Le trasformazioni Liceo B. VARCHI Montevarchi - 25 settembre 2012 Riccardo Ruganti

Geometria: perché? Aiuta a osservare, descrivere, individuare caratteristiche e regolarità e a saperle comunicare. Geometria: perché? Offre un’occasione per argomentare, congetturare e dimostrare e quindi una palestra formativa per abituarsi a confrontarsi con gli altri in modo corretto, appropriato e consapevole. Permette di osservare e interpretare gli “oggetti reali” attraverso la conoscenza degli oggetti geometrici, delle loro caratteristiche e delle loro relazioni

offre la base intuitiva Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il I biennio – Geometria: Si consiglia di non trascurare la geometria ma di riservarle un tempo equilibrato. Anche se, con 3 ore settimanali, non le si potrà dedicare un tempo molto esteso, è sconsigliato ridurla a una presenza poco significativa, perché la geometria è una parte fondamentale del curricolo di matematica ed offre la base intuitiva per una visualizzazione di molti dei concetti matematici che si riscontrano sia nel mondo reale che negli altri ambiti di contenuto (Aritmetica e algebra, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni). Nelle INDICAZIONI NAZIONALI si afferma che “il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano”.

GEOMETRIA COME Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria: All’inizio del primo biennio … lo studio della geometria può mirare, partendo da quanto è stato affrontato nel corso del precedente livello, a migliorare e a rafforzare la presa di coscienza dello spazio in cui viviamo le nostre esperienze per poi procedere a un approfondimento della conoscenza delle figure e delle loro proprietà con opportune argomentazioni e dimostrazioni.

GEOMETRIA COME Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Iniziare dal riconoscimento delle figure tridimensionali che sono intorno a noi rappresenta un’occasione per richiamare e rafforzare le conoscenze degli studenti provenienti da situazioni scolastiche diverse ovvero con livelli e tipologie di preparazione spesso molto eterogenei. In ogni caso orientare l’approccio al curricolo del biennio in continuità con quello del primo ciclo determina un minor stato di ansia e può servire a stabilire un miglior dialogo tra docenti dei due livelli di istruzione.

GEOMETRIA COME … si agisce per sviluppare la competenza Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Una sistemazione più esaustiva della geometria è un punto d’arrivo al termine del curricolo e non certo un punto di partenza imposto. … si agisce per sviluppare la competenza che si riferisce a “confrontare e analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni”.

Competenza PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy: Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts, and tools to describe, explain, and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective citizens.

Competenza PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy Competenza matematica: La competenza matematica è la capacità di un individuo di formulare, utilizzare e interpretare la matematica in una varietà di contesti. Include la capacità di ragionare matematicamente e di usare concetti, procedure, fatti e strumenti della matematica per descrivere, spiegare e predire fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica ha nel mondo e a formulare giudizi e decisioni ben fondati, come richiesto a cittadini costruttivi, impegnati e riflessivi.

OCSE PISA Programme for International Student Assessment Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico PISA Programme for International Student Assessment

GEOMETRIA COME Fase 1. Recupero, consolidamento e approfondimento Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Fase 1. Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano. Dalle figure dello spazio tridimensionale, già studiate durante l’ultimo anno della Scuola Secondaria di I Grado (prismi, piramidi, poliedri, cilindri, coni, sfere), si giungerà ad analizzare quelle piane (circonferenze, poligoni, segmenti, angoli).

GEOMETRIA COME Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Si possono, per esempio, invitare gli studenti a guardare ciò che è intorno a loro nell’aula o che notano mentre si affacciano alla finestra o mentre fanno un giro intorno alla scuola. Può essere utile mostrare qualche foto di edifici, di sculture, di animali, di panorami con nubi e profili di montagne oppure far osservare, coinvolgendo possibilmente il collega di Scienze, alcuni campioni di minerali che presentino la loro struttura cristallina. Importante è giungere a far scoprire come le forme geometriche che si studiano (a scuola) siano suggerite dalla Natura stessa!

GEOMETRIA COME GEOMETRIA COME i poliedri regolari, Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria Oltre a piramidi, prismi, cilindri, coni è interessante e culturalmente importante far osservare e arrivare a descrivere, senza esagerare con il rigore formale, i poliedri regolari, sempre a partire da foto o da oggetti (per esempio alcuni dei dadi usati per i “giochi di ruolo”) o da letture o da riferimenti storici.

