Università degli studi di LAquila Anno Accademico 2007/2008 Corso Integrato di Algoritmi e Strutture Dati con Laboratorio Modulo da 6 CFU di Algoritmi e Strutture Dati (Prof. Guido Proietti) Modulo da 6 CFU di Laboratorio di ASD (Prof.ssa Giovanna Melideo) Orario: Martedì: – – A.M. Mercoledì: – – A.M. Giovedì: – A.M. Venerdì: – A.M. Ricevimento (Prof. Proietti): Martedì Testi e dispense per il modulo di ASD: Algoritmi e Strutture Dati Autori: Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Prezzo: Euro 30 (circa) Casa Editrice: Mc-Graw Hill Dispense del corso di Algoritmi e Strutture Dati Prova parziale: Martedì 20 Novembre (?) – Riservata agli studenti del secondo anno

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 Programma settimanale 1.Introduzione: problemi, algoritmi, complessità computazionale, 2.Notazione asintotica, problema della ricerca 3.Ordinamento: Insertion, Selection 4.Ordinamento efficiente: Merge sort, Quicksort, algoritmi di ordinamento lineari. 5.Code di priorità: heap binario, Heapsort, heap binomiale. 6.Alberi di ricerca: problema del dizionario, alberi AVL. 7.Esercitazione e riepilogo 8.Prova intermedia 9.Tabelle hash; tecniche algoritmiche; Grafi. 10.Grafi: visite. Cammini minimi: Bellman&Ford, Dijkstra, Floyd&Warshall 11.Laboratorio 12.Insiemi disgiunti 13.Minimo albero ricoprente: Kruskal, Prim, Boruvka 14.Esercitazione e riepilogo

Capitolo 1 Unintroduzione informale agli algoritmi Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Procedimento che consente di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito. Definizione informale di algoritmo Esempio: algoritmo preparaCaffè

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Le quattro proprietà fondamentali di un algoritmo La sequenza di istruzioni deve essere finita Essa deve portare ad un risultato Le istruzioni devono essere eseguibili materialmente Le istruzioni non devono essere ambigue

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Gli algoritmi sono alla base dei programmi, nel senso che forniscono il procedimento formale per giungere alla soluzione di un dato problema di calcolo Programma Pseudo-codice Descriviamo la sequenza di azioni che lalgoritmo deve compiere in maniera indipendente dal linguaggio di programmazione in cui lalgoritmo è implementato. Algoritmi e programmi

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Correttezza ed efficienza Vogliamo progettare algoritmi che: –Producano correttamente il risultato desiderato –Siano efficienti in termini di tempo di esecuzione ed occupazione di memoria

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Un esempio giocattolo: i numeri di Fibonacci

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Leonardo da Pisa (anche noto come Fibonacci) si interessò di molte cose, tra cui il seguente problema di dinamica delle popolazioni: Lisola dei conigli Quanto velocemente si espanderebbe una popolazione di conigli sotto appropriate condizioni? In particolare, partendo da una coppia di conigli in unisola deserta, quante coppie si avrebbero nellanno n?

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 Una coppia di conigli genera due coniglietti di sesso diverso ogni anno I conigli cominciano a riprodursi soltanto al secondo anno dopo la loro nascita I conigli sono immortali Le regole di riproduzione

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 Lalbero dei conigli La riproduzione dei conigli può essere descritta in un albero come segue:

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 Nellanno n, ci sono tutte le coppie dellanno precedente, e una nuova coppia di conigli per ogni coppia presente due anni prima La regola di espansione Indicando con F n il numero di coppie dellanno n, abbiamo la seguente relazione di ricorrenza: F n-1 + F n-2 se n3 1 se n=1,2 F n =

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 13 Il problema Come calcoliamo F n ?

