bande di energia in un conduttore g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello superiore della banda La banda di energia più alta è parzialmente vuota  livello di Fermi

Overlap di bande di energia in un conduttore bande di energia nel magnesio bande di energia nel sodio EF la banda 3s è parzialmente vuota; l’overlap con la banda 3p estende la banda permessa in cui già cade EF la banda 3s è totalmente occupata, ma l’overlap con la banda 3p fa sì che EF cada in una zona di energie permesse

bande di energia in un isolante EF

bande di energia in un semiconduttore energy gap bande di energia in un semiconduttore EF

conduzione elettrica nei metalli Modello classico: Drude e Lorentz, 1905 il problema: la legge di Ohm V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente) l S I V moto “viscoso” il modello: gli elettroni in un conduttore si comportano come un “gas” di particelle quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann (velocità termica vt ) in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in questa direzione (velocità di deriva vd ) negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono l’energia in più acquistata nell’accelerazione e ripartono con l’energia termica media (il che spiega l’effetto Joule) la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto l’azione del campo elettrico nel tempo medio  fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento)

conduzione elettrica nei metalli resistività conduzione elettrica nei metalli legge di Ohm V=RI l S I V cammino libero medio fra urti successivi quanto vale ? Nell’urto si ristabilisce l’equilibrio energetico, quindi in media l’elettrone cede all’atomo l’energia acquistata a spese del campo elettrico (effetto Joule) inoltre: mobilità

secondo il modello di Drude spiega perché si genera il moto viscoso e quindi la velocità limite di deriva spiega perché la resistività aumenta con la temperatura fornisce valori ragionevoli della resistività a temperatura ambiente R/R290 secondo il modello di Drude dati di misura però: non spiega l’effetto forte della presenza di impurezze (regola di Mathiessen) non riproduce la corretta dipendenza dalla temperatura (ad alta temperatura è lineare in T e non in  T, a bassa temperatura è lineare in T5) non è compatibile con il comportamento quantistico dell’elettrone nel solido

un calcolo di resistività secondo il modello di Drude lurti  1 nm ; n  1029 m-3

il modello quantistico di Sommerfeld L’elettrone è descritto da un “pacchetto di onde di Bloch” che si muove sotto l’azione del campo elettrico esterno secondo l’equazione classica del moto: che, risolta rispetto a vd, fornisce la soluzione: ottenuta con il modello di Drude. È lecito il calcolo classico purché: - si usi per m la “massa efficace”, - si verifichi che la larghezza del “pacchetto” in posizione e quantità di moto sia  sufficientemente piccola, in modo che il moto possa essere trattato classicamente nel tratto fra due collisioni successive,  sufficientemente grande, in modo che le interazioni fra elettrone e reticolo siano ben descritte dalla massa efficace

il modello quantistico di Sommerfeld in assenza di campo elettrico esterno in presenza di campo elettrico esterno  k  k nello spazio k, la velocità di drift vd legata alla corrente elettrica genera uno spostamento  k dell’intera distribuzione degli elettroni nel senso contrario alla direzione del campo elettrico:

il modello quantistico di Sommerfeld meccanismi di urto: - riguardano solo gli elettroni vicino al livello di Fermi, perché sono gli unici ad avere disponibili livelli energetici non occupati - preferenzialmente lo scattering è all’indietro dove ci sono più stati liberi a energia minore - l’urto non è contro gli ioni del reticolo, perché la funzione d’onda di Bloch tiene già conto del potenziale periodico - gli urti possibili sono con ciò che non è periodico: - urti con le impurità - urti con i fononi (vibrazioni reticolari)

collisioni nel modello quantistico cammino libero medio per urti con le impurità cammino libero medio per urti con i fononi velocità dell’elettrone di energia prossima a quella del livello di Fermi probabilità di collisione nell’unità di tempo: (rispetto al calcolo di Drude, vF> vt però anche limp e lfon sono maggiori di lurti!)

collisioni con le impurezze La probabilità di collisione con le impurezze, 1/limp è direttamente proporzionale alla densità di impurità, nimp , (la costante di proporzionalità Simp è chiamata “sezione d’urto”): Simp limp nimp 1/limp = Simp nimp - è praticamente indipendente dalla temperatura - quindi anche il contributo delle collisioni con le impurezze è indipendente dalla temperatura (nei metalli, vF , m* , e la densità elettronica n sono praticamente costanti) Es.: supponiamo una frazione di impurità dell’ordine di qualche parte su un milione e una sezione d’urto “geometrica” ( 10-20 m2) il contributo alla resistività delle impurità è dell’ordine del permille  RRR = T=300K / T

collisioni coi fononi probabilità di collisione con i fononi: -1/lfon è direttamente proporzionale alla densità di fononi, nfon,con costante di proporzionalità Sfon pari alla “sezione d’urto elettrone-fonone”: 1/lfon = Sfon nfon - nfon dipende dalla temperatura: la distribuzione in energia dei fononi a una data T si ottiene da quella dei fotoni (spettro di corpo nero) sostituendo “vfon” a “c” e tenendo conto che l’ max è limitato a Debye: urto elettrone-fonone conservazione dell’energia conservazione della quantità di moto ad alta temperatura: quindi la densità numerica di fononi è proporzionale a T

collisioni con i fononi Si può determinare la costante di proporzionalità tenendo conto che, a differenza di ciò che avviene per i fotoni, il numero di oscillazioni possibili è fisso, pari a 3nat, cioè a 3 oscillazioni per atomo (due trasversali e 1 longitudinale) da cui si ottiene, ad alta temperatura: quindi nfon, ad alta temperatura, è direttamente proporzionale a T direttamente proporzionale alla densità atomica nat inversamente proporzionale alla temperatura di Debye D , che è caratteristica del cristallo (legata alla massima frequenza delle oscillazioni fononiche) a bassa temperatura (T < D ), nfon T 3

