OTTICA... ...ELEMENTARE WATSON! Relazione a cura di: Anelli Federica Chiodelli Giulia Faroni Luca Gagliardi Gabriele Giusti Irene Pozzari Marta Rigolli Chiara Seghezzi Paola

n1,2 è una costante denominata indice di rifrazione assoluto RIFRAZIONE DELLA LUCE Quando un raggio di luce passa da un mezzo ad un altro (entrambi trasparenti), devia la sua direzione di provenienza, rifrangendosi. L’angolo di incidenza i e l’angolo di rifrazione r sono connessi dalla seguente relazione: n1,2 è una costante denominata indice di rifrazione assoluto

DEFINIZIONE DI INDICE DI RIFRAZIONE ASSOLUTO INDICI DI RIFRAZIONE MEZZO  INDICE Aria  1,000292 Idrogeno  1,000132 Ossigeno  1,000271 Acqua  1,333 Alcol etilico  1,361 NaCl  1,53 Vetro Crown  1,520 Balsamo del Canada  2,419 Anidride carbonica 1,000448 Acetone 1,359 Azoto 1,000296 Quarzo amorfo  1,458 Elio 1,000132 Etere etilico 2,352 Per ogni materiale è stato definito un indice di rifrazione assoluto, considerando come primo mezzo il vuoto e come secondo mezzo il materiale interessato. n vuoto, mezzo = n mezzo A parità di angolo di incidenza i di un raggio di luce proveniente dal vuoto, la deviazione del raggio rifratto nel secondo mezzo aumenta all’aumentare dell’indice di rifrazione del secondo mezzo.

INVERTIBILITÀ DEL CAMMINO DELLA LUCE Esperimento: un raggio di luce proveniente da un mezzo 1 si rifrange in un mezzo 2 e qui viene intercettato da uno specchio piano, disposto in modo tale che la superficie riflettente sia perfettamente perpendicolare al raggio rifratto. Possiamo osservare che il raggio riflesso ripercorre esattamente il cammino del raggio incidente sia nel mezzo 2 che nel successivo mezzo 1.

Sulla base di questo esperimento possiamo allora scrivere: rifrazione mezzo1- mezzo2: rifrazione mezzo2- mezzo1: Moltiplicando membro a membro le due uguaglianze si ottiene: dalla quale: l’indice di rifrazione relativo alla rifrazione della luce da un mezzo 1 a un mezzo 2 è uguale all’inverso dell’indice di rifrazione relativo alla rifrazione dal mezzo 2 al mezzo 1.

RELAZIONE TRA INDICE DI RIFRAZIONE RELATIVO E ASSOLUTO Esperimento: un raggio di luce proveniente dal vuoto (n1=1) attraversa due mezzi trasparenti e paralleli tra di loro, con indici di rifrazione assoluti pari a n2 e n3 . Se il mezzo 4 nel quale finisce il raggio di luce è di nuovo il vuoto (n1=1) il raggio incidente e il raggio emergente dal quarto mezzo sono paralleli tra di loro.

Avvengono così 3 diverse rifrazioni: tra il vuoto e il mezzo2: 2) tra il mezzo2 e il mezzo3: 3) tra il mezzo3 e il vuoto: Moltiplichiamo ora le tre equazioni precedenti: * * Tenendo conto che , , si ottiene:

ANGOLO LIMITE E RIFLESSIONE TOTALE In una rifrazione tra due mezzi trasparenti con indice assoluto n1 e n2 tale per cui n2< n1, si ottiene: Indicando con i l’angolo di incidenza del raggio che proviene dal mezzo1 e con r il corrispondente angolo di rifrazione si ha: Quindi: un raggio di luce che passa da un mezzo più rifrangente a un mezzo meno rifrangente (n1> n2) si allontana dalla perpendicolare alla superficie di incidenza.

Il valore di l si ottiene da questa relazione: Se l'angolo l superasse i 90° tutta la luce si rifletterebbe, come se la superficie di separazione dei due mezzi fosse speculare. Questo fenomeno è detto riflessione totale e l’angolo l è chiamato angolo limite. Il valore di l si ottiene da questa relazione: sin l = =

Se il primo mezzo ha indice di rifrazione assoluto n e il secondo mezzo è il vuoto, la relazione diventa: Esiste un angolo limite per cui il raggio rifratto è radente alla superficie di separazione; per gli angoli maggiori il raggio rifratto manca e c’è solo il raggio riflesso. sin l =

INDICE DI RIFRAZIONE RELATIVO, ASSOLUTO E VELOCITA’ DELLA LUCE   L’interpretazione ondulatoria dell’indice di rifrazione della luce ha il suo fondamento teorico nel principio di Huygens: “un fronte che investe i punti di una superficie vibrante, rende questi a loro volta sorgenti di onde (onde secondarie) aventi la stessa frequenza dell’onda primitiva. L’insieme di queste onde secondarie crea un inviluppo in corrispondenza del quale viene individuato il nuovo fronte d’onda delle perturbazione”

Ogni punto generato dalla perturbazione diviene a sua volta sorgente di onde secondarie. Esse interagiscono tra loro e si sovrappongono l’ampiezza delle onde si annulla in ogni direzione tranne in quella di provenienza del fronte, e ai bordi del fronte stesso. Dunque: posto i l’angolo che la direzione dei fronti forma rispetto alla perpendicolare alla superficie rifrangente, i fronti rifratti formeranno (rispetto alla stessa retta) un angolo r per cui: dove v1 e v2 rappresentano la velocità delle onde rispettivamente nel primo e nel secondo mezzo.

