Tema 6: Analisi in Potenza di Processi Parametrici Esempio: Oscillazione con ampiezza e fasi aleatorie Tipico segnale presente in sistemi radiomobile, radar, sonar, etc.: scomposizione del fasore con ampiezza e fase aleatorie in somma di due fasori in quadratura con ampiezze aleatorie: con e È la trasformazione di coordinate polari-cartesiane, per cui si è visto che: N.B.:

Analisi in Potenza di Processi Parametrici Oscillazione con ampiezza e fasi aleatorie Generare M realizzazioni di un p.a. parametrico costituito da una oscillazione con ampiezza distribuita secondo Rayleigh e fase uniforme, utilizzando il metodo della scomposizione: Parametri: Intervallo di campionamento: Tc=1 ms Intervallo temporale di osservazione: T=NTc=0.1 ms Valore quadratico medio dell’ampiezza dell’oscillazione: Frequenza dell’oscillazione: [istruzioni utili: randn, repmat, for, plot, hold on]

Esempi di realizzazioni M=50 realizzazioni M=3 realizzazioni

File.m: genoscampfasealea.m % generazione realizzazioni oscillazione con ampiezza di Rayleigh e fase % uniforme (metodo della scomposizione in due fasori Gaussiani in quadratura) function [x] = genoscfasealea(n,aqm,f0,tfin) % IN: numero di realizzazioni, n; % valor quadratico medio della ampiezza della oscillazione, aqm; % frequenza della oscillazione, f0 (il tempo di campionamento e' unitario); % ampiezza intervallo temporale, tfin (a partire da zero); % OUT: matrice di realizzazioni, una per riga; % uscita su video di grafico delle n realizzazioni. sigma=sqrt(aqm/2); % calcola la dev. standard per le ampiezze dei due fasori x1=sigma*randn(1,n); % genera n realizz. della v.a. Gaussiana ampiezza fasore 1; x2=sigma*randn(1,n); % genera n realizz. della v.a. Gaussiana ampiezza fasore 2; t=[1:tfin]; % calcola i tempi su cui campionare; x1=repmat(x1.',1,tfin); % organizza tempi e ampiezze fasori x2=repmat(x2.',1,tfin); % per calcolo efficiente t=repmat(t,n,1); % delle realizzazioni; x=x1.*cos(2*pi*f0*t)-x2.*sin(2*pi*f0*t); % calcola tutte le realizzazioni; figure; % grafica le realizzazioni; for i=1:n; plot(x(i,:)) hold on end xlabel('t, sec') ylabel('x(t)')

Generazione processi parametrici Oscillazione con ampiezza e fasi aleatorie + rumore AWGN Generare una realizzazione del processo tempo-discreto “oscillazione con ampiezza e fase aleatorie” corrotto da rumore AWGN (tempo-discreto) Parametri: Segnale: come prima! Rumore:

Analisi in Potenza di un Processo SSL Definizione di densità spettrale di potenza (PSD) di un processo aleatorio tempo-continuo stazionario almeno in senso lato (SSL): PSD dei segnali deterministici “realizzazioni” Per un processo aleatorio stazionario in senso lato si ha inoltre: Teorema di Einstein-Wiener-Khintchine: dove è la funzione di autocorrelazione (ACF)

Misura sperimentale della PSD Date M realizzazioni del processo osservate su un intervallo di osservazione di durata finita T, misurare la PSD: interpretazione in termini di frequenza relativa spettri di ampiezza delle realizzazioni Si utilizza la FFT: [ realizzazioni in tempo-discreto, Tc=tempo di campionamento ] Nota bene: M finito causa errori aleatori sulla valutazione della PSD T finito causa errori deterministici sulla valutazione della PSD originati dalla “finestratura” temporale (leakage): T=NTc Il campionamento può causare ovviamente errori di aliasing

Valutazione sperimentale della PSD Disponendo di M=2000 realizzazioni del p.a. “oscillazione con ampiezza di Rayleigh e fase uniforme§” valutare sperimentalmente la PSD del processo (effettuare una FFT con zero-padding a 1024 campioni) [istruzioni utili: fft, abs, mean, fftshift, plot] Confrontare il risultato con PSD “deterministica” di tre realizzazioni [istruzioni utili: fft, abs, plot, fftshift, hold on]

M=2000 realizzazioni Esempio di risultati Effetto della finestratura: le divengono “discrete”

PSD misurata da tre realizzazioni (la PSD é “phase blind”) Esempio di risultati PSD del processo aleatorio PSD misurata da tre realizzazioni (la PSD é “phase blind”) fluttuazioni di ampiezza da realizzazione a realizzazione

File.m: calcdsppa.m % calcolo funzione densita' spettrale di potenza di un p.a. function [dsp,f] = calcdsppa(x) % in: matrice di realizzazioni del p.a. (una per riga, % con tempo di campionamento assunto unitario), x; % out: funzione densita' spettrale di potenza, dsp; % ascisse frequenziali, f; % uscita su video di grafico di densita' spettrale di potenza. tfin=size(x,2); % finestra temporale disponibile n=size(x,1); % numero di realizzazioni disponibili tc=1; % tempo di campionamento unitario zeropad=1024; % zero-padding a 1024 campioni if tfin>zeropad disp('aumentare lo zero-padding!') % (per tc=1) end spettri=tc*fft(x,zeropad,2); % calcola gli spettri complessi delle realizzazioni dsprealizzazioni=abs(spettri).^2/(tfin-1); % calcola le dsp deterministiche delle realizzazioni dsp=mean(dsprealizzazioni); % calcola la dsp del processo dsp=fftshift(dsp); % centra la componente a frequenza zero ncamp=zeropad; % numero di campioni dopo lo zero-padding deltaf=1/tc/ncamp; % passo di campionamento in frequenza f=[-ncamp/2:ncamp/2-1]*deltaf; % scala delle frequenze figure; % grafico dsp del processo plot(f,dsp); xlabel('f , Hz'); ylabel('dsp');

File.m: calcdspdet.m % calcolo densita' spettrali di potenza deterministiche di 3 realizzazioni di un p.a. function calcdspdet(x) % in: matrice di realizzazioni del p.a. (una per riga, % con tempo di campionamento assunto unitario), x; % out: uscita su video di grafico di densita' spettrali di potenza deterministiche. tfin=size(x,2); % finestra temporale disponibile tc=1; % tempo di campionamento unitario zeropad=1024; % zero-padding a 1024 campioni if 3>size(x,1) disp('non sono disponibili le realizzazioni richieste!') end if tfin>zeropad disp('aumentare lo zero-padding!') % (per tc=1) end spettri=tc*fft(x(2:4,:),zeropad,2); % calcola gli spettri complessi delle 3 realizzazioni dsprealizzazioni=abs(spettri).^2/(tfin-1); % calcola le dsp deterministiche delle 3 realizzazioni ncamp=zeropad; % numero di campioni dopo lo zero-padding deltaf=1/tc/ncamp; % passo di campionamento in frequenza f=[-ncamp/2:ncamp/2-1]*deltaf; % scala delle frequenze figure; % grafico dsp delle 3 realizzazioni plot(f,fftshift(dsprealizzazioni(1,:)),'g'); hold on plot(f,fftshift(dsprealizzazioni(2,:)),'k'); hold on plot(f,fftshift(dsprealizzazioni(3,:)),'r'); xlabel('f , Hz'); ylabel('dsp');

Valutazione della funzione valor medio ed ACF Sono date M realizzazioni del processo, osservate su un intervallo di durata finita T: [ con t nell’intervallo temporale osservato ] Interpretazione in termini di frequenza relativa

Funzione valor medio valutata con M=2000 realizzazioni Risultati per il p.a. “oscillazione con ampiezza di Rayleigh e fase uniforme” Funzione valor medio valutata con M=2000 realizzazioni t

Funzione di autocorrelazione (ACF) valutata con M=2000 realizzazioni ACF calcolata per t=1 t

ACF calcolata per t=5 ACF calcolata per t=1 Verifica di stazionarietà in autocorrelazione: ACF calcolata per t=5 t ACF calcolata per t=1 t L’ACF, nei limiti dell’errore di valutazione sperimentale, non dipende da t

Interpretazione dei risultati di autocorrelazione: Scatterplot (M=2000 realizz.) di coppia di v.a. estratte con ritardo t Coefficiente di correlazione tra X(t) e X(t+t) = Covarianza tra le due v.a. / prodotto delle deviazioni standard cX(t)/cX(0) t=19 t=19 (t=1) si nota che le variabili sono correlate positivamente

Interpretazione dei risultati di autocorrelazione: Scatterplot (M=2000 realizz.) di coppia di v.a. estratte con ritardo t t=29 t=24 le variabili sono correlate negativamente le variabili sono quasi incorrelate

Interpretazione dei risultati di autocorrelazione: Se l’ampiezza non é più aleatoria ma costante (ad es. di valore 1): il processo di segnale non è più Gaussiano, si vede anche dallo scatterplot! t=19 (t=1) scatterplot (M=2000 realizz.) di coppia di v.a. estratte con ritardo t

File.m: calcmediaeautocorrpa.m % calcolo funzione valor medio e funzione di autocorrelazione di un p.a. function [eta,r] = calcmediaeautocorrpa(x,t1) % in: matrice di realizzazioni del p.a. (una per riga, % con tempo di campionamento assunto unitario), x; % istante di riferimento per la funzione di autocorr. (intero non nullo), t1; % out: funzione valor medio, eta; % funzione di autocorr. (in funzione del tempo di ritardo, positivo), r; % uscita su video di grafico di valor medio e autocorrelazione. tfin=size(x,2); eta=mean(x); % calcola la funzione valor medio; xt1=repmat(x(:,t1),1,tfin); % organizza realizz. di x(t1) per calcolo efficiente % della funzione di autocorrelazione; r=mean(xt1.*x); % calcola la funzione di autocorrelazione; r=r(t1+1:tfin); % seleziona i valori con tempo di ritardo positivo; figure; plot(eta) axis([0,tfin,min(min(x)),max(max(x))]) figure; plot(r) v=axis; axis([0,tfin,v(3),v(4)])

Filtraggio di un treno di oscillazioni in rumore AWGN Esempio: segnale in una comunicazione digitale, o in sistema radar/sonar/ecografico Parametri del processo aleatorio costituito da un teno di oscillazioni immerso in rumore addtivo Gaussiano bianco in banda: Intervallo di campionamento: 1 s Durata intervallo di osservazione: 500 s Tempo di inizio oscillazione: 100 s Durata temporale oscillazione: 100 s Ampiezza oscillazione: 1 Frequenza oscillazione: 0.05 Hz Potenza rumore: 0.1 [il rumore é bianco in banda di Nyquist] [istruzioni utili: randn]

Filtraggio di un treno di oscillazioni in rumore AWGN Filtrare una realizzazione del processo aleatorio prima definito mediante un filtro passa basso e poi mediante un filtro passa-banda Progetto dei filtri: FIR, 200 prese (finestra di Hamming) tempo di campionamento: unitario freq. taglio passabasso: 0.06 Hz ... freq. taglio inf. e sup. passabanda: 0.04 Hz, 0.06 Hz ... [istruzioni utili: FDATOOL, save, load, filter]

Esempio di risultati Il treno di oscillazioni immerso in una realizzazione di rumore

Esempio di risultati Risultato del filtraggio passa-basso

Esempio di risultati Risultato del filtraggio passa-banda

Esempio di risultati

File.m: genoscrum.m % generazione realizzazione spezzone di oscillazione immersa in rumore Gaussiano function [x] = genoscrum() % out: realizzazione; % uscita su video di grafico della realizzazione. tfin=500; % ampiezza intervallo temporale (tempo di campionamento unitario); tin=100; % istante di inizio oscillazione; tdur=100; % durata temporale oscillazione; a=1; % ampiezza della oscillazione; f0=0.05; % frequenza della oscillazione; pot=0.1; % potenza del rumore; t=[tin:tin+tdur-1]; % calcola tempi su cui campionare lo spezzone; x=sqrt(pot)*randn(1,tfin); % genera una realizzazione di rumore Gaussiano bianco % (in banda di Nyquist); x(tin:tin+tdur-1)=x(tin:tin+tdur-1)+a*sin(2*pi*f0.*t); % somma lo spezzone; plot(x) axis([1 tfin -a-3*sqrt(pot) a+3*sqrt(pot)])

File.m: filtrpbasso.m % filtraggio passabasso di spezzone di oscillazione immersa in rumore function [y] = filtrpbasso(x) % in: realizzazione di spezzone di oscillazione immersa in rumore; % out: realizzazione filtrata; % uscita su video di grafico della realizzazione filtrata. load cpbasso cpbasso; % carica coefficienti filtro FIR a 200 prese con finestra di Hamming, % freq. taglio 0.06 Hz, tempo di campionamento unitario (da FDATOOL); y=filter(cpbasso,1,x); % esegue il filtraggio plot(y) % filtraggio passabanda di spezzone di oscillazione immersa in rumore function [y] = filtrpbanda(x) % in: realizzazione di spezzone di oscillazione immersa in rumore; % out: realizzazione filtrata; % uscita su video di grafico della realizzazione filtrata. load cpbanda cpbanda; % carica coefficienti filtro FIR a 200 prese con finestra di Hamming, % freq. taglio 0.04 - 0.06 Hz, tempo di campionamento unitario (da FDATOOL); y=filter(cpbanda,1,x); % esegue il filtraggio plot(y)