Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Capitolo 6 Interrogazioni AVL Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Posso usare un albero AVL per implementare un dizionario? come implemento Insert(14)? …e delete(25)? +2 ! -2 !

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Implementazione delle operazioni Loperazione search procede come in un BST Ma inserimenti e cancellazioni potrebbero sbilanciare lalbero Manteniamo il bilanciamento tramite opportune rotazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Rotazione di base Mantiene la proprietà di ricerca Richiede tempo O(1)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ribilanciamento tramite rotazioni Le rotazioni sono effettuate su nodi sbilanciati Sia v un nodo con fattore di bilanciamento (v) ± 2 Esiste un sottoalbero T di v che lo sbilancia A seconda della posizione di T si hanno 4 casi: I quattro casi sono simmetrici a coppie (SD (DS) andrebbe meglio definito come segue: T è nel sottoalbero sinistro (destro) di v, ma non è il sottoalbero sinistro (destro) del figlio sinistro (destro) di v) (v)=+2 (v)=-2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Caso SS (v)=+2, laltezza di T è h+3, e laltezza di T 1 è h+1 Si applica una rotazione semplice verso destra su v; 2 sottocasi possibili: (i) laltezza di T 2 è h laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione passa da h+3 a h+2, e il fattore di bilanciamento di u e v diventa pari a 0 (ii) laltezza di T 2 è h+1 (NOTA: questo può essere visto anche come un caso SD) laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione rimane pari a h+3, e il fattore di bilanciamento di u diventa pari a -1, mentre quello di v diventa pari a 1 0/-1 0/+1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Osservazioni sul caso SS Aggiungendo una foglia a un albero bilanciato si può verificare solo il caso (i) (perché altrimenti lAVL era già sbilanciato!) Invece, cancellando una foglia da un albero bilanciato si possono verificare entrambi i casi (ad esempio, se cancello una foglia da T 3 )

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Caso SD (v)=+2, altezza di T è h+3, altezza di T(z) è h+2, altezza di T 1 è h sottoalbero destro di z ha altezza h+1 e (z)=-1 Due sottocasi: (1) altezza di T 2 è h (e quindi laltezza di T 3 è h o h-1); (2) altezza di T 2 è h-1 (e quindi laltezza di T 3 è h) Applicare due rotazioni semplici: una verso sinistra sul figlio del nodo critico (nodo z), laltra verso destra sul nodo critico (nodo v) In entrambi i sottocasi, laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione passa da h+3 a h+2 h+1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl +1 0 …i due sottocasi del caso SD… 0/-1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Inserisci u come in un BST 3.Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi nel cammino dalla radice a u: sia v il più profondo nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 (nodo critico) 4.Esegui una rotazione opportuna su v Oss.: un solo ribilanciamento è sufficiente, poiché laltezza dellalbero coinvolto diminuisce di 1 (sottocaso 1 caso SS o DD, o i due sottocasi dei casi SD o DS)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e) caso SD

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete(elem e) 1.Cancella il nodo come in un BST 2.Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi nel cammino dalla radice al padre del nodo eliminato fisicamente (che potrebbe essere il predecessore del nodo contenente e) 3.Ripercorrendo il cammino dal basso verso lalto, esegui lopportuna rotazione semplice o doppia sui nodi sbilanciati Oss.: potrebbero essere necessarie O(log n) rotazioni: infatti eventuali diminuzioni di altezza indotte dalle rotazioni fanno permanere lo sbilanciamento

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18) successore di caso SD

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Cancellazione con rotazioni a cascata

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Classe AlberoAVL

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Tutte le operazioni hanno costo O(log n) poiché laltezza dellalbero è O(log n) e ciascuna rotazione richiede solo tempo costante Costo delle operazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Mantenere il bilanciamento è risultato cruciale per ottenere buone prestazioni Esistono vari approcci per mantenere il bilanciamento: –Tramite rotazioni –Tramite fusioni o separazioni di nodi (alberi 2-3, B- alberi ) In tutti questi casi si ottengono tempi di esecuzione logaritmici nel caso peggiore Riepilogo