Grazie alla legge dell’indice di rifrazione assoluto possiamo riscrivere la precedente uguaglianza: n può essere anche espresso attraverso il rapporto tra le velocità di propagazione della luce nei due mezzi in cui si produce la rifrazione

(da cui si ricava la legge del principio di invertibilità dei raggi) 1) sostituendo con la velocità della luce c nel vuoto: 2) 3) (da cui si ricava la legge del principio di invertibilità dei raggi)

IL CAMMINO OTTICO Se un raggio di luce attraversa un mezzo materiale trasparente di spessore s e indice di rifrazione n, allora il tempo (tmezzo) impiegato per attraversare il materiale sarà dato dalla relazione: Se si sostituisce vmezzo con ottenuto da possiamo riscrivere l’equazione nel seguente modo:

il tempo tmezzo impiegato da un fascio di luce per attraversare un mezzo trasparente è identico al tempo che impiegherebbe nel vuoto per percorrere il cammino cammino ottico della luce: cammino che la luce percorrerebbe nel vuoto nello stesso tempo in cui percorre il suo cammino geometrico in spazi occupati da materiali trasparenti Cammino geometrico: distanza più breve tra due punti A e B (estremi del cammino)

Consideriamo tre lastre realizzate con materiali trasparenti, di spessori s1, s2, s3, e indici di rifrazione n1, n2, n3. Il cammino ottico d di un’onda luminosa che attraversa perpendicolarmente le lastre è dato dalla relazione: d = s1n1+ s2n2+ s3n3 Grazie al concetto di cammino ottico, nel 1637, Fermat stabilì un criterio per dedurre la legge di rifrazione.

Il principio di Fermat “Il percorso che la luce compie per andare da un punto A ad un punto B dello spazio, è quello che richiede il minor tempo”

Consideriamo una superficie s che separa due mezzi di indice di rifrazione rispettivamente raggio incidente, raggio rifratto e normale complanari percorso più breve = SB

t = direttamente proporzionale al cammino ottico (poiché c = costante) Tempo di percorrenza dipende da n (poiché c varia nei due mezzi) per andare da S a H: per andare da H a B t = direttamente proporzionale al cammino ottico (poiché c = costante)

cammino ottico della luce da S a B: cammino ottico per un ipotetico cammino alternativo :

Cammino ottico: il percorso più breve Consideriamo: = fronte d’onda piano cui appartiene la parallela a SH passante per : interseca il piano rifrangente s nel punto Da tracciamo la parallela a HB fino a intersecare in il fronte rifratto passante per B

: fronte rifratto corrispondente al fronte incidente tempo impiegato per percorrere S H B = tempo impiegato per percorrere

per le proprietà dei triangoli rettangoli si ha: Per i cammini ottici corrispondenti ai due tragitti vale allora la seguente relazione: per le proprietà dei triangoli rettangoli si ha: e perciò: da cui:

il percorso della luce, rifratta da una superficie piana, che segue la legge di rifrazione è quello più rapido NB: il percorso più breve non è necessariamente quello con la minore lunghezza geometrica

ottica geometrica attraversando una lente studia il comportamento della luce in presenza di lenti si spiega con le leggi della rifrazione attraversando una lente un raggio luminoso viene rifratto e deviato: si compone così l’immagine in una posizione diversa da quella naturale

le lenti asse ottico: retta passante per i centri delle calotte lente: corpo delimitato da superfici curve che rifrangono la luce creando un’ immagine asse ottico: retta passante per i centri delle calotte fuoco: punto in cui converge un fascio di raggi che incidono sulla lente in direzione parallela all’asse ottico

Le proprietà delle lenti sono osservabili se: il fascio di raggi incidente sulla lente ha una piccola apertura angolare; i raggi di curvatura delle superfici sferiche della lente sono molto grandi rispetto al suo diametro; la distanza fra le due superfici rifrangenti è molto piccola rispetto ai loro raggi di curvatura

lenti convergenti possono essere: biconvesse: due calotte sferiche convesse rivolte l’una in opposizione all’altra piano-convesse: una superficie convessa e una piana concavo-convesse: una superficie concava e una convessa sono più spesse al centro e più sottili ai bordi

posto n lente > n mezzo fanno convergere il fascio di raggi paralleli in un unico punto (fuoco) fuoco: posto dalla parte opposta rispetto a quella da cui provengono i raggi

lenti divergenti possono essere: biconcave: due calotte sferiche concave, poste l’una in opposizione all’altra menisco-concave: due superfici sferiche, una concava e una convessa piano-concave: una superficie piana e una concava sono più spesse ai bordi e più sottili al centro

posto n lente > n mezzo fanno divergere il fascio di raggi paralleli fuoco: posto dalla stessa parte dalla quale provengono i raggi di luce; è virtuale

punti coniugati p e q = distanza dell’oggetto e dell’immagine dal centro della lente n = indice di rifrazione del materiale della lente e = raggi di curvatura delle superfici che definiscono geometricamente la lente (segno positivo per la lente concava segno negativo per la lente convessa)

distanza focale distanza focale (f): distanza del fuoco dal centro della lente focale: distanza dalla lente alla quale un raggio, in origine parallelo all'asse ottico, interseca l'asse dopo essere stato deviato dalla lente