dipendenza della resistività dalla temperatura Introducendo 1/lfon nell’espressione della resistività, si ottiene (nei metalli, vF , m* , e la densità elettronica n sono praticamente costanti) dipendenza della resistività dalla temperatura Ad alta temperatura, Sfon è costante, perché i fononi hanno praticamente la frequenza max, Debye, nfon è proporzionale a T, quindi d /dT = dfon /dT  Sfon la variazione di  con la temperatura misura l’accoppiamento elettrone-fonone  accoppiamento debole buon conduttore  un accoppiamento sufficientemente forte può indurre comportamenti superconduttivi A bassa temperatura (T < D ), nfon T 3, inoltre Sfon diminuisce come T2, quindi fon diminuisce come T5

le due componenti della resistività “temperatura di Debye”

superconduttori temperatura critica Esperimento storico di Kamerlingh Omnes (1911): transizione superconduttiva di Hg a 4,2 K transizione superconduttiva di Mg B2 (HTCS: High Critical Temperature Superconductor )

semiconduttori Egap Ec Ev Caratteristiche a 0K: - banda di valenza completamente occupata - banda di conduzione completamente vuota - piccolo gap di energie proibite Eg= 1,1 eV (Si); 0,7 eV (Ge); 1,4 eV (GaAs) a T>0K: - un elettrone può essere eccitato dalla banda di valenza a quella di conduzione - ogni elettrone che passa in banda di conduzione lascia un posto vuoto (buca) in banda di valenza - anche la buca in banda di valenza è “mobile”, perché può essere occupata da un elettrone che lascia a sua volta una buca e così via - sotto l’azione di un campo elettrico esterno il moto di deriva avviene sia in banda di conduzione che in banda di valenza - l’elettrone in banda di valenza è in una zona “di massa efficace negativa” e il suo moto può essere equiparato a quello di una particella con massa positiva e carica elettrica positiva Egap Ec Ev buca

conducibilità elettrica nei semiconduttori heavy hole masse efficaci molto piccole light hole due contributi alla conducibilità: contributo degli elettroni in banda di conduzione contributo delle buche in banda di valenza

conducibilità elettrica nei semiconduttori semiconduttore intrinseco: n=p Calcolo di n e di p: legge dell’azione di massa

Livello di Fermi - ni = pi Egap EF EF = Ec - Egap/2 Calcolo del livello di Fermi per il semiconduttore intrinseco - ni = pi - si assume me mh=m* EF Egap Livello di Fermi dal rapporto: Ec-EF = Egap/2 EF = Ec - Egap/2 Stima di ni a 300K: - da confrontarsi con  1029m-3 per i conduttori - inoltre dipendenza esponenziale dalla temperatura

livello dell’accettore “drogaggio” drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo) EF livello del donatore donatore livello dell’accettore drogaggio tipo “p” con un atomo trivalente (Al) accettore

conducibilità elettrica in semiconduttori drogati EF livello del donatore con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità nd dei donatori (portatori di maggioranza) livello dell’accettore EF “p” con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità na degli accettori (portatori di minoranza)

resistenza elettrica in semiconduttori debolmente drogati zona “estrinseca”: tutti i portatori di maggioranza sono in banda di conduzione, la resistenza elettrica cresce linearmente con T perché cala la mobilità zona “intrinseca”: i portatori “intriseci” cominciano a passare con crescente probabilità in banda di conduzione, la resistenza elettrica diminuisce esponenzialmente con T perché cresce la densità n di portatori

la giunzione diodo V=0  (pn)  (np) zona di “svuotamento”  (pn)  (np) Ecn Ecp Evp Evn V=0 - i livelli di Fermi si allineano - la densità di elettroni con E>Ecp è la stessa nei due lati della giunzione essendo proporzionale a exp-(Ecp-EF)/kBT - il flusso di cariche  (pn) dal lato “p” verso il lato “n” è uguale al flusso (np) in senso opposto - la densità di corrente è nulla

il diodo V>0 (bias positivo) zona di “svuotamento”  (pn)  (np) Ecn Ecp Evp Evn EFn EFp V>0 (bias positivo) - si riduce la differenza (Ecp - Ecn) fra i due livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il livello EFn dal lato n è più alto - la densità di elettroni con E>Ecp è maggiore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a exp-(Ecp-EFn)/kBT, mentre nel lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, proporzionale a exp-(Ecp-EFp)/kBT - il flusso di cariche  (np) dal lato “n” verso il lato “p” è maggiore del flusso  (pn) in senso opposto - c’è una densità netta di corrente da p a n

il diodo V<0 (bias negativo)  (pn)  (np) Ecn Ecp Evp Evn EFn EFp il diodo V<0 (bias negativo) - cresce la differenza (Ecp - Ecn) fra i due livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il livello EFn dal lato n è più basso - la densità di elettroni con E>Ecp è minore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a exp-(Ecp-EFn)/kBT, mentre nel lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, cioè proporzionale a exp-(Ecp-EFp)/kBT - il flusso di cariche (np) dal lato “n” verso il lato “p” è minore del flusso  (pn) in senso opposto - c’è una debole densità di corrente da n verso p zona di “svuotamento”

La caratteristica del diodo Calcolo del flusso di elettroni: La caratteristica del diodo Calcolo della densità di corrente: Caratteristica del diodo: