Misure

Introduzione al corso: - Concetto di misura e di misurazione - Perché si misura - Approcci ai problemi dell’ingegneria - Costi delle misure - Modello di misura - Misure dirette ed indirette

ALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIARE Misurazione: atto del misurare, uso di uno o più strumenti, la eventuale elaborazione matematica e la necessaria valutazione della qualità del risultato Misura: è il risultato di una misurazione

ALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIARE Parametro: ogni grandezza pertinente ad un sistema alla quale è necessario assegnare valori per descrivere il sistema stesso, la sua evoluzione e/o le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambiente Misurando: parametro sottoposto a misurazione e/o regolazione, valutato nello stato assunto dal sistema al momento della misurazione stessa

PERCHE’ SI M ISURA a) determinazione quantitativa di una qualunque proprietà di un oggetto b) osservazione di un processo o di una operazione c) controllo di un processo o di una operazione d) ricerca e convalida di una legge fisica e dei valori di costanti sperimentali

IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E SONO ENTRAMBI NECESSARI APPROCCI AI PROBLEMI DELL’INGEGNERIA: Teorico: - assunzioni, semplificazioni - impiego di un modello matematico - conclusioni approssimano il problema reale - costi ridotti - risultati generali estendibili ad altri problemi Sperimentale: - diretto sul sistema - descrive il comportamento reale, senza approssimazioni, linearizzazioni ... - costi elevati - risultati valgono per il sistema considerato IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E SONO ENTRAMBI NECESSARI

Esecuzione di una misura è basata sulla definizione di un MODELLO. Es.: si vuole definire la lunghezza di un tavolo

Lunghezza=Distanza tra due piani tangenti al tavolo valida solo se si accetta una schematizzazione come parallelepipedo La misura ha bisogno di un MODELLO definito con uno scopo. Es.: verifica se il tavolo passa attraverso una porta. Ha senso cercare la massima lunghezza. MODELLO più semplice: informazione più sintetica MODELLO più complesso: più vicino alla realtà specifica

Misure dirette ed indirette 4.1 guida Y=f(X1,X2…)

COSTO DELLE MISURE - Valutazione anche economica di una misura (compromesso tra costi e bisogno di conoscenza) - Un sistema di misura è necessario (pesi campione, campioni di lunghezza …) - Incidenza dei costi della misura: dal 6% (uovo) al 50 % (aereo militare) - 10% della vita di una persona è dedicata a misure “fatte in proprio” (pesi, temperature, benzina, consumo di acqua…) - costo per l’Italia del sistema misure introno al 5% del PIL (100000 miliardi/anno) di cui 100 per mantenere gli enti metrologici e di calibrazione

- Misura - Incertezza - Sistema di misura

NOZIONI FONDAMENTALI SULLE MISURE UNI 4546 DEFINIZIONI FONDAMENTALI: Misura: informazione costituita da un NUMERO, una INCERTEZZA ed una UNITA’ DI MISURA assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema

NUMERO: ovvio (pb. cifre significative) INCERTEZZA : intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli estremi della fascia di valori assegnatagli come misura UNITA’ DI MISURA: termine di riferimento adottato per convenzione per confrontare una grandezza con altre della stessa specie.

Ci si sofferma su incertezza e su unità di misura. Riferimenti: VIM vocabolario internazionale delle misure GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY

INCERTEZZA Mi accingo ad eseguire una misura; osservo che: la risposta degli strumenti con grandezze variabili nel tempo non è la stessa delle condizioni statiche l’introduzione dello strumento perturba il parametro che voglio misurare un collega ha cambiato la sonda dell’oscilloscopio senza dire niente il campione usato non è tarato da qualche mese la manopola dello strumento si è spostata sul suo albero perché una vite si è allentata

INCERTEZZA si compie un errore nella lettura di uno strumento analogico la temperatura è variata: si è spostato il valore di zero di uno strumento la giornata è afosa, l’umidità influenza il comportamento degli strumenti, ma non so come né quanto la tensione di alimentazione varia una macchina è stata messa in moto vicino al punto di misura producendo rumore (UNI4546=disturbo incorrelato della grandezza che si misura) sia meccanico che elettromagnetico

lo strumento ha un’uscita numerica, dunque si ha errore di quantizzazione l’operatore è stanco ed ogni tanto commette errori nel copiare i valori i componenti non sono di ottima qualità Queste ed altre cause hanno effetti sul risultato della misura. L’incertezza è un indice della approssimazione con cui è noto il risultato di una misura (con cui si è identificato il misurando).