GEOMETRIA COME Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria A livello di primo biennio della scuola secondaria di secondo grado, non si potrà assolutamente impostare la geometria in modo assiomatico e deduttivo, ma si svilupperanno progressivamente, a partire da quanto gli allievi conoscono a livello intuitivo, alcune “limitate catene di deduzioni” (che si possono anche chiamare “isole deduttive”). A questo proposito, nelle INDICAZIONI NAZIONALI si legge che “in coerenza con il modo in cui si è presentato storicamente, l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica”.

riconoscere le principali proprietà invarianti. Le trasformazioni Primo biennio Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianti.

In particolare, saranno studiate Le trasformazioni Secondo biennio Lo studio della geometria proseguirà con l'estensione allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana, anche al fine di sviluppare l’intuizione geometrica. In particolare, saranno studiate le posizioni reciproche di rette e piani nello spazio, il parallelismo e la perpendicolarità, nonché le proprietà dei principali solidi geometrici (in particolare dei poliedri e dei solidi di rotazione).

Altra cosa è ragionare per trasformazioni Felix Klein 1872, Programma di Erlangen, traduzione in italiano di Fano Gruppi di trasformazioni (automorfismi), fondati sulle proprietà invarianti delle figure. Galois (1811-1832) Abel (1802-1829)

Gustave Choquet (1915-2006), L’insegnamento della geometria (Appendice 1), Feltrinelli, MI 1967 Dalla simmetria assiale alle isometrie: Un’isometria è individuata da un massimo di tre coppie di punti corrispondenti. Un’isometria è ottenibile come composizione di al più tre simmetrie assiali. Dall’omotetìa e dalle isometrie alla similitudine Ogni similitudine è ottenibile come composizione di una omotetìa e una isometria.

Esperienza personale Ho iniziato, in classe, una trentina di anni fa, introducendo le isometrie in ambiente euclideo Mazzarelli – Seccia, MATEMATICA Algebra e Geometria, Ed. Cremonese, Roma 1982 Dopo un’impostazione euclidea fino ai criteri di congruenza dei triangoli, si passa a definire la simmetria centrale, la simmetria assiale (dopo l’unicità della perpendicolare e la distanza tra due punti), la traslazione (dopo aver introdotto i vettori), la rotazione (dopo aver definito gli angoli orientati (?)). Al secondo anno similitudine e omotetìa ma in modo meno innovativo.

seguendo un percorso sulle isometrie Ho poi proseguito con il testo Belli – Lupo Perricone – Pagni – Pallini, INTUIRE E DEDURRE (OSSERVARE E DEDURRE), SEI, Torino 1984 (frutto di una sperimentazione attuata nel Lic. Sc. sperimentale Enriques di Livorno) seguendo un percorso sulle isometrie fondato sulla simmetria assiale (Choquet) e la similitudine ottenibile come composizione di un’omotetìa e un’isometria.

Le INDICAZIONI NAZIONALI non vanno in questa ultima direzione: IL RIFERIMENTO E’ SEMPRE ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA LE TRASFORMAZIONI IN AMBITO EUCLIDEO ma non fini a se stesse ma per essere utilizzate RILEVANDO INVARIANTI, PUNTI UNITI, COMPOSIZIONE, CARATTERE INVOLUTORIO

comunicando fra loro e con gli esperti. Metodo OSSERVAZIONI E POI DEFINIZIONI ARGOMENTARE, CONGETTURARE, DIMOSTRARE Da La matematica per il cittadino MATEMATICA 2003 Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici. … L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti.

La geometria ha un suo specifico contenuto, ma andrà collegata in modo sistematico agli altri ambiti senza introdurre artificiali separazioni tra questi. Si deve trasmettere agli allievi che la geometria non è una parte isolata della matematica. Gli esempi sono infiniti: basta solo pensare al metodo delle coordinate cartesiane, a proposito del quale nelle INDICAZIONI NAZIONALI si legge che “l’intervento dell’algebra nella rappresentazione degli oggetti geometrici non sarà disgiunto dall’approfondimento della portata concettuale e tecnica di questa branca della matematica”.

OMBRE PROPORZIONALITA’ PIZZA EQUATORE Vediamo qualche esempio di attività: VILLE E PALAZZI POLIEDRI OMBRE PROPORZIONALITA’ PIZZA EQUATORE

Problema di Erone (I-II sec a.C.) APPLICAZIONI Qualche esempio: Problema di Erone (I-II sec a.C.) Classificazione di triangoli e di quadrilateri Triangolo con almeno un asse di simmetria Quadrilatero con un solo (o almeno un) asse di simmetria Figure con due assi ortogonali e con centro di simmetria Anche nel Piano Cartesiano

Tangenti a coniche Similitudine Coniche simili Parabole e Circonferenze Ellissi e Iperboli Bicchieri conici e sabbia Traslazioni y = sen (x+k) + h

Grazie