Dalla formula dei punti coniugati per una lente sottile: immaginando il fascio di raggi proveniente da una sorgente posta a distanza infinita dalla lente, poniamo p = ∞; indicando con f la distanza focale si ottiene quindi: Poiché il rapporto tende a zero si ricava:

potere diottrico: rapporto tra focale e potenza (udm = metri); fornisce il numero di diottrie della lente potenza lenti convergenti: segno positivo potenza lenti divergenti: segno negativo

lente & immagini La posizione dell’immagine che una lente fornisce può essere determinata: con la formula con un metodo grafico che utilizza le proprietà dei raggi che si rifrangono in una lente sottile

Si utilizzano in particolare le proprietà di tre raggi rifratti: un raggio parallelo all’asse ottico si rifrange passando per il fuoco; un raggio passante per il fuoco viene rifratto parallelamente all’asse ottico un raggio che passa per il centro di curvatura della lente non viene deviato

Sfruttando queste proprietà, si possono ottenere diverse costruzioni grafiche di immagini Lente divergente qualunque sia la posizione dell’oggetto AB rispetto alla lente, l’immagine A’B’ è virtuale, diritta e rimpicciolita Lente convergente l’oggetto AB è posto a sinistra della lente fra il fuoco F e il suo centro C; l’immagine A’B’ che si forma si trova a sinistra della lente, è reale, capovolta e ingrandita

Si prenda in esame un punto oggetto qualsiasi: il raggio A passa per il centro della lente e non viene deviato il raggio B giunge alla lente parallelo all'asse e passa poi per F1 il raggio C passa per F2 ed esce dalla lente parallelo all'asse Questi tre raggi di luce si incontrano formando un punto- immagine L'immagine che si forma è capovolta

ingrandimento è definito come il rapporto tra le dimensioni lineari A’B’ dell’immagine e quelle AB dell’oggetto: con semplici considerazioni geometriche è dimostrabile che:

Si deduce quindi che: se l’immagine è capovolta se l’immagine è diritta

Modelli corpuscolare e ondulatorio a confronto Il fenomeno della rifrazione può essere spiegato per mezzo di due modelli: corpuscolare: che non fornisce, però risultati quantitativamente corretti ondulatorio:che fornisce l’interpretazione più corretta

e F hanno lo stesso verso Premessa La rifrazione è prodotta da una forza attrattiva F, agente sui corpuscoli di luce, diretta verso il mezzo più denso (più rifrangente).(Newton) e F hanno lo stesso verso F agisce lungo la normale, la velocità del corpuscolo in direzione tangenziale non cambia

Il seno dell’angolo acuto è una funzione crescente: il raggio luminoso dovrà propagarsi con velocità maggiore nel mezzo più denso ( ) al passaggio nel mezzo denso, il raggio rifratto si avvicina alla normale ( ) Viceversa, se ne allontana entrando nel mezzo più denso

Il modello corpuscolare prevede un aumento di velocità al passaggio in un mezzo più denso.

Modello Corpuscolare Quando un corpuscolo luminoso giunge al confine tra un mezzo e l’altro, viene attratto dal più denso, incrementando la componente verticale della propria velocità. la velocità nel corpuscolo-luce nel mezzo più denso deve essere maggiore che in quello meno denso.

una variazione di velocità nella stessa direzione. La forza F agisce perpendicolarmente alla superficie di separazione producendo una variazione di velocità nella stessa direzione.

Modello Ondulatorio Con questo modello si poneva in evidenza come il passaggio dei fronti da un mezzo all’altro e il mutamento della direzione di questi con avvicinamento alla perpendicolare al piano di incidenza comportassero una diminuzione della velocità e non aumento. Da dimostrazione poi: quindi

I segmenti e sono percorsi nello stesso intervallo di tempo ma con velocità differenti, il che provoca la variazione della direzione del fronte d’onda.

Osservazioni Conclusive Insufficiente l’analisi della riflessione per sostenere un modello piuttosto che l’altro Contributo di Focault, a sostegno della teoria di Huygens Diffrazione abbandono della teoria corpuscolare Einstein (premio Nobel) e gli studi sulla radiazione La luce esibisce talvolta carattere ondulatorio, talvolta carattere corpuscolare. Sono aspetti complementari ed entrambi necessari per la descrizione completa dei fenomeni.

Grazie per l’attenzione