“L’incertezza è un numero associato al risultato di una misurazione, che esprime la DISPERSIONE dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al misurando” (GUIDA... ISO 1995). E’ OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI MISURA

OSSERVAZIONI IMPORTANTI: - solo le definizioni hanno incertezza nulla - l’incertezza di una misurazione non può essere ridotta a piacimento: esistono dei limiti (economici e fisici) a questo processo - spesso le prestazioni degli strumenti e dei campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti necessari per la misura

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: L’ERRORE è diverso dall’INCERTEZZA. E’ necessario capire che cosa si intende per errore e la sua differenza rispetto all’incertezza. (2.2.4 della GUIDA ed Appendice D)

ERRORE ED INCERTEZZA “La definizione di incertezza fornita (dalla Guida) è una definizione operazionale che si incentra sul risultato di una misurazione; non è incompatibile con altri concetti di incertezza di misura quali: - misura dell’errore possibile del valore stimato del misurando, rappresentato dal risultato di una misurazione - una stima che caratterizza il campo di valori entro cui giace il valore vero di un misurando”

ERRORE ED INCERTEZZA I concetti appena illustrati (ossia di errore e valore vero di una grandezza in contrasto con quello stimato) sono validi sul piano ideale, ma si incentrano su entità inconoscibili. L’incertezza è dunque frutto di una valutazione, di una stima, mentre l’errore non è in realtà conoscibile

Riassumendo: Visione più datata (tollerata) Valore VERO (convenzionalmente) Lettura errore (non conoscibile) Visione più attuale: stima incertezza

NOTA BENE Può accadere che il risultato di una misurazione (dopo correzione) pur avendo una elevata incertezza, disti dal valore del misurando di una quantità molto piccola (ed abbia dunque valore trascurabile) ancorché inconoscibile INCERTEZZA ELEVATA (stimata) ERRORE PICCOLO (ma non conosciuto)

LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...: incertezza standard incertezza del risultato di una misurazione espressa come deviazione standard incertezza standard combinata incertezza standard del risultato di una misurazione quando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di altre grandezze, uguale alla radice quadrata positiva di una somma di termini, che sono le varianze o le covarianze di quelle grandezze pesate secondo la variazione del risultato della misurazione al variare di esse. ESEMPIO

LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...: incertezza estesa: grandezza che definisce, intorno l risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando fattore di copertura: numero che moltiplica la incertezza standard combinata in modo da ottenere l’incertezza espansa.

LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...: tipo A: incertezze che si prestano ad una valutazione statistica -valutazione incertezza: tipo B: incertezze descritte e valutate con altri metodi: esperienza dell’operatore , esperimenti collaterali, effetti noti di grandezze di influenza

ATTENZIONE !!! La classificazione mostrata (tipo A e tipo B) è basata sul modo di valutazione e non sostituisce la distinzione in componenti aleatorie e sistematiche, che riguarda l’origine del fenomeno e non il modo di trattarlo. (Una correzione di effetto sistematico può essere sia di tipo A che di tipo B). La GUIDA afferma che tradizionalmente è per l’errore che si parla di componenti aleatoria e sistematica

COMPONENTE ALEATORIA variazioni non predicibili o casuali; la sua speranza matematica è zero Lo scarto tipo sperimentale (traduzione del termine più comune deviazione standard sperimentale) della media aritmetica di una serie di osservazioni NON è l’errore aleatorio della media (non conoscibile) ma una misura dell’incertezza della media dovuta agli effetti aleatori.

COMPONENTE SISTEMATICA effetto identificato di una grandezza su una misurazione. Se di proporzioni significative rispetto all’accuratezza di una misurazione, può essere compensato apportando una correzione. Si ipotizza che, a seguito della correzione, il valore di aspettazione dell’errore generato da un effetto sistematico sia zero. L’incertezza di una correzione applicata al risultato di una misurazione per compensare un effetto sistematico non è l’errore sistematico (bias), ma una misura dell’incertezza del risultato dovuta ad imperfetta conoscenza del valore necessario per la correzione

Nella guida la stima del misurando Y (maiuscolo) è denotata con y (minuscolo). Se vale la relazione tale per cui il misurando Y è determinato attraverso N grandezze X1, X2,...XN, attraverso la relazione Y=f(X1, X2, ... XN) la stima del misurando Y è y(stima di uscita) funzione delle N stime di ingresso x1,x2,...xN. y=f(x1,x2, ...XN)

