Liceo Scientifico e Classico “Benedetto Varchi” “P a r l i a m o di c o n i c h e” Giovedì 23 febbraio 2012 Riccardo Ruganti

Perché parlare di CONICHE? - Esercitare e migliorare l'intuizione spaziale - Occasione di affrontare lo studio della geometria sintetica dello spazio - Familiarizzare con quanto studiato della geometria euclidea del piano - Trattare gli aspetti storici per sottolineare l'evoluzione del pensiero matematico - Cogliere un esempio dell’importanza del Linguaggio Matematico per rispondere al desiderio intellettuale dell’Uomo verso la Conoscenza

Sezioni di un cono

Guardando intorno a noi …

Nelle leggi della Fisica

Da quando si parla di CONICHE ? Tre momenti significativi: Menecmo Apollonio Keplero

Menecmo Geometra e astronomo vissuto intorno al 350 a.C. discepolo di Eudosso (408-355 a.C.) è ritenuto l'inventore delle tre sezioni coniche: gli antichi le chiamavano le TRIADI di MENECMO

Menecmo lettera Non abbiamo documenti diretti ma la letteratura attribuisce a Menecmo la scoperta delle coniche in base al fatto che (con riferimento ad uno scritto di Eutocio intorno al 500 d.C.) in una lettera di Eratostene (verso il 250 a.C.) al re Tolomeo III d'Egitto viene citato proprio Menecmo a proposito di una costruzione di medie proporzionali: vengono usate una parabola e un'iperbole equilatera o due parabole nell'ambito di ricerche rivolte alla risoluzione del problema della duplicazione del cubo 1 2

x² = a y y² = 2 a x (parabole) Dati due segmenti a e b, si chiede di inserire ovvero costruire altri due segmenti x e y che fossero medi proporzionali tra quelli dati. Supposto che b = 2a allora a : x = x : y e x : y = y : 2a ovvero x² = a y y² = 2 a x (parabole) da cui sostituendo x² / a al posto di y nella seconda equazione x3 = 2a3 Il segmento x rappresenta lo spigolo del cubo di volume doppio rispetto a quello di spigolo a.

Eutocio scrive anche che gli antichi consideravano coni i solidi generati da una rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti e che li classificavano in acutangoli, ottusangoli, rettangoli in relazione al tipo di angolo al vertice del cono che si veniva a formare.

O r t h o t o m e O x y t o m e A m b l y t o m e O x y t o m e, Con ognuno di tali coni era generata una conica di un solo tipo mediante un piano perpendicolare ad una generatrice. Tali sezioni venivano indicate con i nomi O r t h o t o m e O x y t o m e A m b l y t o m e O x y t o m e, A m b l y t o m e, e le loro proprietà caratteristiche piane con S y m p t o m a S y m p t o m a.

Apollonio Ha studiato in modo sistematico le sezioni coniche individuando moltissime proprietà ed in particolare quelle che ci permettono di costruirle nel piano come luoghi geometrici

Apollonio fu, sembra, il primo a dimostrare che si potevano ottenere le coniche sezionando un unico tipo di cono retto, a studiare le sezioni piane di un cono obliquo a base circolare a considerare coni a doppia falda caratterizzando i tre tipi di coniche con proposizioni e con una terminologia che conducono al formalismo attuale

Parabola (porre accanto, confrontare) paraballein paraballein (uguagliare, paragonare, mettere a confronto) Ellisse (mancanza) elleipein elleipein (lasciare) Iperbole (lanciare al di là) uperballein uperballein (sorpassare, oltrepassare)

y2 = L x y2 = L x - x2 L / T y2 = L x + x2 L / T

Keplero Dopo un millennio le Coniche tornano ad essere protagoniste: Queste curve forse nate per risolvere un problema geometrico e poi studiate a fondo per ricercare le loro proprietà sono utili per descrivere il moto dei pianeti Keplero Ricerca guidata da curiosità intellettuale … Non è l’unico caso ed anche oggi continuano gli esempi: Il Linguaggio della Matematica sembra proprio essere il Linguaggio in cui sono “scritte” le Leggi della Natura

«la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto» Saggiatore

La frase di Galileo scritta nel Saggiatore Galileo Galilei 1564 - 1642 Johannes Kepler 1571 - 1630 Oggi gli oggetti matematici sono certamente più astratti e più complessi ma non cambia il senso, compreso quello che anche la Fisica teorica deve poi sottostare alle verifiche sperimentali e questo può suscitare ancora più grandi emozioni.

Alcuni di coloro che si sono occupati di CONICHE Ippocrate di Chio elementi 430 aC Platone nasce 427 aC Menecmo sezioni coniche 350 aC Alessandro Magno muore 323 aC Eratostene crivello 230 aC Apollonio coniche 225 aC Archimede muore 212 aC Pappo collezione matematica 320 dC Proclo muore 485 Eutocio commenta Archimede 560 Keplero astronomia nuova 1609 Dandelin teorema 1822

Ma vediamole queste CONICHE !!! b c d e

Costruzione nel piano delle coniche come luoghi (sia per via sintetica che per via analitica) Parabola Ellisse Iperbole Anche con definizione unica P1 P2 E I

Costruzione delle tangenti a una conica Parabola Ellisse Iperbole

Area di un segmento parabolico … Vediamo che cosa proponeva Archimede

Similitudine tra CONICHE 1 2 3

Mercurio 0.206 0.007 Venere 0.017 Terra 0.093 Marte 0.048 Giove 0.056 Pianeta Eccentricità Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano Nettuno Plutone Cometa di Halley 0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.056 0.047 0.009 0.249 0.967

Mi sto dimenticando delle CONICHE nel Piano Cartesiano! Chissà perché? … … …

G r a z i e !