0,2236 V. Anche nei sistemi televisivi si usa il dBm ma i sistemi in coassiale hanno un’impedenza di 75 in questo caso ad 1 dBm corrisponde una tensione di riferimento di 0,2739 V. Negli studi radiofonici il livello di potenza è 1 mW ma l’impedenza è di 600 . 54

“Antagonista” del SI è stato per lungo tempo il sistema tecnico che come unità fondamentali ha lunghezza, tempo e forza. Il guaio è che il campione di forza è il peso della massa campione, ossia l’unità di massa del SI (1kg massa) è anche l’unità di forza del sistema tecnico (1kg peso): coincide fisicamente l’oggetto che fissa l’unità dei due sistemi, ma con unità di misura differenti. Nel 1956 la ISO R 51 ha definito il kg forza come la forza che imprime alla massa di 1 kg una accelerazione di 9.80665 m/s2; tale accelerazione è l’accelerazione di gravità standard. 55

Esercizi sui sistemi di unità di misura 2 Nota una velocità in ms-1 esprimerla in kmh-1.  1     1  3  1   1 30 ms  30 10 km  h   30 3 . 6 1 kmh  108 kmh   3600 56

Esercizi sui sistemi di unità di misura 3 Determinare l’unità di massa del sistema tecnico. 2 u m =1  kgf  /1 m/s kg 9.8066 =9.8066 Quindi il sistema tecnico è non coerente. 57

Esercizi sui sistemi di unità di misura 4 Si verifichi che la relazione che esprime il periodo P di un pendolo : P=2  (l/g) 1/2 ha la dimensione di un tempo . [ P ] ={ L T 2 / } 1/2 = 58