INCERTEZZA DI TIPO A Modello statistico - sono considerate n osservazioni indipendenti qk della grandezza q, eseguite nelle stesse condizioni sperimentali - la stima del valore sperato è la media aritmetica delle osservazioni qk=singola osservazione n=numero delle osservazioni

INCERTEZZA DI TIPO A Modello statistico - la varianza sperimentale s2, stima della varianza 2, è data da: - la sua radice quadrata è la deviazione standard (detta anche scarto tipo sperimentale)

INCERTEZZA DI TIPO A Modello statistico - la miglior stima di , ossia la varianza della media, è data da: ed è detta scarto tipo sperimentale della media Tale valore esprime quanto bene q stimi il valore atteso per q, e si può assumere come stima dell’incertezza di q

INCERTEZZA DI TIPO A Sia data una grandezza Xi determinata mediante n osservazioni ripetute Xi,k, l’incertezza tipo u(xi) della sua stima xi=Xi è u(xi)=s(Xi), con s2(Xi) calcolato con l’espressione della pagina precedente. Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la varianza s2(q), lo scarto tipo s(q) è più conveniente nell’uso pratico in quanto ha la stessa dimensione di q ed il suo valore è più facilmente interpretabile che non quello della varianza.

INCERTEZZA DI TIPO B - valutate non con la statistica, ma in qualsiasi altro modo - si deve ipotizzare una opportuna distribuzione di probabilità per ciascuna delle singole fonti di incertezza, per poter trattare assieme le incertezze dovute a singole cause. - questa combinazione viene fatta (ma non sempre, può essere nota una distribuzione dei possibili valori del misurando) adottando per ogni fonte di incertezza una distribuzione di probabilità di tipo rettangolare, con l’ipotesi che ‘ragionevolmente’ il valore del misurando sia compreso entro una fascia larga 2a.

- per la scelta di a si mira ad un valore realistico e non semplicemente prudenziale. Xi - si possono stimare solo i limiti superiore ed inferiore per Xi, si può solo affermare che la probabilità che Xi giaccia all’interno dell’intervallo compreso tra a- ed a + è uguale a 1. Se non esiste alcuna conoscenza specifica sui possibili valori di Xi entro l’intervallo, si può solo affermare che Xi può giacere in qualunque punto con uguale probabilità.

a- a+ Xi - il valore Xi di aspettazione o speranza di Xi, è il punto medio dell’intervallo , con varianza associata: - se (a+ - a-), la differenza tra i limiti, è indicata con 2a, allora si ha:

INCERTEZZA STANDARD PER VIA GRAFICA

Esempio: Xi è una temperatura t, la sua distribuzione (non nota) è normale; il valore sperato t è 100°C e la deviazione standard è  =1.5°C. La funzione densità di probabilità è: L’istogramma di pagina precedente riguarda n=20 osservazioni tk della temperatura che si suppongono acquisite in maniera casuale dalla distribuzione sempre della pagina precedente. L’intervallo di temperatura scelto per la costruzione dell’istogramma è di 1°C

Media aritmetica: t=100. 145°C  100 Media aritmetica: t=100.145°C  100.14°C: si suppone che sia la miglior stima del valore atteso mt di t, sulla base dei dati disponibili Deviazione standard sperimentale s(tk)=1.489°C1.49°C; la deviazione standard della media s(t), ossia l’incertezza standard u(t) della media t è

Le figure di pagina precedente rappresentano la stima di una quantità Xi e la valutazione della incertezza della stima da una distribuzione nota a priori, sulla scorta delle informazioni disponibili. Anche in questo caso Xi è una temperatura. Caso a: si sa poco su t, si può solo supporre che t sia descritta da una distribuzione di probabilità tale per cui a-=96°C e a+=104°C.

Funzione densità di probabilità di t: p(t)=1/2a, a-  t  a+ p(t)=0 altrove La migliore stima di t è il suo valore atteso: t=(a++ a-)/2=100°C L’incertezza standard della stima è: La distribuzione rettangolare è considerata come valore di default quando non vi sono informazioni disponibili sul tipo di distribuzione.

CASO B : Supponiamo ora che t possa essere descritta da una distribuzione triangolare simmetrica (fig.. b) caratterizzata dagli stessi valori di a del precedente caso : a-= 96 °C ; a+= 104 °C Avremo quindi La funzione di densità di probabilità di t sarà :

La migliore stima di t è ancora il suo valore atteso : t=(a++ a-)/2=100°C L’ incertezza standard della stima è: