A.S.E.8.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 8 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali

A.S.E.8.2 Algebra della Logica Gerge BooleGerge Boole Matematico inglese(1815 – 1864)Matematico inglese(1815 – 1864) A Investigation of the Laws of Thought (1854)A Investigation of the Laws of Thought (1854) Algebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra BooleanaAlgebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra Booleana Sistematizzazione dovuta a HUNTINGTON (50 anni dopo)Sistematizzazione dovuta a HUNTINGTON (50 anni dopo) Applicazione allingegneria: SHANNON (1938)Applicazione allingegneria: SHANNON (1938) Sistema matematico formale che descrive funzioni logicheSistema matematico formale che descrive funzioni logiche Sistema matematico formaleSistema matematico formale Insieme di elementiInsieme di elementi insieme di operazioniinsieme di operazioni insieme di postulatiinsieme di postulati »TEOREMI

A.S.E.8.3 Postulati Requisiti di un set di postulatiRequisiti di un set di postulati ConsistenzaConsistenza –Un postulato non deve contraddire un altro IndipendenzaIndipendenza –Un postulato non deve essere conseguenza di un altro Minimo numeroMinimo numero –Insieme indispensabile

A.S.E.8.4 Postulati di HUNTINGTON Esistono un insieme di elementi B, almeno due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e ( ), un segno di uguaglianza (=) che indica lequivalenza di due espressioni e le parentesi per indicare lordine delle operazioniEsistono un insieme di elementi B, almeno due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e ( ), un segno di uguaglianza (=) che indica lequivalenza di due espressioni e le parentesi per indicare lordine delle operazioni ALGEBRA BOOLEANA se e solo se contiene i seguenti postulatiALGEBRA BOOLEANA se e solo se contiene i seguenti postulati

A.S.E.8.5 Postulati di HUNTINGTON (P1) Gli operatori (+) e ( ) sono chiusiGli operatori (+) e ( ) sono chiusi a.Se x e y sono elementi di B, allora x +y è un elemento di B. Loperazione eseguita da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA. b.Se x e y sono elementi di B, allora x y è un elemento di B. Loperazione eseguita da ( ) prende il nome di PRODOTTO LOGICO.

A.S.E.8.6 Postulati di HUNTINGTON (P2) ELEMENTI IDENTITÀ Sia x un elemento di BSia x un elemento di B a.Esiste in B un elemento 0, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che risulti x + 0 = x. b.Esiste in B un elemento 1, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a ( ) tale che risulti x 1 = x.

A.S.E.8.7 Postulati di HUNTINGTON (P3) Proprietà COMMUTATIVA a.Esiste la proprietà commutativa rispetto alla somma logica: x + y = y + x b.Esiste la proprietà commutativa rispetto al prodotto logico: x y = y x

A.S.E.8.8 Postulati di HUNTINGTON (P4) Proprietà DISTRIBUTIVA a.La somma logica è distributiva rispetto al prodotto:x + (y z ) = (x + y ) (x + z ) b.Il prodotto logico è distributivo rispetto alladdizione :x (y + z ) = (x y ) + (x z )

A.S.E.8.9 Postulati di HUNTINGTON (P5) COMPLEMENTAZIONE Se x è un elemento di B, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà:Se x è un elemento di B, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà: a.x + x = 1 b.x x = 0 x realizza loperazione di complemento di xx realizza loperazione di complemento di x

A.S.E.8.10 Postulati di HUNTINGTON (P*) OSSERVAZIONE Gli elementi dellinsieme B sono al minimo 2Gli elementi dellinsieme B sono al minimo 2

A.S.E.8.11 Riassunto POSTULATIPOSTULATI

A.S.E.8.12 Osservazioni Alcune proprietà dellalgebra booleana sono vere anche nellalgebra normalmente usata:Alcune proprietà dellalgebra booleana sono vere anche nellalgebra normalmente usata: –Proprietà commutativa –Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere :Altre proprietà non sono vere : –Proprietà distributiva della somma logica Loperazione complemento logico esiste solo nellalgebra booleanaLoperazione complemento logico esiste solo nellalgebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nellalgebra booleanaLa sottrazione e la divisione non esistono nellalgebra booleana

A.S.E.8.13 Principio di DUALITÀ Da unosservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli b si ottengono da aDa unosservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli b si ottengono da a –Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con ( ) e ( ) con (+) –Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1

A.S.E.8.14 TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremiTecniche di dimostrazione dei teoremi –Impiego dei postulati fondamentali –Uso di teoremi precedentemente dimostrati –Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata lipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera)(si ipotizza verificata lipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) –Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)(se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)

A.S.E.8.15 Teorema 1(i) Lelemento x è univocamente determinato da x.Lelemento x è univocamente determinato da x. Dimostrazione per assurdoDimostrazione per assurdo Se per un elemento x ci siano due elementi x 1 e x 2 che soddisfano il postulato P5, allora risulta:Se per un elemento x ci siano due elementi x 1 e x 2 che soddisfano il postulato P5, allora risulta:

A.S.E.8.16 Teorema 1(ii) QuindiQuindi

A.S.E.8.17 Teorema 1(iii) Quindi entrambi gli elementi che sono il complemento di x sono uguali, ciò implica che x è univocamente determinato da x.Quindi entrambi gli elementi che sono il complemento di x sono uguali, ciò implica che x è univocamente determinato da x. Poiché x è univocamente determinato da x, allora il simbolo ( ) è un operatore unitario che assegna ad un elemento x dellinsieme B lelemento x sempre appartenente a B.Poiché x è univocamente determinato da x, allora il simbolo ( ) è un operatore unitario che assegna ad un elemento x dellinsieme B lelemento x sempre appartenente a B.

A.S.E.8.18 Teorema 2 2a2b2a2b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione

A.S.E.8.19 Teorema 3 3a3b3a3b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione

A.S.E.8.20 Teorema 4 (Idempotenza) 4a4b4a4b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

A.S.E.8.21 Teorema 5 (Involuzione) Il complemento del complemento è lelemento stesso Dimostrazione………………

A.S.E.8.22 Teorema 6 (assorbimento) 6a6b6a6b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

A.S.E.8.23 Teorema 7 (semplificazione) 7a7b7a7b Dimostrazione DimostrazioneDimostrazione Dimostrazione per dualitàper dualità

A.S.E.8.24 Teorema 8 (Legge Associativa) 8a8a 8b8b

A.S.E.8.25 Teorema 8* (Consenso) 7a7a DimostrazioneDimostrazione 7b7b

A.S.E.8.26 Teorema 9 ( Teorema di DE MORGAN ) 9a9b9a9b

A.S.E.8.27 Riassunto TEOREMITEOREMI

A.S.E.8.28 Conclusioni CodiciCodici ALGEBRA BOLEANA I 5 Postulati dellalgebra BooleanaI 5 Postulati dellalgebra Booleana Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali