Laboratorio delle Macchine Matematiche CREMONA 2011

Corso nato dalla collaborazione tra Associazione delle macchine Matematiche Cremona 2011

Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Nicoletta Nolli nico559@libero.it Cinzia Galli cinzia.galli@comune.cremona.it museo.storianaturale@comune.cremona.it Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Rossella Garuti rossella.garuti@libero.it Associazione delle Macchine Matematiche info@macchinematematiche.org Cremona 2011

1° parte anno scolastico 2010-2011 Programma del corso 1° parte anno scolastico 2010-2011   DATA TITOLO Elementi di contenuto e strumenti   Primo incontro 30 marzo 2011 15-18 Sala Puerari e Aula Didattica Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli) Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel nuovo Obbligo Formativo Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro teorico. Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni con riga e compasso. L’idea generale di Laboratorio di Matematica STRUMENTI: riga e compasso Secondo incontro 14 aprile Costruzioni con riga e compasso Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni) Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e dilatazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi Terzo incontro 28 aprile Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia Cremona 2011

2° parte anno scolastico 2011-2012 Programma del corso 2° parte anno scolastico 2011-2012   Data TITOLO Elementi di contenuto e strumenti   Quarto incontro settembre 2011 15 – 18 Analisi delle prime sperimentazioni in classe Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni e prospettografi) Discussione dei progetti Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e centrale, omotetia e rotazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi, prospettografi Quinto incontro ottobre 2011 Macchine aritmetiche: costruzione e analisi Notazione posizionale, algoritmi, regolarità numeriche STRUMENTI: abaco, pascalina, calcolatrice tascabile Sesto incontro macchine geometriche (curvigrafi) Coniche STRUMENTI: curvigrafi Settimo incontro novembre 2011 I progetti di sperimentazione nelle classi Discussione dei progetti di sperimentazione con particolare attenzione alla metodologia laboratoriale Cremona 2011

Attività di formazione Introduzione alla metodologia laboratoriale (curriculi UMI) Esplorazione e analisi di macchine matematiche Analisi e discussione di alcuni esempi di percorsi didattici di breve e lungo termine Cremona 2011

Incontri di formazione: Trasversalità Insegnanti di scuola secondaria di primo e secondo grado Le consegne (progettate per gli insegnanti, ma adattabili ad attività da svolgere in classe) su argomenti trattabili a diversi livelli Cremona 2011

Incontri di formazione Elementi cruciali Metodologia Laboratoriale Attenzione agli aspetti legati all’interazione (confronto tra pari e con gli esperti, discussione matematica …) Attenzione agli aspetti legati all’analisi dei processi esplorativi e argomentativi (processi propri e altrui) Cremona 2011

Come funzionerà il laboratorio Attività prestito presso il museo Cremona 2011

Sperimentazioni in classe/Laboratorio Breve termine Di lungo termine 3-4 ore quest’anno … Per rompere in ghiaccio! L’anno prossimo Cremona 2011

Cosa faremo oggi Introduzione: da cosa/da dove è nata questa “avventura” I materiali disponibili come riferimento Prima attività: il compasso e le costruzioni geometriche con riga e compasso Cremona 2011

a Cremona …… Com’è nata la collaborazione? progettazione costruzione laboratori approfondimenti documentazione Cremona 2011

Il laboratorio da “mettere in mostra” Mille e una prospettiva Cabrì e la prospettiva Lo sguardo e la proporzione Misurare con la vista   Tessitura di immagini Prospettografi    Camere con vista Camera oscura e camera di Ames La forma ritrovata Anamorfosi Messa a fuoco Proprietà focali delle coniche Sguardo sulla prospettiva Corso grafico di prospettiva approfondimenti Cremona 2011

Il laboratorio da “mettere in mostra” documentazione Il DVD Cronaca di una mostra Il filmato L’articolo “DALL’ALTRA PARTE DELLA CATTEDRA” resoconto di una esperienza didattica “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate” maggio-giugno 2009 Centro Ricerche didattiche Ugo Morin Cremona 2011

I Laboratori delle Macchine Matematiche in Emilia-Romagna: cinque province in rete (Azione 1) Maria G. Bartolini Bussi Rossella Garuti Michela Maschietto Francesca Martignone Associazione Macchine Matematiche Cremona 2011

(aule didattiche decentrate) presso 5 centri MMLab-ER Risorse umane Documentazione Risorse strumentali Laboratori (aule didattiche decentrate) presso 5 centri Ricercatori Formatori Tutor Insegnanti Studenti Formazione Sperimentazioni Cremona 2011

MMLab-ER: Formazione Cremona 2011

MMLab-ER: Sperimentazioni Cremona 2011

MMLab-ER: documentazione Rapporto finale Tesi di dottorato (R. Garuti, 2011) Rendiconti (insegnanti) di 35 sperimentazioni Pubblic. (insegnanti) su riviste professionali Pubblic. (ricercatori) su riviste peer reviewed Comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. Collegabili all’aspetto ricerca. I 79 diari di bordo sono importanti professionalmente ma il 44% ha accettato la sfida scientifica .. Cremona 2011

MMLab-ER: documentazione www.mmlab.unimore.it  progetto regionale Emilia-Romagna  risultati del progetto Report delle sperimentazioni Foto e video Libro Progetto regionale Poster Eventi finali del Progetto Scienze e tecnologie Cremona 2011

Associazione delle Macchine Matematiche MENU PRINCIPALE Home Chi siamo Dove siamo Per contattarci Macchine nel mondo Web link Laboratorio Macchine Matematiche Ultime Notizie FONTI STORICHE Coniche MATERIALI DIDATTICI Kit Tassellazioni Progetti MAIL ASSOCIAZIONE macchine e simulazioni Introduzione Coniche Trasformazioni Curve piane Prospettiva Soluzione a problemi Catalogo Fotografico Cataloghi Mostre http://www.macchinematematiche.org/ Cremona 2011

E a Cremona … Sperimentazioni Cremona 2011

Progettazione e costruzione Geometria articolata Progetto di collaborazione didattica tra L.S. Aselli e S. M. Virgilio Progettazione e costruzione Tutoring Cremona 2011 Osservazione

Laboratorio in classe 3 A -3 E L.S. Aselli Macch In Azione itinerario didattico Costruzioni con riga e compasso Coniche: dai luoghi solidi alla costruzione per punti Il compasso di Nicomede e la concoide Trasformazioni geometriche e pantografi …………………………………… Cremona 2011

Quadro teorico di riferimento Laboratorio di Matematica (Metodologia) Macchine Matematiche (Aspetti storico-epistemologici) Teoria della mediazione semiotica (Aspetti didattici) Cremona 2011

Laboratorio di matematica Il Laboratorio di Matematica si presenta come una serie di indicazioni metodologiche trasversali, basate certamente sull’uso di strumenti, tecnologici e non, ma principalmente finalizzate alla costruzione di significati matematici. La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività. Matematica 2003 Matematica 2003 – UMI CIIM Documento gruppo Berlinguer Documento Rocard (commissione Europea) Cremona 2011

“L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti” Cremona 2011

Macchine matematiche Che CosA sono? Cremona 2011

Macchine Matematiche Strumenti che consentono di rappresentare numeri Macchine per l'aritmetica Macchine per la geometria Ad esempio: semplici calcolatrici meccaniche abaci Ad esempio: Il compasso Curvigrafi Pantografi Prospettografi Strumenti che consentono di rappresentare numeri e di realizzare operazioni aritmetiche Strumenti che forzano un punto a seguire una traiettoria o a essere trasformato seguendo leggi matematiche predeterminate Cremona 2011

Macchine geometriche Ricostruzioni di macchine storiche http://www.macchinematematiche.org/ Cremona 2011

Le Macchine Matematiche presenti nei MMLab sono state costruite a scopo didattico a partire da testi storici (dalla matematica greca fino al XX secolo ) Associazione Macchine Matematiche http://www.macchinematematiche.org/ Cremona 2011

Possiamo trovare descrizioni di macchine matematiche in diversi trattati di Geometria scritti a matematici come Cavalieri, Descartes, Van Schooten, Newton, etc . L’uso di strumenti meccanici per tracciare coniche (e altre curve) è diffuso fino dall’antichità, ma ha una straordinaria fioritura dopo la pubblicazione della Géométrie di Descartes, in cui si elabora una vera e propria teoria degli strumenti nella soluzione dei problemi. Nell'antichità la completa identificazione tra strumento tracciatore e curva tracciata si realizza per rette e cerchi. In altri casi curve e strumenti mantengono una relativa autonomia, collegata alla separazione tra uso pratico degli strumenti e studio teorico di particolari curve (come le coniche). Descartes avvia la completa identificazione, a livello teorico, tra strumento tracciatore e curva tracciata. Egli si pone, infatti, un problema fondamentale, che riguarda l’ammissibilità degli strumenti nella soluzione dei problemi (citare il libro di Bos): quali sono le linee che possono essere accolte in geometria? Dà poi una risposta (o meglio due risposte, una meccanica ed una algebrica) diverse da quelle dei geometri classici. -          [linee che sia possibile] immaginare descritte da un movimento continuo, o da più movimenti che si susseguano l’un l’altro e i seguenti siano interamente determinati dai precedenti (p. 561) [….] tutti i punti di quelle curve che possiamo chiamare Geometriche stanno necessariamente con tutti i punti di una retta in una certa relazione che può essere espressa per tutti i punti per mezzo di una singola equazione (p. 569) Il riferimento allo strumento favorisce lo sviluppo di numerosi trattati di geometria 'organica' (cioè geometria degli strumenti), ad opera di Cavalieri, Van Schooten, L'Hospital, Newton, ecc. che progettano e studiano dozzine di tracciatori per vari tipi di curve algebriche. Dalle proprietà geometriche della curva si ricava così uno strumento in grado di tracciarla, almeno in una regione limitata del piano. Il nuovo elemento introdotto da Descartes, l'equazione che rappresenta la curva tracciata, è messo il relazione con lo strumento tracciatore. Cremona 2011

La macchina matematica più antica che conosciamo e usiamo IL COMPASSO Cremona 2011

Perché abbiamo scelto il compasso come prima macchina analizzata nel corso E’ la macchina che conoscete già tutti, ma non solo, è importante cosa si fa con questa macchina! Cremona 2011

Nella storia della matematica Costruzioni con riga e compasso Nella storia della matematica Basta pensare agli Elementi di Euclide! Cremona 2011 35

Nei Curriculi e nelle Indicazioni Nazionali… Costruzioni con riga e compasso Nei Curriculi e nelle Indicazioni Nazionali… Cremona 2011 36

Costruzioni con riga e compasso Rivalutazione anche nelle prove … nazionali ed internazionali TIMSS 2003- 8° grado Prova nazionale fine primo ciclo Cremona 2011

Cominciamo con la prima attività! Esplorazione ed analisi del compasso Cremona 2011

Didattica Laboratoriale Lavoro a piccoli gruppi Discussioni collettive Importante: si vuole dare spazio a Attività di esplorazione, produzione di congetture, processi di argomentazione Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici Verbalizzazione (orale e scritta) Cremona 2011

Primo passo: analisi dell’artefattostrumento Come è fatto? Che cosa fa? Perché lo fa? Cremona 2011

Analisi dell’artefatto Come è fatto il compasso? Cremona 2011 41

Analisi dello Strumento Come si usa e cosa fa? Cremona 2011 42

In che modo incorpora la proprietà che definisce la circonferenza come il luogo geometrico dei punti…? Cremona 2011 43

Perché lo fa? Asta rigida Per il primo criterio di imperniata in un estremo… Per il primo criterio di Uguaglianza dei triangoli... Cremona 2011 44

E se volessimo fare una crf molto grande? Cosa succederebbe se le aste avessero lunghezza diversa? E se volessimo fare una crf molto grande? 45

(Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 1) Un esempio di costruzione geometrica che si avvale dell’uso del compasso Su una retta terminata data (segmento dato) costruire un triangolo equilatero. (Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 1) Cremona 2011 46

Pensa, nel migliore dei casi, al compasso come “strumento” tecnico, per realizzare un disegno Pensa al compasso come “strumento” teorico, che incorpora la definizione di cerchio Cremona 2011 47

Maria G. Bartolini Bussi Università di Modena e Reggio Emilia Mediazione semiotica Maria G. Bartolini Bussi Università di Modena e Reggio Emilia Cremona 2011

Studente/i cultura Attività semiotica “testi” (segni) situati consegna sapere matematico (da insegnare) “testi” (segni) matematici cultura Cremona 2011

Progettazione consegna sapere matematico (da insegnare) insegnante Cremona 2011

Attività semiotica Studente/i “testi” (segni) situati consegna insegnante sapere matematico (da insegnare) Cremona 2011

Studente/i Attività semiotica “testi” (segni) situati consegna sapere matematico (da insegnare) “testi” (segni) matematici Cremona 2011

Che ruolo può avere l’insegnante in tutto questo? Domanda Che ruolo può avere l’insegnante in tutto questo? Cremona 2011

Studente/i cultura Attività semiotica “testi” (segni) situati consegna L’insegnante usa l’artefatto come strumento di mediazione semiotica sapere matematico (da insegnare) “testi” (segni) matematici cultura Cremona 2011

Ruolo dell’insegnante Pianificare l’attività Aiutare gli studenti nelle situazioni di blocco facendogli esplicitare le difficoltà incontrate Orchestrare la fase di discussione collettiva Cremona 2011

Il laboratorio La costruzione dei significati matematici è favorita, guidata, ‘istituzionalizzata’ dall’insegnante ma ha bisogno del coinvolgimento attivo dello studente, che deve essere quindi protagonista di questo processo. Cremona 2011 56

Modalità Ciclo didattico Cremona 2011

Costruzioni con riga e compasso Cremona 2011

“testi” (segni) situati Attività semiotica consegna Cremona 2011

Durante gli incontri di formazione: approccio laboratoriale Voi insegnati vi troverete in situazioni in cui sarete: “studenti” di fronte a una consegna che coinvolge la matematica che conoscono affrontata però in modo diverso professionisti che analizzano le potenzialità e i limiti delle consegne, le possibili difficoltà degli studenti… Cremona 2011

Didattica Laboratoriale Attività (individuali, a coppie, in piccoli gruppi…) che si avvalgono dell’uso di strumenti Discussioni collettive di bilancio Cremona 2011

Attività di esplorazione Dare spazio a: Attività di esplorazione Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici Verbalizzazione (orale e scritta) Cremona 2011

Attività 1 Costruire un triangolo dati tre lati Nella scheda 1 (15 min): Consegna Strumenti Testo situato (prodotto da voi) Nella scheda 1bis: Testo Matematico Sapere matematico Cremona 2011

Disuguaglianza triangolare (Prop. 20 Libro I degli Elementi di Euclide) In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza Cremona 2011

Attività: aste incernierate Date tre aste (listelli) collegabili tramite fermacampioni Non sempre si possono costruire dei triangoli… Cremona 2011

Attività 2 Costruire un triangolo isoscele Scheda 2 (20 min): Consegna Strumenti Testo situato (prodotto da voi) Scheda 2bis: Testo Matematico Sapere matematico Cremona 2011

Costruire un triangolo isoscele Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’? Quale procedura avete seguito? PERCHE’? Che ruolo hanno avuto gli strumenti in queste scelte? Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni? Cremona 2011

Costruzioni di triangoli isosceli (tenendo presente la disuguaglianza triangolare) Partendo dall’asse di simmetria… Data la base costruire i lati congruenti… Partendo dagli angoli conguenti Partendo dalla proprietà della crf …

Elementi di discussione Capire i “prodotti” e cercare di ricostruire i processi che li hanno generati (attività importante anche per gli studenti) Trovare e analizzare le analogie e le differenze nelle costruzioni presentate Produrre testi giustificativi Costruire dimostrazioni Riflettere sul ruolo degli strumenti e delle conoscenze nella generazione e nello sviluppo delle procedure di costruzione

Compito per casa: Costruzioni con riga e compasso di rette parallele Fine primo incontro Compito per casa: Costruzioni con riga e compasso di rette parallele Cremona 2011