ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 8 ALGEBRA BOOLEANA Postulati Principio di dualità Teoremi fondamentali A.S.E.

Richiami Insieme di elementi Variabili, costanti Insieme di operazioni Insieme di postulati Espressioni algebriche Tabella di verità Espressione algebrica vs. Tabella di verità Tabella di verità vs. Espressione algebrica A.S.E.

Postulati di HUNTINGTON (1) Esistono un dominio”B” costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e (·) tali che: Se x e y sono elementi di “B”, allora x +y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA. Se x e y sono elementi di “B”, allora x ·y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (·) prende il nome di PRODOTTO LOGICO. A.S.E.

Postulati di HUNTINGTON (2) ELEMENTI IDENTITÀ Sia x un elemento di “B” Esiste in “B” un elemento “0”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che risulti x + 0 = x . Esiste in “B” un elemento “1”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (·) tale che risulti x · 1 = x . A.S.E.

Postulati di HUNTINGTON (3) Proprietà COMMUTATIVA Esiste la proprietà commutativa rispetto alla somma logica: x + y = y + x Esiste la proprietà commutativa rispetto al prodotto logico: x · y = y · x A.S.E.

Postulati di HUNTINGTON (4) Proprietà DISTRIBUTIVA Il prodotto logico è distributivo rispetto all’addizione : x · (y + z ) = (x · y ) + (x · z ) La somma logica è distributiva rispetto al prodotto: x + (y · z ) = (x + y ) · (x + z ) A.S.E.

Postulati di HUNTINGTON (5) COMPLEMENTAZIONE Se x è un elemento di ”B”, allora esiste un altro elemento x , detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà: x + x = 1 x · x = 0 x realizza l’operazione di complemento di x A.S.E.

Riassunto POSTULATI A.S.E.

Osservazioni Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata: Proprietà commutativa Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere : Proprietà distributiva della somma logica L’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleana A.S.E.

Principio di DUALITÀ Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a” Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con (·) e (·) con (+) Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1 A.S.E.

TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremi Impiego dei postulati fondamentali Uso di teoremi precedentemente dimostrati Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n) A.S.E.

Teorema 1 1a 1b Dimostrazione Dimostrazione Per Dualità A.S.E.

Teorema 2 (Involuzione) Il complemento del complemento è l’elemento stesso Dimostrazione ……………… A.S.E.

Teorema 3 (Idempotenza) 3a 3b Dimostrazione Dimostrazione per dualità A.S.E.

Teorema 4 (assorbimento) 4a 4b Dimostrazione Dimostrazione per dualità A.S.E.

Teorema 5 (semplificazione) 5a 5b Dimostrazione Dimostrazione A.S.E.

Teorema 6 (Legge Associativa) 6b A.S.E.

Teorema 7 (Consenso) 7a Dimostrazione 7b A.S.E.

Teorema 8 (Teorema di DE MORGAN) 8a 8b A.S.E.

Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome di Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE A.S.E.

Teorema 8 (dimostrazione) 8a 8b x y x+y ( x+y) x • y 1 x y x • y ( x •y) x + y 1 A.S.E.

Riassunto TEOREMI A.S.E.

Conclusioni I 5 Postulati dell’algebra Booleana Principio di dualità Teoremi fondamentali Induzione Perfetta A.S.E.