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Possiamo usare una funzione matematica che calcoli direttamente i numeri di Fibonacci. Si può dimostrare che: Un approccio numerico dove:

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 15 Algoritmo fibonacci1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 Qual è laccuratezza su e per ottenere un risultato corretto? Ad esempio, con 3 cifre decimali: Correttezza? ˆ n fibonacci1 (n) arrotondamentoFnFn

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 17 Algoritmo fibonacci2 algoritmo fibonacci2 (intero n) intero if (n 2) then return 1 else return fibonacci2 (n-1) + fibonacci2 (n-2) Opera solo con numeri interi Poiché fibonacci1 non è corretto, un approccio alternativo consiste nellutilizzare direttamente la definizione ricorsiva:

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 18 Calcoliamo il numero di linee di codice T(n) mandate in esecuzione Se n2: una sola linea di codice Se n=3: quattro linee di codice, due per la chiamata fibonacci2(3), una per la chiamata fibonacci2(2) e una per la chiamata fibonacci2(1) Correttezza? Corretto per definizione ! Efficienza?

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 19 Relazione di ricorrenza In ogni chiamata si eseguono due linee di codice, oltre a quelle eseguite nelle chiamate ricorsive T(n) = 2 + T(n-1) + T(n-2) n 3 In generale, il tempo richiesto da un algoritmo ricorsivo è pari al tempo speso allinterno della chiamata più il tempo speso nelle chiamate ricorsive

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 20 Albero della ricorsione Utile per risolvere la relazione di ricorrenza Nodi corrispondenti alle chiamate ricorsive Figli di un nodo corrispondenti alle sottochiamate

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 21 Etichettando i nodi dellalbero con il numero di linee di codice eseguite nella chiamata corrispondente: –I nodi interni hanno etichetta 2 –Le foglie hanno etichetta 1 Calcolare T(n) Per calcolare T(n): –Contiamo il numero di foglie –Contiamo il numero di nodi interni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 22 Il numero di foglie dellalbero della ricorsione di fibonacci2(n) è pari a F(n) Il numero di nodi interni di un albero in cui ogni nodo ha due figli è pari al numero di foglie -1 Calcolare T(n) In totale le linee di codice eseguite sono F(n) + 2 (F(n)-1) = 3F(n)-2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 23 fibonacci2 è un algoritmo lento: T(n) F(n) n (con le attuali tecnologie, calcolare F(100) richiederebbe circa 8000 anni!) Possiamo fare di meglio? Osservazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 24 Perché lalgoritmo fibonacci2 è lento? Perché continua a ricalcolare ripetutamente la soluzione dello stesso sottoproblema. Perché non memorizzare allora in un array le soluzioni dei sottoproblemi? Algoritmo fibonacci3 algoritmo fibonacci3 (intero n) intero sia Fib un array di n interi Fib[1] Fib[2] 1 for i = 3 to n do Fib[i] Fib[i-1] + Fib[i-2] return Fib[n]

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 25 Lalgoritmo fibonacci3 impiega tempo proporzionale a n invece di esponenziale in n come fibonacci2 Tempo effettivo richiesto da implementazioni in C dei due algoritmi su piattaforme diverse: Calcolo del tempo di esecuzione

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 26 Il tempo di esecuzione non è la sola risorsa di calcolo che ci interessa. Anche la quantità di memoria necessaria può essere cruciale. Se abbiamo un algoritmo lento, dovremo solo attendere più a lungo per ottenere il risultato Ma se un algoritmo richiede più spazio di quello a disposizione, non otterremo mai la soluzione, indipendentemente da quanto attendiamo! Occupazione di memoria

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 27 fibonacci3 usa un array di dimensione n In realtà non ci serve mantenere tutti i valori di F n precedenti, ma solo gli ultimi due, riducendo lo spazio a poche variabili in tutto: Algoritmo fibonacci4 algoritmo fibonacci4 (intero n) intero a b 1 for i = 3 to n do c a+b a b b c return b

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 28 Misurare T(n) come il numero di linee di codice mandate in esecuzione è una misura molto approssimativa del tempo di esecuzione Se andiamo a capo più spesso, aumenteranno le linee di codice sorgente, ma certo non il tempo richiesto dallesecuzione del programma! Notazione asintotica (1 di 4)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 29 Per lo stesso programma impaginato diversamente potremmo concludere ad esempio che T(n)=3n oppure T(n)=5n Vorremmo un modo per descrivere lordine di grandezza di T(n) ignorando dettagli inessenziali come le costanti moltiplicative… Useremo a questo scopo la notazione asintotica O Notazione asintotica (2 di 4)